Subiectul I.1 (5p · numere complexe)
Arătați că \(2i(6-i)+3(1-4i)=5\), unde \(i^2=-1\).
Vezi rezolvarea
Desfacem parantezele și folosim \(i^2=-1\):
Răspuns: \(2i(6-i)+3(1-4i)=5\).
Vezi și: Numere complexe.
Simulare Bac 2025 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate
Publicitate
Subiectul oficial de la simularea națională a Bacalaureatului 2025, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii), susținută de elevii de clasa a XII-a pe 25 martie 2025, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată și răspunsul final evidențiat.
Simularea este organizată de Ministerul Educației și Cercetării cu un singur subiect pe profil, are exact structura examenului din iunie și nu contează la nota finală de la Bacalaureat. Proba durează 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2.
Răspunsuri pe scurt
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(2i(6-i)+3(1-4i)=5\) |
| I.2 | \(a=10\) |
| I.3 | \(x=2\) |
| I.4 | \(p=\frac35\) |
| I.5 | \(m_{OA}\cdot m_{AB}=-1\) |
| I.6 | \(E\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\) |
| II.1 | a) \(4\); b) \(A(-2x-1)\); c) \((0,3)\), \((1,2)\) |
| II.2 | a) \(15\); b) \(e=0\); c) \(x=1\) |
| III.1 | b) \(+\infty\); c) \(f(x)-f(y)\le f(-1)-f(0)=\frac{3-e}{3e}\) |
| III.2 | a) \(7\); b) \(3\); c) \(a=7\) |
Subiectul I (30 de puncte)
Subiectul I.2 (5p · compunerea funcțiilor)
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+5\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f\circ f)(a)=2a\).
Vezi rezolvarea
Ecuația devine \(a+10=2a\), de unde \(a=10\).
Verificare: \((f\circ f)(10)=f(15)=20=2\cdot10\). ✓
Răspuns: \(a=10\).
Vezi și: Funcția de gradul I, Funcții — noțiuni introductive.
Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{x^2+4x-4}=x\sqrt2\).
Vezi rezolvarea
Membrul stâng este nenegativ, deci trebuie ca \(x\sqrt2\ge0\), adică \(x\ge0\). Ridicăm la pătrat:
\(x=2\ge0\), deci convine. Verificare: \(\sqrt{4+8-4}=\sqrt8=2\sqrt2\). ✓
Răspuns: \(x=2\).
Vezi și: Radicali, Ecuația de gradul al II-lea.
Subiectul I.4 (5p · probabilitate)
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul \(2^n\) să fie divizibil cu \(16\).
Vezi rezolvarea
Numerele naturale de o cifră sunt \(0,1,2,\dots,9\), deci sunt \(10\) cazuri posibile.
Cum \(16=2^4\), numărul \(2^n\) este divizibil cu \(16\) dacă și numai dacă \(n\ge4\), adică \(n\in\{4,5,6,7,8,9\}\): \(6\) cazuri favorabile.
Răspuns: \(p=\frac35\).
Vezi și: Probabilități.
Subiectul I.5 (5p · panta dreptei, drepte perpendiculare)
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(3,1)\) și \(B(2,4)\). Arătați că triunghiul \(OAB\) este dreptunghic în \(A\).
Vezi rezolvarea
Calculăm pantele dreptelor \(OA\) și \(AB\):
\(m_{OA}\cdot m_{AB}=\frac13\cdot(-3)=-1\), deci dreptele \(OA\) și \(AB\) sunt perpendiculare, adică \(\angle OAB=90^\circ\): triunghiul \(OAB\) este dreptunghic în \(A\).
Răspuns: \(m_{OA}\cdot m_{AB}=-1\), deci \(OA\perp AB\) și triunghiul \(OAB\) este dreptunghic în \(A\).
Vezi și: Panta unei drepte, Drepte paralele și perpendiculare.
Subiectul I.6 (5p · trigonometrie)
Se consideră expresia \(E(x)=\sin x+2\cos2x+2\sin^2\dfrac{x}{2}\), unde \(x\) este număr real. Arătați că \(E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x=\frac{\pi}{2}\): \(2x=\pi\) și \(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}\). Folosim valorile
Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\).
Vezi și: Tabel trigonometric, Calculator trigonometric.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-x\\-2x&2x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
Subiectul II.1 a) (5p · determinant)
Arătați că \(\det\big(A(1)\big)=4\).
Vezi rezolvarea
Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)=4\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Subiectul II.1 b) (5p · produsul matricelor)
Arătați că \(A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1)\), pentru orice număr real \(x\).
Vezi rezolvarea
Pe de altă parte, înlocuind \(x\) cu \(-2x-1\) în definiția lui \(A\):
Matricele coincid, deci \(A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1)\), pentru orice număr real \(x\).
Răspuns: \(A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1)\).
Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală în numere naturale)
Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale, cu \(m\lt n\), pentru care \(A(-1)\cdot\big(A(m)+A(n)\big)=2A(-4)\).
Vezi rezolvarea
Din b):
Elementele lui \(A(x)\) depind liniar de \(x\), deci \(A(p)+A(q)=2A\left(\frac{p+q}{2}\right)\); cu \(p=-2m-1\), \(q=-2n-1\):
Ecuația devine \(2A(-m-n-1)=2A(-4)\). Comparând elementele din linia 1, coloana 2, \(m+n+1=4\), adică \(m+n=3\).
Cu \(m,n\) naturale și \(m\lt n\): \((m,n)=(0,3)\) sau \((m,n)=(1,2)\).
Răspuns: \((m,n)\in\{(0,3),\,(1,2)\}\).
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y=x\cdot3^y+y\cdot3^x\).
Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)
Arătați că \(1\circ2=15\).
Subiectul II.2 b) (5p · element neutru)
Arătați că \(e=0\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(\circ\)”.
Vezi rezolvarea
Trebuie să arătăm că \(x\circ0=0\circ x=x\), pentru orice număr real \(x\):
Deci \(e=0\) este elementul neutru al legii „\(\circ\)”.
Răspuns: \(x\circ0=0\circ x=x\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), deci \(e=0\).
Vezi și: Structuri algebrice.
Subiectul II.2 c) (5p · ecuație exponențială)
Determinați numărul real nenul \(x\) pentru care \(x\circ(3x)=(2x)\circ(2x)\).
Vezi rezolvarea
Ecuația devine \(x\cdot3^x\left(3^{2x}+3\right)=4x\cdot3^{2x}\). Cum \(x\ne0\) și \(3^x\gt0\), împărțim la \(x\cdot3^x\):
\(3^x=1\Rightarrow x=0\), care nu convine (\(x\) este nenul); \(3^x=3\Rightarrow x=1\).
Verificare: \(1\circ3=27+9=36\) și \(2\circ2=2\cdot9+2\cdot9=36\). ✓
Răspuns: \(x=1\).
Vezi și: Ecuații exponențiale.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3}\).
Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)
Arătați că \(f'(x)=\dfrac{e^x\left(x^2+x\right)}{\left(x^2+3x+3\right)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\).
Vezi rezolvarea
Folosim \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) (numitorul nu se anulează: \(x^2+3x+3\) are discriminantul \(9-12\lt0\)):
Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{e^x\left(x^2+x\right)}{\left(x^2+3x+3\right)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
Subiectul III.1 b) (5p · limită, regula lui l'Hospital)
Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Vezi rezolvarea
Avem cazul \(\frac{\infty}{\infty}\), deci aplicăm de două ori regula lui l'Hospital:
Răspuns: \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Vezi și: Limite de funcții, limite remarcabile, Calculator limite.
Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)
Demonstrați că \(f(x)-f(y)\le\dfrac{3-e}{3e}\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\), cu \(x\le0\le y\).
Vezi rezolvarea
Din a), \(f'(x)=0\Leftrightarrow x(x+1)=0\Leftrightarrow x=-1\) sau \(x=0\). Semnul lui \(f'\) este semnul lui \(x(x+1)\):
• pe \((-\infty,-1]\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare;
• pe \([-1,0]\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare;
• pe \([0,+\infty)\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare.
Așadar, pentru \(x\in(-\infty,0]\), \(f(x)\le f(-1)\) (maximul pe \((-\infty,0]\)), iar pentru \(y\in[0,+\infty)\), \(f(y)\ge f(0)\) (minimul pe \([0,+\infty)\)). Calculăm:
Răspuns: \(f(x)-f(y)\le f(-1)-f(0)=\frac{3-e}{3e}\), pentru \(x\le0\le y\).
2. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=4x+1+3x\ln x\).
Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_1^2\big(f(x)-3x\ln x\big)\,dx=7\).
Vezi rezolvarea
\(f(x)-3x\ln x=4x+1\). Cu formula Leibniz–Newton:
Răspuns: integrala este egală cu \(7\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Subiectul III.2 b) (5p · integrare prin părți)
Arătați că \(\displaystyle\int_1^e\frac{f(x)-4x-1}{x}\,dx=3\).
Vezi rezolvarea
\(\frac{f(x)-4x-1}{x}=\frac{3x\ln x}{x}=3\ln x\). Integrăm prin părți, cu \(3=(3x)'\):
Răspuns: integrala este egală cu \(3\).
Vezi și: Integrarea prin părți.
Subiectul III.2 c) (5p · integrală de forma u'/u)
Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\displaystyle\int_2^4\frac{f(x)-1}{x^2\ln x}\,dx=a\ln2\).
Vezi rezolvarea
Pe \([2,4]\), \(\ln x\gt0\) și
Cum \(\ln4=2\ln2\), \(\frac{\ln4}{\ln2}=2\), deci integrala este \(4\ln2+3\ln2=7\ln2\).
Din \(a\ln2=7\ln2\) obținem \(a=7\).
Răspuns: \(a=7\).
Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Logaritmi.
Ce s-a cerut la simularea Bac 2025 M2
Subiectul I a cuprins numere complexe, compunerea funcțiilor, o ecuație cu radicali, o probabilitate, perpendicularitatea a două drepte în geometria analitică și o expresie trigonometrică. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți și o lege de compoziție cu puteri ale lui 3, iar Subiectul al III-lea derivate, limite cu regula lui l'Hospital, monotonie și integrale definite (prin părți și de forma \(\frac{u'}{u}\)).
Subiectul și baremul oficial au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării / CNPEE pe subiecte.edu.ro, în secțiunea simulării Bacalaureatului 2025 pentru clasa a XII-a.
Întrebări frecvente
Contează simularea Bac 2025 la nota finală? Nu. Simularea din 24–27 martie 2025 este un exercițiu de pregătire și diagnostic pentru elevii de clasa a XII-a; nota obținută nu intră în media de la Bacalaureat. Ea arată însă foarte bine ce nivel ai înainte de examenul din iunie, pentru că structura și baremul sunt identice cu cele de la examen.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2025 M2? De obicei III.1 c): trebuie stabilită monotonia lui \(f\) pe trei intervale și observat că pe \((-\infty,0]\) maximul este \(f(-1)=\frac1e\), iar pe \([0,+\infty)\) minimul este \(f(0)=\frac13\).
Alte subiecte
Bac 2025 M2 rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Simulare Bac 2026 M2 rezolvată · Simulare Bac 2024 M2 rezolvată
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.