Bacalaureat 2026 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Calculăm întâi \(z+2i=3-i+2i=3+i\). Atunci

\[z(z+2i)=(3-i)(3+i)=3^2-i^2=9-(-1)=10.\]

Am folosit \((a-b)(a+b)\)​\(=a^2-b^2\) și \(i^2=-1\).

Răspuns: \(z(z+2i)=10\), ceea ce trebuia demonstrat.

Formule utile: Numere complexe

\(f(a)=3a-4\) și \(f(-2a)\)​\(=3\cdot(-2a)-4\)​\(=-6a-4\).

Ecuația devine \(3a-4-6a-4=a\), adică \(-3a-8=a\), deci \(-4a=8\) și \(a=-2\).

Verificare: \(f(-2)=-10\), \(f(4)=8\), iar \(-10+8=-2=a\).

Răspuns: \(a=-2\)

Formule utile: Funcția de gradul I

Condiții de existență: \(x+1\ge 0\), adică \(x\ge -1\) (radicandul \(x^2+7\) este mereu pozitiv).

Ambii membri sunt nenegativi, deci putem ridica la pătrat:

\[x^2+7=4(x+1)\iff x^2-4x+3=0.\]

\(\Delta=16-12=4\), deci \(x_1\)​\(=\dfrac{4-2}{2}\)​\(=1\) și \(x_2\)​\(=\dfrac{4+2}{2}\)​\(=3\). Ambele verifică \(x\ge-1\).

Verificare: pentru \(x=1\): \(\sqrt8=2\sqrt2\) ✓; pentru \(x=3\): \(\sqrt{16}\)​\(=4\)​\(=2\sqrt4\) ✓.

Răspuns: \(S=\{1,\,3\}\)

Formule utile: Radicali, Ecuația de gradul al II-lea, calculator ecuația de gradul 2

O astfel de submulțime conține sigur elementul \(5\); celelalte două elemente se aleg din \(A\setminus\{5\}\)​\(=\{1,2,3,7\}\), care are 4 elemente.

\[C_4^2=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=6.\]

Concret: \(\{1,2,5\},\)​\(\{1,3,5\},\)​\(\{1,5,7\},\)​\(\{2,3,5\},\)​\(\{2,5,7\},\)​\(\{3,5,7\}\).

Răspuns: 6 submulțimi

Formule utile: Combinatorică, calculator combinări

Pantele dreptelor:

\[m_{OA}=\frac{6-0}{3-0}=2,\qquad m_{BC}=\frac{a-1}{5-4}=a-1.\]

Dreptele sunt paralele dacă au pantele egale: \(a-1=2\), deci \(a=3\). (Dreptele nu coincid, deoarece \(B(4,1)\) nu se află pe \(OA: y=2x\).)

Răspuns: \(a=3\)

Formule utile: Panta unei drepte, Drepte paralele și perpendiculare

Pentru \(x=\dfrac{\pi}{3}\): \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}\)​\(=\sqrt3\), \(\sin\dfrac{\pi}{6}\)​\(=\dfrac12\), \(\cos\pi=-1\).

\[E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(1+(\sqrt3)^2\right)\cdot\frac12+(-1)=4\cdot\frac12-1=1.\]

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)\)​\(=1\)

Formule utile: Tabel trigonometric, Formule trigonometrice

\(A(1)\)​\(=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&1\\0&2&1\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(1)\big)=3+0+2-0-2-1=2.\]

Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=2\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Matricea sistemului este \(A(a)\). Calculăm determinantul (Sarrus):

\[\det\big(A(a)\big)=3+0+2a^2-0-2a-a^2=a^2-2a+3.\]

Scriem \(a^2-2a+3\)​\(=(a-1)^2+2\)​\(\ge 2\)​\(\gt 0\), deci \(\det\big(A(a)\big)\)​\(\ne0\) pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).

Sistemul este de tip Cramer, deci are soluție unică.

Răspuns: \(\det\big(A(a)\big)\)​\(=(a-1)^2+2\)​\(\ne0\) pentru orice \(a\) real, deci sistemul are soluție unică.

Formule utile: Sisteme de ecuații, Gabriel Cramer

Cu \(\Delta=a^2-2a+3\), regula lui Cramer dă:

\[\Delta_x=\begin{vmatrix}1&a&a\\0&3&a\\0&2&1\end{vmatrix}=3-2a,\qquad \Delta_z=\begin{vmatrix}1&a&1\\a&3&0\\0&2&0\end{vmatrix}=2a,\]

deci \(x_0\)​\(=\dfrac{3-2a}{\Delta}\) și \(z_0\)​\(=\dfrac{2a}{\Delta}\).

Condiția \(z_0=nx_0\) devine \(2a=n(3-2a)\). Cum \(a\ge1\), avem \(2a\gt0\), deci \(n(3-2a)\gt0\), adică \(n\ge1\) și \(3-2a\gt0\), de unde \(a\lt\dfrac32\). Singurul număr natural nenul posibil este \(a=1\), pentru care \(2=n\cdot1\), deci \(n=2\) (natural, convine).

Verificare: pentru \(a=1\) soluția este \(\left(\frac12,-\frac12,1\right)\) și într-adevăr \(z_0\)​\(=1\)​\(=2\cdot\frac12\).

Răspuns: \(a=1\)

Formule utile: Sisteme de ecuații (regula lui Cramer)

\[0*2=\frac23(0-3)(2-3)+3=\frac23\cdot3+3=2+3=5.\]

Răspuns: \(0*2=5\)

Formule utile: Legi de compoziție

\[x*\frac{3x}{2}=\frac23(x-3)\left(\frac{3x}{2}-3\right)+3=\frac23\cdot\frac32(x-3)(x-2)+3=x^2-5x+9.\]

Ecuația devine \(x^2-5x+9\)​\(=5x\)​\(\iff x^2-10x+9\)​\(=0\)​\(\iff(x-1)(x-9)\)​\(=0\).

Răspuns: \(x=1\) sau \(x=9\)

Formule utile: Ecuația de gradul al II-lea

\(m*m\)​\(=\dfrac23(m-3)^2+3\), deci \((m*m)-3\)​\(=\dfrac23(m-3)^2\) și

\[m*m*n=\frac23\cdot\frac23(m-3)^2(n-3)+3=\frac49(m-3)^2(n-3)+3.\]

Ecuația \(\frac49(m-3)^2(n-3)+3\)​\(=-1\) este echivalentă cu \((m-3)^2(n-3)=-9\).

Cum \((m-3)^2\ge0\), trebuie \(n-3\lt0\), adică \(n\in\{0,1,2\}\):

• \(n=0\): \((m-3)^2=3\), fără soluții naturale;
• \(n=1\): \((m-3)^2=\frac92\), fără soluții naturale;
• \(n=2\): \((m-3)^2=9\), deci \(m-3=\pm3\), adică \(m=0\) sau \(m=6\).

Răspuns: \((m,n)\in\{(0,2),\,(6,2)\}\)

Formule utile: Legi de compoziție

Cu regula câtului \(\left(\frac{u}{v}\right)'\)​\(=\frac{u'v-uv'}{v^2}\):

\[f'(x)=\frac{(3x^2-4)(x^2+5)-(x^3-4x)\cdot2x}{(x^2+5)^2}.\]

Numărătorul: \((3x^4+15x^2-4x^2-20)\) \(-\,(2x^4-8x^2)\) \(=x^4+19x^2-20\).

Descompunem: \(x^4+19x^2-20\)​\(=(x^2-1)(x^2+20)\) (verificare: \(x^4+20x^2-x^2-20\)).

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2}\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

Panta: \(m\)​\(=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\)​\(=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-4x}{x^3+5x}\)​\(=1\).

Ordonata la origine:

\[n=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-4x-x^3-5x}{x^2+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-9x}{x^2+5}=0.\]

Deci asimptota oblică spre \(+\infty\) este \(y=mx+n=x\).

Răspuns: \(y=x\) este asimptotă oblică spre \(+\infty\).

Formule utile: Asimptote oblice, calculator asimptote

Din a), \(f'(x)\)​\(=0\)​\(\iff x^2-1\)​\(=0\)​\(\iff x\)​\(=-1\) sau \(x=1\) (căci \(x^2+20\gt0\)). Semnul lui \(f'\) este semnul lui \(x^2-1\):

• pe \((-\infty,-1)\): \(f'\gt0\), \(f\) strict crescătoare;
• pe \((-1,1)\): \(f'\lt0\), \(f\) strict descrescătoare;
• pe \((1,+\infty)\): \(f'\gt0\), \(f\) strict crescătoare.

Valori: \(f(-1)\)​\(=\dfrac{-1+4}{6}\)​\(=\dfrac12\), \(f(1)\)​\(=\dfrac{1-4}{6}\)​\(=-\dfrac12\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\)​\(=-\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)​\(=+\infty\).

Deci \(f\) urcă de la \(-\infty\) la \(\frac12\), coboară la \(-\frac12\), apoi urcă la \(+\infty\). Fiind continuă și strict monotonă pe fiecare interval, pentru \(m\in\left(-\frac12,\frac12\right)\) ecuația are câte o soluție pe fiecare dintre cele trei intervale, deci exact trei soluții. Pentru \(m=\pm\frac12\) are două soluții, iar pentru \(|m|\gt\frac12\) una singură.

Răspuns: \(m\in\left(-\dfrac12,\dfrac12\right)\)

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

\(f(x)\cdot x\ln x\)​\(=x^2-4\), deci

\[\int_2^3(x^2-4)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\Bigg|_2^3=(9-12)-\left(\frac83-8\right)=-3+\frac{16}{3}=\frac73.\]

Răspuns: \(\dfrac73\)

Formule utile: Integrale definite, Tabel de integrale

\(\dfrac{f(x)}{x^2-4}\)​\(=\dfrac{1}{x\ln x}\)​\(=\dfrac{(\ln x)'}{\ln x}\), deci o primitivă este \(\ln(\ln x)\):

\[\int_e^{e^2}\frac{1}{x\ln x}\,dx=\ln(\ln x)\Big|_e^{e^2}=\ln2-\ln1=\ln2.\]

Răspuns: \(\ln 2\)

Formule utile: Tabel de integrale (formula \(\int\frac{u'}{u}\)​\(=\ln|u|\)), calculator integrale

Pentru \(x\to2\), numărătorul și numitorul tind la \(0\) (cazul \(\frac00\)). Observăm că \(f\lt0\) pe \((1,2)\) și \(f\gt0\) pe \((2,+\infty)\), deci \(F\) are minimul \(F(2)=0\) și \(F(x)\gt0\) pentru \(x\ne2\).

Aplicăm regula lui l'Hôpital; \(\left(\int_2^x(t-2)F(t)\,dt\right)'\)​\(=(x-2)F(x)\) și \(\left(F^2(x)\right)'\)​\(=2F(x)f(x)\):

\[\lim_{x\to2}\frac{(x-2)F(x)}{2F(x)f(x)}=\lim_{x\to2}\frac{x-2}{2f(x)}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)\,x\ln x}{2(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to2}\frac{x\ln x}{2(x+2)}=\frac{2\ln2}{8}=\frac{\ln2}{4}.\]

Răspuns: Limita este \(\dfrac{\ln2}{4}\).

Formule utile: Limite de funcții, Primitive, Guillaume de l'Hôpital