Subiectul I.1 (5p · numere complexe)
Arătați că \(2(1+i)-i(2-i)=1\), unde \(i^2=-1\).
Vezi rezolvarea
Desfacem parantezele și folosim \(i^2=-1\):
Răspuns: \(2(1+i)-i(2-i)=1\).
Vezi și: Numere complexe.
Simulare Bac 2023 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate
Publicitate
Subiectele oficiale de la simularea națională a Bacalaureatului 2023, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii), susținută de elevii de clasa a XII-a marți, 28 martie 2023, rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Simularea nu contează la nota finală de la Bacalaureat, dar are exact structura examenului din iunie.
Ca la examen, proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2. Subiectul din sesiunea de vară îl găsești la Bac 2023 M2, sesiunea iunie–iulie.
Răspunsuri pe scurt
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(2(1+i)-i(2-i)=1\) |
| I.2 | \(a=-2\) |
| I.3 | \(x=1\) |
| I.4 | \(40\) de numere |
| I.5 | \(a=-1\) |
| I.6 | \(CD=8\sqrt3\) |
| II.1 | a) \(3\); b) \(x=-1\); c) \(a=-\frac13,\ b=\frac43\) |
| II.2 | a) \(8\); b) \(e=0\); c) \(n=2\) |
| III.1 | b) \(y=2\); c) \(f\) strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\) |
| III.2 | a) \(8\); b) \(\frac{\ln5}{3}\); c) \(G''(x)=-(x-1)^2e^{-x}\le0\) |
Subiectul I (30 de puncte)
Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+10\). Determinați numărul real \(a\) pentru care punctul \(A(2a,a)\) aparține graficului funcției \(f\).
Vezi rezolvarea
Punctul \(A(2a,a)\) aparține graficului lui \(f\) dacă și numai dacă \(f(2a)=a\):
Verificare: \(A(-4,-2)\) și \(f(-4)=-12+10=-2\). ✓
Răspuns: \(a=-2\).
Vezi și: Funcția de gradul I.
Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{2x^2+2}=2x\).
Vezi rezolvarea
Radicalul este nenegativ, deci trebuie ca \(2x\ge0\), adică \(x\ge0\) (expresia \(2x^2+2\) este pozitivă pentru orice \(x\) real).
Ridicăm la pătrat:
\(x=-1\) nu convine (\(x\lt0\)); \(x=1\) convine: \(\sqrt{4}=2=2\cdot1\). ✓
Răspuns: \(x=1\).
Vezi și: Radicali.
Subiectul I.4 (5p · combinatorică, regula produsului)
Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii \(A=\{0,1,2,3,4\}\).
Vezi rezolvarea
Un număr de trei cifre are forma \(\overline{abc}\), cu cifrele din \(A\) (cifrele se pot repeta, enunțul nu cere cifre distincte).
• Cifra unităților \(c\) trebuie să fie impară: \(c\in\{1,3\}\) — \(2\) moduri;
• cifra zecilor \(b\) poate fi oricare dintre cele \(5\) elemente — \(5\) moduri;
• cifra sutelor \(a\) nu poate fi \(0\): \(a\in\{1,2,3,4\}\) — \(4\) moduri.
După regula produsului:
Răspuns: se pot forma \(40\) de numere.
Vezi și: Combinatorică.
Subiectul I.5 (5p · vectori coliniari)
Determinați numărul real \(a\) pentru care vectorii \(\vec u=a\vec i+(a-1)\vec j\) și \(\vec v=\vec i+2\vec j\) sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
Doi vectori \(\vec u=x_1\vec i+y_1\vec j\) și \(\vec v=x_2\vec i+y_2\vec j\) (cu \(\vec v\) nenul) sunt coliniari dacă și numai dacă coordonatele lor sunt proporționale:
Verificare: \(\vec u=-\vec i-2\vec j=-\vec v\). ✓
Răspuns: \(a=-1\).
Vezi și: Coordonatele unui vector.
Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic, bisectoare)
Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu măsura unghiului \(B\) egală cu \(\frac{\pi}{6}\) și \(BC=24\). Bisectoarea unghiului \(C\) al triunghiului \(ABC\) intersectează latura \(AB\) în punctul \(D\). Determinați lungimea segmentului \(CD\).
Vezi rezolvarea
Cateta \(AC\) se opune unghiului de \(\frac{\pi}{6}\), deci este jumătate din ipotenuză: \(AC=\frac{BC}{2}=12\).
Unghiul \(C\) măsoară \(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\), iar bisectoarea îl împarte în două: \(\angle ACD=\frac{\pi}{6}\).
În triunghiul \(ACD\), dreptunghic în \(A\):
Răspuns: \(CD=8\sqrt3\).
Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Tabel trigonometric.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-1&1\\0&x&0\\1&-1&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
Subiectul II.1 a) (5p · determinant de ordinul 3)
Arătați că \(\det\big(A(1)\big)=3\).
Vezi rezolvarea
Cu regula lui Sarrus:
Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)=3\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Subiectul II.1 b) (5p · ecuație matriceală)
Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(0)\cdot A(x)=A(0)\).
Vezi rezolvarea
Înmulțim linie cu coloană; liniile 1 și 3 ale lui \(A(0)\) sunt egale cu \((1,-1,1)\), iar linia 2 este nulă:
pentru orice număr real \(x\). De exemplu, primul element este
Egalând cu \(A(0)\): \(x+2=1\) și \(-x-2=-1\), deci \(x=-1\).
Răspuns: \(x=-1\).
Subiectul II.1 c) (5p · matrice inversă)
Determinați numerele reale \(a\) și \(b\) pentru care \(\big(A(1)\big)^{-1}=aA(1)+bI_3\), unde \(\big(A(1)\big)^{-1}\) este inversa matricei \(A(1)\).
Vezi rezolvarea
Din a), \(\det\big(A(1)\big)=3\ne0\), deci \(A(1)\) este inversabilă. Înmulțind egalitatea la stânga cu \(A(1)\):
Calculăm pătratul:
Atunci:
Din \(4a+b=0\) obținem \(b=-4a\); din \(a+b=1\): \(-3a=1\), deci \(a=-\frac13\) și \(b=\frac43\). Verificare: \(5a+2b=-\frac53+\frac83=1\). ✓
Într-adevăr, se verifică direct că
Răspuns: \(a=-\frac13\) și \(b=\frac43\).
Vezi și: Matrice inversabilă.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=xy+x+y-1+2^{xy}\).
Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)
Arătați că \(1*2=8\).
Subiectul II.2 b) (5p · element neutru)
Arătați că \(e=0\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(*\)”.
Vezi rezolvarea
Trebuie să arătăm că \(x*0=0*x=x\), pentru orice număr real \(x\). Folosim \(2^0=1\):
Deci \(e=0\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.
Răspuns: \(x*0=0*x=x\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), deci \(e=0\).
Vezi și: Structuri algebrice.
Subiectul II.2 c) (5p · ecuație cu lege de compoziție)
Determinați numărul natural nenul \(n\) pentru care \(n*\left(-\frac1n\right)=0\).
Vezi rezolvarea
Produsul celor doi termeni este \(n\cdot\left(-\frac1n\right)=-1\), deci \(2^{xy}=2^{-1}=\frac12\):
pentru orice număr natural nenul \(n\).
Rădăcinile sunt \(n=2\) și \(n=-\frac12\); cum \(n\) este număr natural nenul, \(n=2\).
Răspuns: \(n=2\).
Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x+1+\ln x}{x}\).
Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)
Arătați că \(f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}\), \(x\in(0,+\infty)\).
Vezi rezolvarea
Folosim \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=2x+1+\ln x\), \(u'=2+\frac1x\), \(v=x\):
Răspuns: \(f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
Subiectul III.1 b) (5p · asimptotă orizontală)
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).
Vezi rezolvarea
Despărțim fracția: \(f(x)=2+\frac1x+\frac{\ln x}{x}\). Știm că \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) (de exemplu cu regula lui l'Hospital: \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}=0\)):
Limita este finită, deci dreapta \(y=2\) este asimptota orizontală spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\).
Răspuns: \(y=2\).
Vezi și: Asimptote orizontale, Calculator asimptote.
Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)
Demonstrați că \(\dfrac{\ln y}{y}-\dfrac{\ln x}{x}\lt\dfrac1x-\dfrac1y\), pentru orice \(x,\,y\in(1,+\infty)\) cu \(x\lt y\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\gt1\), \(\ln x\gt0\), deci \(f'(x)=-\frac{\ln x}{x^2}\lt0\): \(f\) este strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\).
Așadar, pentru \(1\lt x\lt y\), avem \(f(x)\gt f(y)\):
Răspuns: \(f\) este strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\), deci \(f(x)\gt f(y)\), care este exact inegalitatea cerută.
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x\).
Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_3^5\left(f(x)-x^3\right)dx=8\).
Vezi rezolvarea
\(f(x)-x^3=x\), deci, cu formula Leibniz–Newton:
Răspuns: integrala este egală cu \(8\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Subiectul III.2 b) (5p · integrală de forma u'/u)
Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\frac{x^2}{f(x)-x+2}\,dx=\frac{\ln5}{3}\).
Vezi rezolvarea
\(f(x)-x+2=x^3+2\), iar \(\left(x^3+2\right)'=3x^2\). Deci numărătorul este o treime din derivata numitorului:
Răspuns: integrala este egală cu \(\frac{\ln5}{3}\).
Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.
Subiectul III.2 c) (5p · primitive, concavitate)
Se consideră funcția \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f(x)e^{-x}}{x}\). Arătați că orice primitivă \(G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) a funcției \(g\) este concavă.
Vezi rezolvarea
Simplificăm: \(g(x)=\frac{x\left(x^2+1\right)e^{-x}}{x}=\left(x^2+1\right)e^{-x}\), \(x\in(0,+\infty)\).
Dacă \(G\) este o primitivă a lui \(g\), atunci \(G'(x)=g(x)\), deci \(G''(x)=g'(x)\):
Cum \((x-1)^2\ge0\) și \(e^{-x}\gt0\), avem \(G''(x)\le0\) pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), deci \(G\) este concavă.
Răspuns: \(G''(x)=-(x-1)^2e^{-x}\le0\), deci orice primitivă \(G\) este concavă.
Vezi și: Primitive, Fișă: convexitate și concavitate.
Ce s-a cerut la simularea Bac 2023 M2
Subiectul I a cuprins numere complexe, funcția de gradul I, o ecuație cu radicali, o problemă de combinatorică (regula produsului), vectori coliniari și un triunghi dreptunghic cu bisectoare. Subiectul al II-lea a avut matrice de ordinul 3 (determinant, ecuație matriceală, inversa ca combinație de \(A\) și \(I_3\)) și o lege de compoziție cu \(2^{xy}\), iar Subiectul al III-lea derivate, o asimptotă orizontală, o inegalitate demonstrată prin monotonie, integrale definite și concavitatea primitivelor.
La simulare nu există extragere de variante: Ministerul Educației / CNPEE a dat un singur subiect pentru profilul științele naturii, publicat împreună cu baremul pe subiecte.edu.ro, în arhiva simulării din 2023.
Întrebări frecvente
Contează simularea Bac 2023 la nota finală? Nu. Simularea din martie 2023 (28 martie pentru matematică) a fost o testare de exercițiu pentru elevii de clasa a XII-a: nota obținută nu intră în media de la Bacalaureat. Ea arată însă foarte bine nivelul subiectului din iunie, pentru că are aceeași structură și același barem de notare.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2023 M2? De obicei II.1 c) și III.2 c). La II.1 c) trucul este să înmulțești egalitatea cu \(A(1)\) ca să scapi de inversă; la III.2 c) trebuie observat că \(G''=g'\) și că \(g(x)\) se simplifică la \(\left(x^2+1\right)e^{-x}\).
Alte subiecte
Bac 2023 M2 rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Simulare Bac 2022 M2 rezolvată · Simulare Bac 2021 M2 rezolvată
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.