Geometrie analitică: formule pentru puncte, vectori, drepte și arii

Geometria analitică traduce figurile geometrice în coordonate și ecuații: un punct devine o pereche $(x,y)$, o dreaptă devine o ecuație de gradul I, iar paralelismul, perpendicularitatea și aria se verifică prin calcul, fără desen. Capitolul acoperă coordonatele carteziene și distanța dintre două puncte, coordonatele vectorilor, ecuația și panta dreptei, unghiul dintre două drepte, condițiile de paralelism și perpendicularitate, punctul de intersecție a două drepte, distanța de la un punct la o dreaptă și aria triunghiului. Este materia de clasa a X-a și unul dintre subiectele sigure la Bacalaureat, atât la M1, cât și la M2 (subiectul I sau II).

Formulele esențiale

Pentru punctele $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$:

Distanța dintre două puncte: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.

Mijlocul segmentului: $M({\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}},{\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}})$; centrul de greutate al triunghiului $ABC$: $G({\displaystyle \frac{x_A+x_B+x_C}{3}},{\displaystyle \frac{y_A+y_B+y_C}{3}})$.

Vectorul $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\overrightarrow{i}+(y_B-y_A)\overrightarrow{j}$, cu modulul $|\overrightarrow{AB}|=AB$.

Panta dreptei $AB$: $m={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}$, pentru $x_A\ne x_B$.

Ecuația dreptei prin punctul $A$ cu panta $m$: $y-y_A=m(x-x_A)$; forma generală: $ax+by+c=0$, cu panta $m=-{\displaystyle \frac{a}{b}}$.

Paralelism și perpendicularitate: $d_1\parallel d_2\iff m_1=m_2$, iar $d_1\perp d_2\iff m_1\cdot m_2=-1$.

Distanța de la punctul $P(x_0,y_0)$ la dreapta $ax+by+c=0$:

Aria triunghiului $ABC$: $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}|\mathrm{\Delta }|$, unde $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|$; punctele sunt coliniare dacă și numai dacă $\mathrm{\Delta }=0$.

Pași de rezolvare

1. Notează coordonatele tuturor punctelor date și desenează o schiță rapidă pentru a evita erorile de semn.
2. Alege formula după ce se cere: lungime → distanța; dreaptă → panta și ecuația; poziție relativă → compară pantele; arie sau coliniaritate → determinantul.
3. Scrie ecuațiile dreptelor în forma generală înainte de a calcula distanțe sau intersecții.
4. Intersecția a două drepte se obține rezolvând sistemul format din ecuațiile lor.
5. Verifică rezultatul: punctul găsit trebuie să satisfacă ambele ecuații; distanța și aria trebuie să fie pozitive.

Greșeli frecvente

• Inversarea ordinii la panta $m={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}$ (diferența ordonatelor la numărător, nu la numitor).
• Omiterea modulului în formula distanței de la un punct la o dreaptă sau a factorului ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ la arie.
• Confundarea condiției de perpendicularitate $m_1{m}_2=-1$ cu $m_1=-m_2$; dreptele verticale nu au pantă și se tratează separat.

Întrebări frecvente

Cum scriu ecuația dreptei prin două puncte? Calculezi panta $m$ și folosești $y-y_A=m(x-x_A)$, sau aplici direct ${\displaystyle \frac{x-x_A}{x_B-x_A}}={\displaystyle \frac{y-y_A}{y_B-y_A}}$.

Cum verific dacă trei puncte sunt coliniare? Calculezi determinantul $\mathrm{\Delta }$ de mai sus; dacă este zero, punctele sunt coliniare. Alternativ, compari pantele $m_{AB}$ și $m_{AC}$.

Ce apare cel mai des la Bacalaureat? Ecuația dreptei prin două puncte, ecuația medianei sau a înălțimii, distanța dintre puncte și aria triunghiului cu determinant.

Capitolul face parte din secțiunea Geometrie și trigonometrie; sistemele necesare la intersecția dreptelor sunt explicate în Ecuații, iar limitele și derivatele în Analiză.

Istoric: René Descartes (1596 – 1650) — este, alături de Pierre de Fermat, întemeietorul geometriei analitice.

Exersează: fișă de lucru printabilă — geometrie analitică, clasa a 9-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Toate formulele din această categorie