Subiectul oficial de la simularea Bacalaureatului 2025 la matematică M_mate-info (M1), dat marți, 25 martie 2025, elevilor de clasa a XII-a, rezolvat complet, pas cu pas, după baremul oficial. Pentru fiecare item găsești enunțul, rezolvarea detaliată, răspunsul final și formulele necesare.
Simularea națională a examenului de Bacalaureat este organizată de Ministerul Educației în fiecare primăvară, cu un subiect unic pentru fiecare profil și cu aceeași structură ca la examen: proba E. c), filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică (și filiera vocațională, profil militar, mate-info), toate subiectele obligatorii, 3 ore de lucru, 3 × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu. Nota de la simulare nu contează la media de Bacalaureat. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Subiectul din sesiunea de vară îl găsești la Bac 2025 M1 iunie rezolvat.
Cuprins: Subiectul I · Subiectul al II-lea · Subiectul al III-lea · Răspunsuri pe scurt
Rația progresiei geometrice este
Din \(b_3=b_1q^2\) obținem \(b_1\)\(=\dfrac{b_3}{q^2}\)\(=\dfrac{40}{4}\)\(=10\).
Răspuns: \(b_1=10\)
Formule utile: Progresia geometrică
Graficul intersectează axa \(Ox\) în două puncte distincte dacă ecuația \(f(x)=0\), adică \(x^2-2x+m=0\), are două soluții reale distincte, deci \(\Delta\gt0\):
Răspuns: \(m\in(-\infty,1)\)
Formule utile: Funcția de gradul al II-lea, calculator ecuația de gradul 2
\(3^{x+1}=3\cdot3^x\), deci ecuația devine
Funcția exponențială este injectivă, deci \(x=2\).
Răspuns: \(x=2\)
Formule utile: Ecuații exponențiale
Numerele naturale de două cifre sunt \(10,11,\dots,99\): \(90\) de cazuri posibile.
\(n^2\) are trei cifre dacă \(100\le n^2\le999\). Cum \(31^2=961\) și \(32^2=1024\), condiția este \(10\le n\le31\), adică \(31-10+1=22\) de cazuri favorabile.
Răspuns: \(p=\dfrac{11}{45}\)
Formule utile: Probabilități
Din \(\overrightarrow{AB}\)\(=2\overrightarrow{AC}\), punctul \(C\) este mijlocul segmentului \(AB\), deci \(\overrightarrow{CB}\)\(=\dfrac12\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AB}\)\(=(7-1)\vec i+(4-2)\vec j\)\(=6\vec i+2\vec j\), deci
(Concret, \(C(4,3)\) și \(\overrightarrow{CB}\)\(=(7-4)\vec i+(4-3)\vec j\).) Coordonatele lui \(D\) sunt coordonatele vectorului \(\overrightarrow{OD}\).
Răspuns: \(D(3,1)\)
Formule utile: Coordonatele unui vector, fișă vectori în plan
În triunghiul \(ABD\), dreptunghic în \(D\): \(BD\)\(=\sqrt{AB^2-AD^2}\)\(=\sqrt{100-64}\)\(=6\).
În triunghiul \(ADC\), dreptunghic în \(D\), distanța de la \(D\) la ipotenuza \(AC\) este înălțimea: \(\dfrac{AD\cdot DC}{AC}\)\(=4\sqrt2\). Notând \(DC=c\), \(AC=\sqrt{64+c^2}\):
Triunghiul fiind ascuțitunghic, piciorul înălțimii \(D\) se află între \(B\) și \(C\), deci \(BC=BD+DC=6+8=14\) și
Răspuns: \(\mathcal{A}_{ABC}\)\(=56\)
Formule utile: Teorema lui Pitagora, Aria triunghiului
1. Se consideră matricea \(A(a)\)\(=\begin{pmatrix}a&1&-a\\3&1&-2\\1&-3&a\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}ax+y-az=1\\3x+y-2z=1\\x-3y+az=-3\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.
\(A(0)\)\(=\begin{pmatrix}0&1&0\\3&1&-2\\1&-3&0\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:
(Singurul produs nenul este \(1\cdot(-2)\cdot1\)\(=-2\), de pe diagonala \(a_{12}a_{23}a_{31}\).)
Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)\)\(=-2\)
Formule utile: Determinanți, calculator determinant
Cu regula lui Sarrus:
(Produsele: \(a\cdot1\cdot a\)\(=a^2\), \(1\cdot(-2)\cdot1\)\(=-2\), \((-a)\cdot3\cdot(-3)\)\(=9a\); se scad \((-a)\cdot1\cdot1\)\(=-a\), \(a\cdot(-2)\cdot(-3)\)\(=6a\), \(1\cdot3\cdot a=3a\).)
\(a^2+a-2\)\(=(a+2)(a-1)\), deci \(\det\big(A(a)\big)\)\(=0\)\(\iff a\)\(=-2\) sau \(a=1\). Sistemul are soluție unică dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului este nenul.
Răspuns: \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}\)
Formule utile: Sisteme de ecuații, Determinanți
Pentru \(a=1\) sistemul este \(\begin{cases}x+y-z=1\\3x+y-2z=1\\x-3y+z=-3\end{cases}\). Scăzând prima ecuație din a doua: \(2x-z=0\), deci \(z=2x\); din prima, \(y=1-x+z=x+1\). A treia ecuație: \(x-3(x+1)+2x=-3\) ✓. Soluțiile sunt
Fie \((x_1,y_1,z_1)\)\(=(\alpha_1,\alpha_1+1,2\alpha_1)\) și \((x_2,y_2,z_2)\)\(=(\alpha_2,\alpha_2+1,2\alpha_2)\). Condițiile devin
Înlocuind: \(2\alpha_1\)\(=\alpha_1+2\), deci \(\alpha_1=2\) și \(\alpha_2=3\).
Răspuns: \((x_1,y_1,z_1)\)\(=(2,3,4)\) și \((x_2,y_2,z_2)\)\(=(3,4,6)\)
Formule utile: Sisteme de ecuații, calculator sisteme de ecuații
2. Pe mulțimea \(M=(0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y\)\(=\sqrt{xy}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{2}-2\).
Pentru \(x\gt0\), \(\sqrt{x\cdot x}=x\), deci
Obținem \(x=\dfrac12\) sau \(x=1\), ambele în \(M=(0,+\infty)\).
Răspuns: \(x\in\left\{\dfrac12,1\right\}\)
Formule utile: Legi de compoziție, Ecuația de gradul al II-lea
Notăm \(t=\sqrt{xy}\gt0\). Atunci \(t+\dfrac1t-2\)\(=\dfrac{t^2-2t+1}{t}\)\(=\dfrac{(t-1)^2}{t}\), deci
Dacă \(x,y\in[1,+\infty)\), atunci \(x+y\ge2\), deci \(\dfrac{x+y}{2}\)\(\ge1\) și \(x*y\ge1\), adică \(x*y\in[1,+\infty)\). Prin urmare \([1,+\infty)\) este parte stabilă a lui \(M\) în raport cu „\(*\)”.
Răspuns: Pentru orice \(x,y\ge1\), \(x*y\)\(\ge\dfrac{x+y}{2}\)\(\ge1\), deci \([1,+\infty)\) este parte stabilă.
Formule utile: Legi de compoziție, Inegalitatea mediilor
1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{2x-2}{x+2}+\ln\dfrac{x+2}{x}\).
Folosim regula câtului și \(\ln\dfrac{x+2}{x}\)\(=\ln(x+2)-\ln x\):
Aducem la numitorul comun \(x(x+2)^2\):
Răspuns: \(f'(x)\)\(=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^2}\)
Formule utile: Derivate, calculator derivate
Limita este finită, deci dreapta de ecuație \(y=2\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\).
Răspuns: \(y=2\)
Formule utile: Asimptote orizontale, calculator asimptote
\(f'(x)=0\iff x=1\). Pentru \(x\in(0,1]\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \((0,1]\); pentru \(x\in[1,+\infty)\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \([1,+\infty)\). Minimul funcției este
\(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)\)\(=+\infty\) (căci \(\frac{x+2}{x}\to+\infty\)), iar \(f\) este continuă, deci \(f\big((0,1]\big)\)\(=[\ln3,+\infty)\) și imaginea lui \(f\) este \([\ln3,+\infty)\).
Ecuația \(f(x)=n\) nu are soluții exact când \(n\lt\ln3\). Cum \(1\lt\ln3\lt2\) (deoarece \(e\lt3\lt e^2\)), numerele naturale cu \(n\lt\ln3\) sunt \(n=0\) și \(n=1\).
Răspuns: \(n\in\{0,1\}\)
Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2}{2x^2+1}\).
\(\left(2x^2+1\right)f(x)\)\(=x^2\), deci
Răspuns: Integrala este egală cu \(3\).
Formule utile: Integrale definite, calculator integrale
Pentru \(x\in[0,2]\), \(\sqrt{f(x)}\)\(=\dfrac{|x|}{\sqrt{2x^2+1}}\)\(=\dfrac{x}{\sqrt{2x^2+1}}\). Cum \(\left(2x^2+1\right)'\)\(=4x\):
Răspuns: Integrala este egală cu \(1\).
Formule utile: Tabel de integrale nedefinite, Integrale definite
\(\left(\sqrt{e^x}\right)^2\)\(=e^x\), deci \(f\left(\sqrt{e^x}\right)\)\(=\dfrac{e^x}{2e^x+1}\) și \(\dfrac{1}{f\left(\sqrt{e^x}\right)}\)\(=\dfrac{2e^x+1}{e^x}\)\(=2+e^{-x}\). Astfel \(I_n\)\(=\displaystyle\int_0^1x^n\left(2+e^{-x}\right)dx\) și
Separăm cele două părți. Prima:
A doua: \(\left(x^{n+1}e^{-x}\right)'\)\(=(n+1)x^ne^{-x}-x^{n+1}e^{-x}\), deci
În total, \((n+1)I_n-I_{n+1}\)\(=2-\dfrac{2}{n+2}+\dfrac1e\)\(=\dfrac{2(n+1)}{n+2}+\dfrac1e\).
Răspuns: \((n+1)I_n-I_{n+1}\)\(=\dfrac{2(n+1)}{n+2}+\dfrac1e\) pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\).
Formule utile: Integrale definite, Integrarea prin părți
| Item | Rezultat |
|---|---|
| I.1 | \(b_1=10\) |
| I.2 | \(m\in(-\infty,1)\) |
| I.3 | \(x=2\) |
| I.4 | \(p=\frac{11}{45}\) |
| I.5 | \(D(3,1)\) |
| I.6 | aria \(=56\) |
| II.1 | a) \(-2\); b) \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}\); c) \((2,3,4)\), \((3,4,6)\) |
| II.2 | a) 3; b) \(x\in\left\{\frac12,1\right\}\); c) parte stabilă demonstrată |
| III.1 | b) \(y=2\); c) \(n\in\{0,1\}\) |
| III.2 | a) 3; b) 1; c) relație demonstrată |
Contează simularea Bac 2025 la nota finală? Nu. Simularea din martie 2025 este un exercițiu de pregătire și nu intră în media de Bacalaureat; rezultatele se comunică individual, iar nota poate fi trecută în catalog doar la cererea elevului sau a părintelui.
Cum arăt că o mulțime este parte stabilă? Iei două elemente oarecare din mulțime și arăți că rezultatul compunerii lor aparține tot mulțimii, de obicei printr-o inegalitate sau o factorizare convenabilă.
Cum găsesc asimptota orizontală spre plus infinit? Calculezi \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\); dacă limita este un număr finit \(\ell\), dreapta \(y=\ell\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\).
Cum se calculează nota la proba de matematică? Se adună punctele de la cele trei subiecte (maximum 90) cu 10 puncte din oficiu, iar totalul se împarte la 10.
Recapitulează înainte de examen cu formulele de Bacalaureat la matematică (memorator pe capitole) și verifică-ți calculele cu calculatorul de derivate, calculatorul de integrale sau calculatorul de determinanți.
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate (M1, M2)
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.