Bacalaureat 2021 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Dezvoltăm pătratul: \((1+i)^2\)​\(=1+2i+i^2\)​\(=1+2i-1\)​\(=2i\). Atunci

\[(1+i)^2-2(1+i)+2=2i-2-2i+2=0.\]

Răspuns: \((1+i)^2-2(1+i)+2\)​\(=0\), ceea ce trebuia demonstrat.

Formule utile: Numere complexe

Punctul \(M(1,2)\) aparține graficului dacă și numai dacă \(f(1)=2\):

\[1^2+a\cdot1-5=2\iff a-4=2\iff a=6.\]

Verificare: pentru \(a=6\), \(f(1)=1+6-5=2\) ✓.

Răspuns: \(a=6\)

Formule utile: Funcția de gradul al II-lea

Condiții de existență: \(x\gt0\) și \(x+1\gt0\), deci \(x\gt0\) (iar \(x^2+1\gt0\) pentru orice \(x\)).

Folosim \(\log_4u+\log_4v\)​\(=\log_4(uv)\): ecuația devine \(\log_4\left(x^2+1\right)\)​\(=\log_4\big(x(x+1)\big)\). Funcția logaritmică este injectivă, deci

\[x^2+1=x^2+x\iff x=1.\]

\(x=1\gt0\), deci convine. Verificare: \(\log_42\)​\(=\log_41+\log_42\) ✓.

Răspuns: \(x=1\)

Formule utile: Logaritmi — proprietăți și ecuații, calculator logaritmi

Numerele naturale de două cifre sunt \(10,11,\dots,99\), adică \(90\) de numere: 90 de cazuri posibile.

Un număr divizibil cu \(2\) și cu \(5\) (prime între ele) este divizibil cu \(10\): \(10,20,30,\dots,90\), adică 9 cazuri favorabile.

\[p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}.\]

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{10}\)

Formule utile: Probabilități

Panta dreptei \(MN\):

\[m_{MN}=\frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}=\frac{1-4}{0-3}=1.\]

Dreptele paralele au pante egale, deci \(m_d=1\). Dreapta \(d\) trece prin \(P(3,0)\):

\[y-y_P=m_d(x-x_P)\iff y-0=1\cdot(x-3)\iff y=x-3.\]

Răspuns: \(d:\ y=x-3\) (sau \(x-y-3=0\))

Formule utile: Panta unei drepte, Drepte paralele și perpendiculare, calculator ecuația dreptei

În triunghiul dreptunghic în \(C\), catetele sunt \(AC\) și \(BC\). Tangenta unui unghi ascuțit este cateta opusă supra cateta alăturată:

\[\operatorname{tg}A=\frac{BC}{AC},\qquad \operatorname{tg}B=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\dfrac{BC}{AC}}=\frac{1}{\operatorname{tg}A}.\]

Răspuns: \(\operatorname{tg}B\)​\(=\dfrac{1}{\operatorname{tg}A}\)

Formule utile: Triunghiul dreptunghic, Formule trigonometrice

\(A(0)\)​\(=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(0)\big)=8+0+0-0-0-0=8.\]

Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=8\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Scădem \(2I_3\) din \(A(a)\):

\[A(a)-2I_3=\begin{pmatrix}a+2&0&-a\\0&2&0\\3a&0&2-3a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}\]

\[A(a)-2I_3=\begin{pmatrix}a&0&-a\\0&0&0\\3a&0&-3a\end{pmatrix}.\]

Scoatem factor comun pe \(a\): \(A(a)-2I_3\)​\(=a\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\3&0&-3\end{pmatrix}\), pentru orice număr real \(a\). Egalitatea \(aB=A(a)-2I_3\) are loc pentru orice \(a\) (în particular pentru \(a=1\)), deci

\[B=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\3&0&-3\end{pmatrix}.\]

Răspuns: \(B\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\3&0&-3\end{pmatrix}\)

Formule utile: Matrice și determinanți

Calculăm întâi \(\det\big(A(a)\big)\), dezvoltând după linia a doua (are un singur element nenul):

\[\det\big(A(a)\big)=2\cdot\begin{vmatrix}a+2&-a\\3a&2-3a\end{vmatrix}=2\left[(a+2)(2-3a)+3a^2\right]\]

\[\det\big(A(a)\big)=2(4-4a)=8(1-a).\]

Determinantul produsului este produsul determinanților:

\[\det\big(A(n)A(-n)\big)=8(1-n)\cdot8(1+n)=64\left(1-n^2\right).\]

(Același rezultat se obține și calculând direct \(A(n)A(-n)\)​\(=\begin{pmatrix}4+2n^2&0&-2n^2\\0&4&0\\6n^2&0&4-6n^2\end{pmatrix}\).)

\(64\left(1-n^2\right)\)​\(\gt0\)​\(\iff n^2\)​\(\lt1\), iar singurul număr natural cu această proprietate este \(n=0\).

Răspuns: \(n=0\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

\[2*0=\frac12\big(2+0+|2-0|\big)=\frac12(2+2)=2.\]

Răspuns: \(2*0=2\)

Formule utile: Legi de compoziție

Din \(a\le b\) rezultă \(a-b\le0\), deci \(|a-b|=b-a\). Atunci

\[a*b=\frac12\big(a+b+|a-b|\big)=\frac12(a+b+b-a)=\frac12\cdot2b=b.\]

Observație: legea dă, de fapt, maximul celor două numere: \(x*y=\max\{x,y\}\).

Răspuns: \(a*b=b\) pentru orice \(a\le b\).

Formule utile: Legi de compoziție

Pentru orice număr real \(x\):

\(x^2+1-2x\)​\(=(x-1)^2\)​\(\ge0\), deci \(2x\le x^2+1\);

\(x^2+1+2x\)​\(=(x+1)^2\)​\(\ge0\), deci \(-2x\le x^2+1\).

Legea este comutativă (expresia nu se schimbă dacă schimbăm \(x\) cu \(y\)) și asociativă, iar din b) obținem

\[(2x)*\left(x^2+1\right)=x^2+1,\]

\[\left(x^2+1\right)*(-2x)=(-2x)*\left(x^2+1\right)=x^2+1.\]

Deci \((2x)*\left(x^2+1\right)*(-2x)\)​\(=x^2+1\), iar ecuația devine \(x^2+1\)​\(=10\)​\(\iff x^2\)​\(=9\)​\(\iff x\)​\(=-3\) sau \(x=3\).

Răspuns: \(x\in\{-3,\,3\}\)

Formule utile: Legi de compoziție

Folosim \(\left(\sqrt u\right)'\)​\(=\dfrac{u'}{2\sqrt u}\):

\[f'(x)=1-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}=\frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}},\quad x\in\mathbb{R}.\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}\)

Formule utile: Tabel derivate și reguli de derivare, calculator derivate

La \(+\infty\) avem o nedeterminare \(\infty-\infty\); amplificăm cu conjugata:

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-\left(x^2+3\right)}{x+\sqrt{x^2+3}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-3}{x+\sqrt{x^2+3}}=0.\]

Limita este finită, deci dreapta de ecuație \(y=0\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Răspuns: \(y=0\)

Formule utile: Asimptote orizontale, calculator asimptote

Ecuația \(f(x)=a\) are soluție exact când \(a\) aparține mulțimii valorilor funcției \(f\) (imaginea lui \(f\)).

Monotonia. Pentru orice \(x\) real, \(\sqrt{x^2+3}\)​\(\gt\sqrt{x^2}\)​\(=|x|\)​\(\ge x\), deci \(\sqrt{x^2+3}-x\)​\(\gt0\) și \(f'(x)\gt0\). Funcția \(f\) este strict crescătoare pe \(\mathbb{R}\).

Limitele la capete. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\)​\(=-\infty-\infty\)​\(=-\infty\), iar din b), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)​\(=0\).

Funcția este continuă și strict crescătoare, deci ia toate valorile dintre limitele la capete, fără să le atingă: \(f(\mathbb{R})\)​\(=(-\infty,0)\).

Răspuns: \(a\in(-\infty,0)\)

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, Limite de funcții

\(\left(x^2+x+3\right)f(x)\)​\(=x\), deci

\[\int_0^2x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^2=\frac42=2.\]

Răspuns: \(2\)

Formule utile: Integrala definită — Leibniz–Newton

\(g(x)\)​\(=\dfrac{2x+1}{x}\cdot\dfrac{x}{x^2+x+3}\)​\(=\dfrac{2x+1}{x^2+x+3}\), iar \(\left(x^2+x+3\right)'\)​\(=2x+1\). Cu \(\displaystyle\int\frac{u'}{u}\)​\(=\ln|u|\):

\[\int_1^2\frac{\left(x^2+x+3\right)'}{x^2+x+3}\,dx=\ln\left(x^2+x+3\right)\Big|_1^2=\ln9-\ln5=\ln\frac95.\]

Răspuns: \(\ln\dfrac95\)

Formule utile: Tabel de integrale (formula \(\int\frac{u'}{u}\)​\(=\ln|u|\)), calculator integrale

Încadrăm funcția. Pentru \(x\ge0\): \(x^2+x+3\gt0\), deci \(f(x)\ge0\). În plus, \(f(x)\)​\(\le\dfrac12\)​\(\iff2x\)​\(\le x^2+x+3\)​\(\iff x^2-x+3\)​\(\ge0\), adevărat pentru orice \(x\) (\(\Delta=1-12\lt0\)). Deci

\[0\le f(x)\le\frac12\ \Rightarrow\ 0\le f^n(x)\le\left(\frac12\right)^n,\]

pentru orice \(x\in[0,+\infty)\) și orice \(n\in\mathbb{N}^*\).

Integrăm inegalitatea pe \([a,b]\subset[0,+\infty)\):

\[0\le I_n=\int_a^bf^n(x)\,dx\le\left(\frac12\right)^n(b-a).\]

Cum \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac12\right)^n\)​\(=0\), din criteriul cleștelui obținem \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)​\(=0\).

Răspuns: \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)​\(=0\)

Formule utile: Integrale definite (proprietatea de monotonie), Șiruri