Model Bac 2027 matematică M3 (tehnologic) — subiect și rezolvare completă

Efectuăm întâi paranteza, apoi împărțirea și înmulțirea, la final adunarea:

$$(3,7-1,3):2+10\cdot 0,08=2,4:2+0,8=1,2+0,8=2.$$

Răspuns: $(3,7-1,3):2+10\cdot 0,08$​$=2$

Formule utile: Fracții și numere zecimale

Calculăm valorile funcției: $f(4)=4+2=6$ și $f(1)=1+2=3$.

Relația devine $6=3m$, de unde $m=2$.

Răspuns: $m=2$

Formule utile: Funcția de gradul I

Trecem termenii care conțin $2^x$ în membrul stâng și constantele în membrul drept:

$$2^x+2^x=16-8⟺2\cdot 2^x=8⟺2^x=4=2^2.$$

Funcția exponențială este injectivă, deci $x=2$.

Răspuns: $x=2$

Formule utile: Ecuații exponențiale

Notăm cu $x$ prețul înainte de ieftinire (în lei). Ieftinirea este $\frac{20}{100}\cdot x$, deci:

$$x-\frac{20}{100}\cdot x=40⟺\frac{80}{100}\cdot x=40⟺x=\frac{40\cdot 100}{80}=50.$$

Verificare: $20\mathrm{\%}$ din $50$ înseamnă $10$ lei, iar $50-10=40$.

Răspuns: Prețul inițial a fost $50$ de lei.

Formule utile: Procente, calculator procente

Coordonatele mijlocului segmentului $BC$: $x_D$​$={\displaystyle \frac{3+5}{2}}$​$=4$, $y_D$​$={\displaystyle \frac{5+1}{2}}$​$=3$, deci $D(4,3)$.

Lungimile laturilor triunghiului $ODA$, cu $O(0,0)$:

$$OD=\sqrt{4^2+3^2}=5,OA=3,AD=\sqrt{(4-0{)}^2+(3-3{)}^2}=4.$$

$$P_{ODA}=OA+AD+OD=3+4+5=12.$$

Răspuns: $P_{ODA}=12$

Formule utile: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte

Triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $D$ ($AD\perp BC$), iar $AD$ este cateta opusă unghiului $B$ de ${30}^{\circ }$. Așadar $AD={\displaystyle \frac{AB}{2}}$, deci $AB=12$ (echivalent, $\sin {30}^{\circ }$​$={\displaystyle \frac{AD}{AB}}$).

În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$:

$$\cos {30}^{\circ }=\frac{AB}{BC}⟺\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{BC}⟺BC=\frac{2\cdot 12}{\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}.$$

Răspuns: $BC=8\sqrt{3}$

Formule utile: Triunghiul dreptunghic, Tabel trigonometric

$B(1)$​$=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$, deci

$$det(B(1))=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right|=2\cdot 3-1\cdot 0=6-0=6.$$

Răspuns: $det(B(1))$​$=6$

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

$B(2)$​$=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ și $2A$​$=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -2& 2\end{array}\right)$, deci

$$2A+B(2)=\left(\begin{array}{cc}4+2& -2+2\\ -2+2& 2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 6\end{array}\right)=6I_2.$$

Din $a{I}_2=6I_2$ obținem $a=6$.

Răspuns: $a=6$

Formule utile: Matrice și determinanți

Calculăm produsul (linie × coloană):

$$B(x)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& x\\ 2x-2& x+2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-x& x-2\\ 3x-6& 4-x\end{array}\right).$$

Scădem $x{I}_2$ (doar de pe diagonala principală):

$$B(x)\cdot A-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}4-2x& x-2\\ 3x-6& -2x+4\end{array}\right).$$

Observăm că $4-2x=-2(x-2)$ și $3x-6=3(x-2)$, deci

$$det(B(x)\cdot A-x{I}_2)=(4-2x)(-2x+4)-(3x-6)(x-2)=4(x-2{)}^2-3(x-2{)}^2=(x-2{)}^2.$$

Un pătrat este nenegativ, deci $(x-2{)}^2\ge 0$ pentru orice număr real $x$.

Răspuns: $det(B(x)\cdot A-x{I}_2)$​$=(x-2{)}^2$​$\ge 0$ pentru orice $x$ real.

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

$$1\ast 3=4\cdot 1+4\cdot 3-9=4+12-9=7.$$

Răspuns: $1\ast 3=7$

Formule utile: Legi de compoziție

$$x\ast (-2x)=4x+4\cdot (-2x)-9=4x-8x-9=-4x-9.$$

Ecuația devine $-4x-9=3⟺-4x=12$, de unde $x=-3$.

Răspuns: $x=-3$

Formule utile: Legi de compoziție, Ecuația de gradul I

Calculăm întâi paranteza: $n\ast (n+1)$​$=4n+4(n+1)-9$​$=8n-5$.

Apoi $(n-1)\ast (8n-5)$​$=4(n-1)+4(8n-5)-9$​$=4n-4+32n-20-9$​$=36n-33$.

Inecuația devine

$$36n-33>3n^2⟺3n^2-36n+33<0⟺n^2-12n+11<0⟺(n-1)(n-11)<0.$$

Trinomul este negativ strict între rădăcini, deci $n\in (1,11)$. Cel mai mare număr natural din acest interval este $n=10$ (verificare: $36\cdot 10-33$​$=327$​$>300$​$=3\cdot {10}^2$, iar pentru $n=11$: $363>363$ este fals).

Răspuns: $n=10$

Formule utile: Legi de compoziție, Inecuații de gradul al II-lea

Folosim derivata produsului $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, cu $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ și derivata constantei egală cu $0$:

$$f^{\prime }(x)=(3-2x{)}^{\prime }{e}^x+(3-2x)(e^x{)}^{\prime }-3^{\prime }=-2e^x+(3-2x)e^x=(1-2x)e^x.$$

Răspuns: $f^{\prime }(x)=(1-2x)e^x$

Formule utile: Derivate (derivata produsului), calculator derivate

Pentru $x\to 0$: $x+x^2\to 0$ și $f(x)\to f(0)$​$=3\cdot 1-3$​$=0$, deci avem cazul $\frac{0}{0}$. Aplicăm regula lui l'Hospital (ambele funcții sunt derivabile):

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x+x^2}{f(x)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(x+x^2{)}^{\prime }}{f^{\prime }(x)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1+2x}{(1-2x)e^x}=\frac{1+0}{(1-0)\cdot e^0}=1.$$

Răspuns: Limita este egală cu $1$.

Formule utile: Limite de funcții, Derivate

Cum $e^x>0$, semnul lui $f^{\prime }(x)=(1-2x)e^x$ este semnul lui $1-2x$: $f^{\prime }(x)$​$=0$​$⟺x$​$=\frac{1}{2}$.

• pentru $x\in (-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]$;
• pentru $x\in [\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$.

Așadar $x=\frac{1}{2}$ este punct de maxim global: $f(x)$​$\le f\left(\frac{1}{2}\right)$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, unde

$$f\left(\frac{1}{2}\right)=(3-1)e^{\frac{1}{2}}-3=2\sqrt{e}-3.$$

Din $(3-2x)e^x-3$​$\le 2\sqrt{e}-3$ obținem $(3-2x)e^x$​$\le 2\sqrt{e}$, pentru orice număr real $x$.

Răspuns: $maxf$​$=f\left(\frac{1}{2}\right)$​$=2\sqrt{e}-3$, deci $(3-2x)e^x$​$\le 2\sqrt{e}$.

Formule utile: Aplicații ale derivatelor (monotonie, extreme)

$f(x)-2x=x^2+3$, deci

$${\int }_{-1}^2(x^2+3)dx={\frac{x^3}{3}|}_{-1}^2+{3x|}_{-1}^2=\frac{8-(-1)}{3}+3(2-(-1))=3+9=12.$$

Răspuns: Integrala este egală cu $12$.

Formule utile: Integrale definite, calculator integrale

$f(x)-x^2=2x+3$, iar fracția se desparte în două: ${\displaystyle \frac{2x+3}{x^2}}$​$={\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$. Cu $\int \frac{1}{x}dx$​$=\ln x$ și $\int \frac{1}{x^2}dx$​$=-\frac{1}{x}$ (pe $[1,3]$):

$${\int }_1^3(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2})dx={2\ln x|}_1^3-{\frac{3}{x}|}_1^3=2\ln 3-2\ln 1-1+3=2+2\ln 3=2(1+\ln 3).$$

Răspuns: Integrala este egală cu $2(1+\ln 3)$.

Formule utile: Tabel de integrale nedefinite, Integrale definite

Observăm că $f^{\prime }(x)=2x+2=2(x+1)$, deci $g(x)$​$=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(x)\sqrt{f(x)}$. Pe $[0,4]$, $x+1>0$ și $f(x)$​$=(x+1{)}^2+2$​$>0$, deci $g(x)\ge 0$ și aria este

$$\mathcal{A}={\int }_0^4|g(x)|dx=\frac{1}{2}{\int }_0^4{f}^{\prime }(x)\sqrt{f(x)}dx.$$

Cum ${(f(x)\sqrt{f(x)})}^{\prime }$​$={(f^{\frac{3}{2}}(x))}^{\prime }$​$=\frac{3}{2}{f}^{\prime }(x)\sqrt{f(x)}$, o primitivă a lui $\frac{1}{2}{f}^{\prime }\sqrt{f}$ este $\frac{1}{3}f\sqrt{f}$. Cu $f(4)=27$ și $f(0)=3$:

$$\mathcal{A}={\frac{f(x)\sqrt{f(x)}}{3}|}_0^4=\frac{27\sqrt{27}-3\sqrt{3}}{3}=\frac{81\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{3}=26\sqrt{3}.$$

Din $a\sqrt{3}=26\sqrt{3}$ obținem $a=26$.

Răspuns: $a=26$

Formule utile: Aplicații ale integralei definite (aria), Tabel de integrale