Bacalaureat 2023 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Calculăm întâi paranteza, apoi înmulțirea și, la final, scăderea:

$$3\cdot (1+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}=3\cdot \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $4$.

Vezi și: Fracții — operații.

$f(a)=a+2$, deci ecuația devine

$$a+2=6\Rightarrow a=4.$$

Verificare: $f(4)=4+2=6$. ✓

Răspuns: $a=4$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Condiția de existență: $2x+1>0$, adică $x>-\frac{1}{2}$.

Funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele sunt egale:

$$2x+1=9\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4.$$

Cum $4>-\frac{1}{2}$, soluția convine.

Răspuns: $x=4$.

Vezi și: Logaritmi — proprietăți, Calculator logaritmi.

Cazuri posibile: mulțimea $A$ are $23$ de elemente, deci sunt $23$ de cazuri posibile.

Cazuri favorabile: numerele din $A$ cu $n\ge 10$ sunt $10,11,\dots ,23$, adică $23-10+1=14$ numere.

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{14}{23}.$$

Răspuns: $p={\displaystyle \frac{14}{23}}$.

Vezi și: Probabilități.

Fie $M$ mijlocul segmentului $AB$. Coordonatele lui $M$ sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor:

$$x_M=\frac{-1+1}{2}=0,$$

$$y_M=\frac{2+6}{2}=4.$$

Răspuns: mijlocul segmentului $AB$ este $M(0,4)$.

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment.

Triunghiul este dreptunghic în $A$, deci $BC$ este ipotenuza. Din teorema lui Pitagora, $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$:

$$AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}.$$

Obținem $AB=AC=\sqrt{2}$, deci triunghiul $ABC$ este isoscel (dreptunghic isoscel).

Răspuns: $AB=AC=\sqrt{2}$, deci triunghiul $ABC$ este isoscel.

Vezi și: Teorema lui Pitagora, Calculator Pitagora.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=3\cdot 1-2\cdot 2=3-4=-1.$$

Răspuns: $detA=-1$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Înmulțim matricea $B$ cu $2$ și scădem element cu element:

$$2B-A=\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ 8& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 6\\ 6& 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=3C.$$

Răspuns: $2B-A=3C$.

Calculăm membrul drept:

$$B+2C=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 4& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 8\\ 8& 4\end{array}\right).$$

Cum $detA=-1\ne 0$, matricea $A$ este inversabilă. Inversa se obține din adjunctă, împărțind la determinant:

$$A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right).$$

Înmulțim ecuația la dreapta cu $A^{-1}$ și împărțim la $2$: $X=\frac{1}{2}(B+2C)\cdot A^{-1}$.

$$(B+2C)\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2+16& -4-24\\ -8+8& 16-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}18& -28\\ 0& 4\end{array}\right).$$

$$X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}18& -28\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& -14\\ 0& 2\end{array}\right).$$

Verificare (✓):

$$2X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}18& -28\\ 0& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 8\\ 8& 4\end{array}\right)=B+2C.$$

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}9& -14\\ 0& 2\end{array}\right)$.

Vezi și: Matrice inversabilă.

$$5\ast 4=(5-4)(4-4)+4=1\cdot 0+4=4.$$

Răspuns: $5\ast 4=4$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$x\ast 6=(x-4)(6-4)+4=2x-8+4=2x-4,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $2x-4=6x$, adică $4x=-4$, deci $x=-1$.

Verificare: $(-1)\ast 6=(-5)\cdot 2+4=-6$ și $6\cdot (-1)=-6$. ✓

Răspuns: $x=-1$.

$$\frac{4}{n}\ast n=(\frac{4}{n}-4)(n-4)+4,$$

deci inegalitatea devine $(\frac{4}{n}-4)(n-4)>0$. Dăm factor comun $4$ în prima paranteză:

$$4(\frac{1}{n}-1)(n-4)>0\iff \frac{(1-n)(n-4)}{n}>0.$$

Cum $n>0$, condiția este $(1-n)(n-4)>0$, adică $(n-1)(n-4)<0$, deci $n\in (1,4)$.

Numerele naturale nenule din intervalul $(1,4)$ sunt $2$ și $3$.

Verificare: pentru $n=2$: $2\ast 2=(-2)(-2)+4=8>4$; pentru $n=3$: $\frac{4}{3}\ast 3=(-\frac{8}{3})(-1)+4=\frac{20}{3}>4$. ✓

Răspuns: $n\in \{2,3\}$.

Vezi și: Inecuații.

Derivăm termen cu termen (${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, derivata constantei este $0$):

$$f^{\prime }(x)=3x^2+6\cdot 2x-15=3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5),$$

pentru $x\in \mathbb{R}$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)=3(x^2+4x-5)$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$f^{\prime }(x)=0$ dacă $x^2+4x-5=0$, adică $(x+5)(x-1)=0$, deci $x=-5$ sau $x=1$.

Trinomul $x^2+4x-5$ are semnul lui $a=1$ (pozitiv) în afara rădăcinilor și semn contrar între ele:

• $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru $x\in (-\mathrm{\infty },-5]$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\mathrm{\infty },-5]$;

• $f^{\prime }(x)\le 0$ pentru $x\in [-5,1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-5,1]$;

• $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru $x\in [1,+\mathrm{\infty })$, deci $f$ este crescătoare pe $[1,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f$ este crescătoare pe $(-\mathrm{\infty },-5]$ și pe $[1,+\mathrm{\infty })$, descrescătoare pe $[-5,1]$.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

Derivata a doua: $f^{″}(x)=3(2x+4)$, $x\in \mathbb{R}$. Simplificăm cu $3$:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{e^x{f}^{″}(x)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+4x-5}{e^x(2x+4)}.$$

Este o nedeterminare $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$; aplicăm regula lui l'Hôpital. Derivata numitorului este

$${(e^x(2x+4))}^{\prime }=e^x(2x+4)+2e^x=e^x(2x+6).$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+4x-5}{e^x(2x+4)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+4}{e^x(2x+6)}.$$

Din nou $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$; aplicăm încă o dată regula, cu ${(e^x(2x+6))}^{\prime }=e^x(2x+8)$:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+4}{e^x(2x+6)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{e^x(2x+8)}=0,$$

deoarece numitorul tinde la $+\mathrm{\infty }$.

Răspuns: limita este $0$.

Vezi și: Limite de funcții, Calculator limite.

Pentru $x\in [0,1]$, $(x+9)\cdot f(x)=8x$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_0^{1}8xdx={4x^2|}_0^1=4-0=4.$$

Răspuns: integrala este egală cu $4$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Pentru $x\in [1,6]$, ${\displaystyle \frac{1}{8x}}\cdot {\displaystyle \frac{8x}{x+9}}={\displaystyle \frac{1}{x+9}}$, iar ${\displaystyle \frac{1}{x+9}}={\displaystyle \frac{(x+9{)}^{\prime }}{x+9}}$:

$${\int }_1^6\frac{1}{x+9}dx={\ln (x+9)|}_1^6=\ln 15-\ln 10=\ln \frac{15}{10}=\ln \frac{3}{2}.$$

Răspuns: integrala este egală cu $\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Logaritmi.

$f\left(x^2\right)={\displaystyle \frac{8x^2}{x^2+9}}$. Scriem $x^2=(x^2+9)-9$ și despărțim fracția:

$$\frac{8x^2}{x^2+9}=8(1-\frac{9}{x^2+9}).$$

Folosim ${\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C}$, cu $a=3$:

$${\int }_0^{3}f\left(x^2\right)dx={8x|}_0^3-8\cdot \frac{9}{3}{\mathrm{arctg}\frac{x}{3}|}_0^3=24-24(\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0).$$

Cum $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ și $\mathrm{arctg}0=0$, integrala este $24-24\cdot \frac{\pi }{4}=24-6\pi$.

Din $24-6\pi =6(4+a\pi )=24+6a\pi$ obținem $6a\pi =-6\pi$, deci $a=-1$.

Răspuns: $a=-1$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Primitive.