Geometrie analitică și vectori la Bac: subiectele I.5

La Bacalaureatul de matematică, geometria analitică și vectorii apar la Subiectul I, exercițiul 5 (5 puncte), la M1 (mate-info), M2 (științele naturii) și M3 (tehnologic). Aici găsești toate cele 63 de exerciții din variantele oficiale rezolvate pe site (2020–2027: sesiuni, simulări și modele), cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas. Se cer de obicei distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, ecuația unei drepte, panta, coliniaritatea sau o relație între vectori.

M1 mate-info M2 științele naturii M3 tehnologic

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

Distanța și mijlocul: pentru $A (x_{A}, y_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B})$ : $A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ , iar mijlocul segmentului $A B$ este $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ — coordonate în plan, distanțe și arii.
Vectori: $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}) \vec{i} + (y_{B} - y_{A}) \vec{j}$ ; vectorii $a \vec{i} + b \vec{j}$ și $c \vec{i} + d \vec{j}$ sunt coliniari dacă $a d - b c = 0$ — coordonatele vectorilor.
Ecuația dreptei prin $A$ și $B$ : $\frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ ; panta $m_{A B} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ ; dreapta prin $A$ de pantă $m$ : $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ — ecuația și panta dreptei.
Paralelism și perpendicularitate: $d_{1} ∥ d_{2} ⟺ m_{1} = m_{2}$ ; $d_{1} ⊥ d_{2} ⟺ m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ ; punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare dacă $m_{A B} = m_{A C}$ — drepte paralele, perpendiculare, intersecții.
Centrul de greutate al triunghiului $A B C$ : $G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}, \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$ . Toate formulele sunt pe pagina geometrie analitică.

Tipuri de cerințe la Subiectul I.5 (M1, M2 și M3)

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Vectori (sumă, coliniaritate, coordonate)	13	M1 model 2027, M1 2025 aug., M1 2025 sim., M1 2024 aug., M1 2024 iun., M1 2024 sim., M1 2023 aug., M2 2023 sim., M1 2023 sim., M1 2022 aug., M1 2021 aug., M1 2021 sim., M2 2020 iun.
Puncte coliniare	2	M2 2021 aug., M2 2021 iun.
Ecuația dreptei, panta, paralelism, perpendicularitate	15	M2 model 2027, M1 2026 aug., M1 2026 iun., M2 2026 sim., M1 2026 sim., M1 2023 iun., M1 2022 iun., M2 2022 sim., M1 2022 sim., M3 2022 sim., M1 2021 iun., M2 2021 sim., M3 2021 sim., M1 2020 iun., M3 2020 iun.
Mijlocul unui segment, simetricul unui punct	21	M3 model 2027, M2 2026 aug., M2 2026 iun., M3 2026 iun., M2 2025 aug., M3 2025 aug., M2 2025 iun., M1 2025 iun., M3 2025 sim., M2 2024 aug., M3 2024 aug., M2 2024 sim., M2 2023 aug., M2 2023 iun., M3 2023 iun., M3 2023 sim., M2 2022 aug., M2 2022 iun., M3 2022 iun., M3 2021 aug., M3 2020 aug.
Distanțe, lungimi, perimetre, arii	12	M3 2026 aug., M3 2026 sim., M3 2025 iun., M2 2025 sim., M2 2024 iun., M3 2024 iun., M3 2024 sim., M3 2023 aug., M3 2022 aug., M3 2021 iun., M2 2020 aug., M1 2020 aug.

Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.

Bac M1 (mate-info) — Subiectul I.5

Model Bac 2027 M1 (oficial)

I.5. Se consideră triunghiul $A B C$ , cu centrul de greutate $G$ și punctul $D$ astfel încât $\vec{A D}$ $= \frac{2}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ . Demonstrați că patrulaterul $C G B D$ este paralelogram. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 3)$ , $B (2, 2)$ și $C (4, 6)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ ce trece prin punctul $B$ și este paralelă cu dreapta $A C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 6)$ , $B (4, 1)$ și $C (5, a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $O A$ și $B C$ sunt paralele. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M1

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 5)$ și $B (4, 2)$ . Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $O B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 2)$ și $B (6, 4)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $2 \vec{A C}$ $= \vec{O B}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 1)$ , $B (5, 0)$ , $C (6, 3)$ și $D (a, b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că segmentele $A C$ și $B D$ au același mijloc. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M1

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 2)$ , $B (7, 4)$ și $C$ , astfel încât $\vec{A B}$ $= 2 \vec{A C}$ . Determinați coordonatele punctului $D$ pentru care $\vec{O D}$ $= \vec{C B}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctul $A (2, 1)$ . Determinați coordonatele punctului $B$ pentru care $\vec{A B}$ $= 2 \vec{O A}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 1)$ și $B (3, 0)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\vec{A C}$ $= \vec{O B}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M1

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 4)$ , $B (4, 6)$ și $C (4, 2)$ . Determinați coordonatele punctului $D$ , știind că $\vec{O D}$ $= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 1)$ și $B (4, 4)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ , știind că $\vec{O A}$ $= \vec{B C}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (4, 0)$ și $B (5, 4)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $O$ și este paralelă cu dreapta $A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M1

I.5. În triunghiul $A B C$ , punctul $M$ este mijlocul laturii $A C$ , iar punctele $D$ și $E$ aparțin segmentului $A B$ , astfel încât $A D = B E$ . Arătați că $\vec{M D} + \vec{M E}$ $= \vec{C B}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea august–septembrie

I.5. În sistemul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 2)$ și $B (1, - 1)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\vec{A C}$ $= 2 \vec{B C}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y = 3 x - 2$ și punctul $A (a, a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că punctul $A$ aparține dreptei $d$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M1

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 2, - 2)$ , $B (3, 1)$ și $M (2, 4)$ . Determinați coordonatele punctului $N$ , știind că patrulaterul $A B M N$ este paralelogram. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $M (3, 0)$ , $N (8, 3)$ și $P (6, 3)$ . Determinați coordonatele punctului $Q$ , știind că $\vec{M N} + \vec{M P}$ $= \vec{M Q}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $M (3, 4)$ , $N (0, 1)$ și $P (3, 0)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $P$ și este paralelă cu dreapta $M N$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M1

I.5. Segmentele $A B$ și $A^{'} B^{'}$ au același mijloc. Demonstrați că $\vec{A B^{'}} + \vec{B A^{'}}$ $= \vec{0}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 1)$ , $B (2, 3)$ și $C (4, a)$ , unde $a$ este un număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că punctul $C$ este situat pe mediatoarea segmentului $A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctul $M (- 4, 4)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $M$ și este perpendiculară pe dreapta $O M$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M2 (științele naturii) — Subiectul I.5

Model Bac 2027 M2 (oficial)

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y = x + 1$ și punctul $A (5, a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreapta $O A$ este perpendiculară pe $d$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M2 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (6, 0)$ , $B (8, 2)$ și $C (1, 9)$ . Determinați distanța dintre punctul $C$ și mijlocul segmentului $A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 5)$ , $B (2, 0)$ și $C (4, 2)$ . Arătați că triunghiul $A D C$ este isoscel, unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $B C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M2

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 0)$ și $B (5, 4)$ și dreapta $d$ de ecuație $2 x + a y = 0$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care mijlocul segmentului $A B$ aparține dreptei $d$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 2)$ , $B (2, 5)$ și $C$ , astfel încât $B$ este mijlocul segmentului $A C$ . Determinați coordonatele punctului $C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 5)$ , $B (8, 4)$ și $C$ , mijlocul segmentului $O B$ . Arătați că $A O = A C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M2

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 1)$ și $B (2, 4)$ . Arătați că triunghiul $O A B$ este dreptunghic în $A$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 5)$ și $B (4, 2)$ . Determinați distanța dintre punctul $A$ și mijlocul segmentului $O B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 0)$ , $B (4, 4)$ și $C (5, 2)$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M2

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 3)$ , $B (2, 0)$ și $C$ . Știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $O C$ , determinați distanța dintre punctele $A$ și $C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 2)$ , $B (a, 0)$ și $C (0, b)$ . Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că punctul $A$ este mijlocul segmentului $B C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (4, 0)$ , $B (0, 2)$ , $C (3, 3)$ și $M$ , mijlocul segmentului $A B$ . Arătați că segmentele $M O$ și $M C$ au lungimile egale. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M2

I.5. Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u} = a \vec{i} + (a - 1) \vec{j}$ și $\vec{v} = \vec{i} + 2 \vec{j}$ sunt coliniari. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (6, 0)$ și $B (6, 6)$ . Arătați că triunghiul $A O M$ este isoscel, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $O B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 2)$ și $B (1, 4)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ , astfel încât punctul $A$ este mijlocul segmentului $B C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M2

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 1, 4)$ , $B (5, 2)$ și $C$ , mijlocul segmentului $A B$ . Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $C$ și este perpendiculară pe dreapta $A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 4)$ și $B (3, a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că punctele $O$ , $A$ și $B$ sunt coliniare. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 1)$ , $B (- 1, 0)$ , $C (3, 5)$ și $D (5, 6)$ . Demonstrați că punctele $B$ , $D$ și mijlocul segmentului $A C$ sunt coliniare. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M2

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 3)$ , $B (3, 5)$ și $C (0, 6)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $A$ și este paralelă cu mediana din vârful $C$ a triunghiului $A B C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $M (1, 1)$ , $N (3, 3)$ , $P (4, 3)$ și $Q (1, a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , pentru care patrulaterul $M N P Q$ este trapez cu bazele $M N$ și $P Q$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.5. Se consideră un punct $P$ în planul paralelogramului $A B C D$ . Arătați că $\vec{P A} + \vec{P C} = \vec{P B} + \vec{P D}$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M3 (tehnologic) — Subiectul I.5

Model Bac 2027 M3 (oficial)

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 3)$ , $B (3, 5)$ și $C (5, 1)$ . Determinați perimetrul triunghiului $O D A$ , unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $B C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M3 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 5)$ și $B (6, 8)$ . Arătați că $O B = 2 A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 1)$ , $M (2, 4)$ și $B (a, b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M3

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 4)$ , $B (3, 0)$ și $C (4, 7)$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este dreptunghic isoscel. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M3 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 0)$ , $B (3, 2)$ și $C (a, b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $A C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 0)$ , $B (2, 1)$ și $C (6, 4)$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $B C = a \cdot A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M3

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 4)$ , $B (0, - 1)$ , $C (8, 3)$ . Arătați că $A B = A M$ , unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $B C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M3 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 1)$ , $B (m, 2)$ și $C (5, 3)$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ , știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $A C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 0)$ , $B (8, 8)$ și $C (11, 4)$ . Arătați că $A B = 2 B C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M3

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 3)$ , $B (5, 0)$ și $C (5, 5)$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este isoscel. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M3 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 0)$ , $B (1, 2)$ și $C (4, 1)$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este isoscel. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 1, 2)$ și $B (1, 6)$ . Determinați coordonatele mijlocului segmentului $A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M3

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (0, 5)$ și $B (2, - 1)$ . Arătați că triunghiul $O M B$ este dreptunghic în $O$ , unde $M$ este mijlocul segmentului $A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M3 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (a, 0)$ și $B (a, 6)$ , unde $a$ este număr real. Arătați că $A B = 6$ , pentru orice număr real $a$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 4)$ , $B (5, 0)$ și $M (a, b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M3

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 4, 1)$ , $B (2, 3)$ și dreapta $d$ de ecuație $y = 2 x + a$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că mijlocul segmentului $A B$ aparține dreptei $d$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M3 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 4, 1)$ și $B (a, b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că punctul $O$ este mijlocul segmentului $A B$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 3, 4)$ , $B (- 3, 0)$ și $C (0, 4)$ . Calculați perimetrul triunghiului $A B C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M3

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 2)$ , $B (- 1, 0)$ și $C (0, a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că dreapta $A B$ conține punctul $C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M3 — sesiunea august–septembrie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 1)$ și $B (2, 7)$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A B$ . Calculați lungimea segmentului $A M$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.5. În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (4, 1)$ , $B (- 4, 1)$ și $C (0, 4)$ . Determinați lungimea înălțimii din vârful $C$ în triunghiul $A B C$ . Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte capitole de examen: Integrale la Bac (III.2) · Derivate la Bac (III.1) · Matrice și determinanți la Bac (II.1) · Trigonometrie la Bac (I.6).

Întrebări frecvente

Ce se cere la Subiectul I.5 la Bacalaureat? Un exercițiu de 5 puncte în reperul cartezian xOy: distanța dintre două puncte, coordonatele mijlocului unui segment, ecuația unei drepte (paralele sau perpendiculare pe alta), coliniaritatea a trei puncte sau o relație între vectori, de exemplu determinarea unui punct dintr-o egalitate vectorială.

Cum arăt că trei puncte sunt coliniare? Calculezi pantele dreptelor AB și AC și verifici că sunt egale, sau arăți că vectorii AB și AC sunt coliniari (coordonatele lor sunt proporționale). Dacă două puncte au aceeași abscisă, dreapta este verticală și verifici că și al treilea punct are aceeași abscisă.

Cum scriu ecuația unei drepte perpendiculare pe o dreaptă dată? Afli panta m a dreptei date; panta perpendicularei este −1/m (produsul pantelor este −1). Apoi scrii ecuația dreptei prin punctul dat: y − y₀ = m′(x − x₀).

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2