Bacalaureat 2020 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate

Termenul general al progresiei aritmetice este \(a_n=a_1+(n-1)r\), deci

\[ a_3=a_1+2r=2+2\cdot3=8. \]

Răspuns: \(a_3=8\).

Vezi și: Progresia aritmetică.

\(f\left(x^2\right)=2x^2+1\), deci

\[ 2x^2+1=9 \iff x^2=4 \iff x=-2 \text{ sau } x=2. \]

Răspuns: \(x\in\{-2,\,2\}\).

Vezi și: Funcția de gradul I.

Scriem \(3^{2x+2}=3^{2x}\cdot3^2\) și dăm factor comun \(3^{2x}\):

\[ 3^{2x}\left(3^2-1\right)=8 \iff 8\cdot3^{2x}=8 \iff 3^{2x}=1=3^0, \]

deci \(2x=0\) și \(x=0\).

Răspuns: \(x=0\).

Vezi și: Ecuații exponențiale, Puteri.

Cazuri posibile: mulțimea \(A\) are \(9\) elemente.

Cazuri favorabile: \(100=2^2\cdot5^2\); divizorii lui \(100\) din \(A\) sunt \(1, 2, 4\) și \(5\), adică \(4\) numere.

\[ p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac49. \]

Răspuns: \(p=\dfrac49\).

Vezi și: Probabilități.

Fie \(\{O\}=AC\cap BD\). Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc, deci \(O\) este mijlocul lui \(AC\) și și al lui \(BD\).

Pentru mijlocul unui segment avem regula: dacă \(O\) este mijlocul lui \(AC\), atunci

\[ \overrightarrow{PO}=\frac12\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}\right). \]

Analog, \(O\) fiind mijlocul lui \(BD\),

\[ \overrightarrow{PO}=\frac12\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\right). \]

Egalând cele două expresii ale lui \(\overrightarrow{PO}\) obținem \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\).

Altă metodă: egalitatea este echivalentă cu \(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PC}\), adică \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\), ceea ce este adevărat în paralelogramul \(ABCD\).

Răspuns: egalitatea vectorială este demonstrată.

Vezi și: Vectori, Patrulatere (paralelogramul).

Folosim formulele \(\sin(u-v)=\sin u\cos v-\sin v\cos u\) și \(\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v\):

\[ \sin\left(x-\frac\pi4\right)+\cos\left(x+\frac\pi4\right)=\sin x\cos\frac\pi4-\sin\frac\pi4\cos x+\cos x\cos\frac\pi4-\sin x\sin\frac\pi4. \]

Cu \(\sin\frac\pi4=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}\):

\[ =\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x=0, \]

pentru orice număr real \(x\).

Răspuns: identitatea este demonstrată.

Vezi și: Formule trigonometrice, Tabel trigonometric.

\[ A(0)=\begin{pmatrix}12&0\\1&3\end{pmatrix}, \]

\[ \det\big(A(0)\big)=\begin{vmatrix}12&0\\1&3\end{vmatrix}=12\cdot3-0\cdot1=36. \]

Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)=36\).

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

\[ A(a)-(12+a)I_2=\begin{pmatrix}0&a\\1+a&-9\end{pmatrix}, \]

\[ \det\big(A(a)-(12+a)I_2\big)=0\cdot(-9)-a(1+a)=-a(1+a). \]

\(-a(1+a)=0\iff a=0\) sau \(a=-1\).

Răspuns: \(a\in\{-1,\,0\}\).

Fie \(X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) (aici \(a,b,c,d\) sunt elementele lui \(X\), nu parametrul din enunț). Atunci

\[ X\cdot X=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+bc\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12&0\\1&3\end{pmatrix}. \]

Din \(c(a+d)=1\) rezultă \(a+d\ne0\); atunci din \(b(a+d)=0\) obținem \(b=0\).

Înlocuind în \(d^2+bc=3\) obținem \(d^2=3\), deci \(d=\sqrt3\) sau \(d=-\sqrt3\), număr irațional.

Răspuns: elementul \(d\) al matricei \(X\) este \(\pm\sqrt3\), deci irațional.

Vezi și: Fișă: puteri de matrice și ecuații matriceale.

\[ 1\circ1=1+\sqrt[3]{1}-2=1+1-2=0. \]

Răspuns: \(1\circ1=0\).

Vezi și: Legi de compoziție.

\(x\circ a=x+\sqrt[3]{a}-2\), deci condiția devine

\[ x+\sqrt[3]{a}-2=x \text{ pentru orice } x\in\mathbb{R} \iff \sqrt[3]{a}=2 \iff a=2^3=8. \]

Răspuns: \(a=8\).

Vezi și: Radicali.

\(\sqrt[3]{x^6}=x^2\) pentru orice \(x\) real, deci

\[ x\circ x^6=x+\sqrt[3]{x^6}-2=x+x^2-2=4 \iff x^2+x-6=0. \]

\(\Delta=1+24=25\), deci \(x=\dfrac{-1-5}{2}=-3\) sau \(x=\dfrac{-1+5}{2}=2\).

Răspuns: \(x\in\{-3,\,2\}\).

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Cu \(\left(\sqrt u\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}\), pentru \(u=x^2-1\):

\[ f'(x)=\left(x^2\right)'-\left(2\sqrt{x^2-1}\right)'=2x-2\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=2x-\frac{2x}{\sqrt{x^2-1}}=2x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right). \]

Răspuns: formula derivatei este demonstrată.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

\(x^2-f(x)=2\sqrt{x^2-1}\). Pentru \(x\gt1\), \(\sqrt{x^2-1}=x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\), deci

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2\sqrt{x^2-1}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x}=2\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=2. \]

Răspuns: limita este \(2\).

Vezi și: Limite de funcții, Calculator limite.

Intersecția cu \(Ox\):

\[ f(x)=0 \iff x^2=2\sqrt{x^2-1} \iff x^4=4\left(x^2-1\right) \iff x^4-4x^2+4=0 \iff \left(x^2-2\right)^2=0, \]

(ridicarea la pătrat este o echivalență, ambii membri fiind pozitivi), deci \(x^2=2\) și, cum \(x\gt1\), \(x=\sqrt2\). Graficul intersectează axa \(Ox\) în punctul \(A\left(\sqrt2,0\right)\).

Panta tangentei în \(A\):

\[ f'\left(\sqrt2\right)=2\sqrt2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2-1}}\right)=2\sqrt2\cdot0=0. \]

Tangenta în \(A\) are ecuația \(y-f\left(\sqrt2\right)=f'\left(\sqrt2\right)\left(x-\sqrt2\right)\), adică \(y=0\), care este chiar axa \(Ox\).

Răspuns: axa \(Ox\) este tangentă la grafic în punctul \(A\left(\sqrt2,0\right)\).

Vezi și: Ecuația tangentei la graficul unei funcții.

\(\left(x^2+2x+2\right)f(x)=x\), deci

\[ \int_0^1 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1=\frac12. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac12\).

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Adunăm fracțiile și observăm că \(\left(x^2+2x+2\right)'=2x+2=2(x+1)\):

\[ \int_0^2\frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx=\frac12\int_0^2\frac{\left(x^2+2x+2\right)'}{x^2+2x+2}\,dx=\left.\frac12\ln\left(x^2+2x+2\right)\right|_0^2. \]

\[ =\frac12\left(\ln10-\ln2\right)=\frac12\ln5. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac12\ln5\).

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.

Pentru \(x\in[1,e]\): \(\dfrac{1}{f(x)}-2=\dfrac{x^2+2x+2}{x}-2=x+\dfrac2x\). Integrala se scrie

\[ \int_1^e x\ln x\,dx+2\int_1^e\frac1x\ln x\,dx. \]

Prima integrală (prin părți, cu \(u=\ln x\), \(v'=x\)):

\[ \int_1^e x\ln x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\ln x\right|_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,dx=\frac{e^2}{2}-\left.\frac{x^2}{4}\right|_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac14=\frac{e^2+1}{4}. \]

A doua integrală: \(\dfrac1x\ln x=(\ln x)'\ln x\), cu primitiva \(\dfrac{\ln^2x}{2}\):

\[ 2\int_1^e\frac1x\ln x\,dx=2\cdot\left.\frac{\ln^2x}{2}\right|_1^e=\ln^2e-\ln^21=1. \]

Adunând: \(\dfrac{e^2+1}{4}+1=\dfrac{e^2+5}{4}\).

Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac{e^2+5}{4}\).

Vezi și: Integrarea prin părți, Primitive.