Simulare Bac 2024 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat

\(\lg\dfrac{1}{10}\)​\(=\lg10^{-1}\)​\(=-1\) și \(\lg\sqrt{10}\)​\(=\lg10^{\frac12}\)​\(=\dfrac12\). Atunci

\[\left(3+\lg\frac{1}{10}\right)\cdot\lg\sqrt{10}=(3-1)\cdot\frac12=2\cdot\frac12=1.\]

Răspuns: \(\left(3+\lg\frac{1}{10}\right)\cdot\lg\sqrt{10}\)​\(=1\)

Formule utile: Logaritmi, calculator logaritmi

\(f(1)=1+a-1=a\), deci

\[(f\circ f)(1)=f\big(f(1)\big)=f(a)=a^2+a\cdot a-1=2a^2-1.\]

Din \(2a^2-1=1\) obținem \(a^2=1\), deci \(a=-1\) sau \(a=1\).

Răspuns: \(a\in\{-1,1\}\)

Formule utile: Funcții — noțiuni introductive, Funcția de gradul al II-lea

Scriem totul ca puteri ale lui \(2\): \(8^x=2^{3x}\) și \(32=2^5\):

\[2^{x+1}\cdot2^{3x}=2^5\iff2^{4x+1}=2^5\iff4x+1=5.\]

Deci \(x=1\).

Răspuns: \(x=1\)

Formule utile: Ecuații exponențiale

Numerele naturale de două cifre sunt \(10,11,\dots,99\): \(90\) de cazuri posibile.

Pentru \(10\le n\le99\) avem \(110\)​\(\le n+100\)​\(\le199\). \(\sqrt{n+100}\) este natural dacă \(n+100\) este pătrat perfect; între \(110\) și \(199\) sunt \(121,144,169,196\), deci \(n\in\{21,44,69,96\}\): \(4\) cazuri favorabile.

\[p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}.\]

Răspuns: \(p=\dfrac{2}{45}\)

Formule utile: Probabilități, Radicali

\(\overrightarrow{AB}\)​\(=(4-1)\vec i+(6-4)\vec j\)​\(=3\vec i+2\vec j\) și \(\overrightarrow{AC}\)​\(=(4-1)\vec i+(2-4)\vec j\)​\(=3\vec i-2\vec j\). Atunci

\[\overrightarrow{OD}=\frac12\left(3\vec i+2\vec j+3\vec i-2\vec j\right)=\frac12\cdot6\vec i=3\vec i.\]

Coordonatele lui \(D\) sunt coordonatele vectorului \(\overrightarrow{OD}\): \(x_D=3\), \(y_D=0\).

Răspuns: \(D(3,0)\)

Formule utile: Coordonatele unui vector, fișă vectori în plan

Pentru \(x=\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{x}{2}\)​\(=\dfrac{\pi}{6}\). Din tabelul trigonometric:

\[\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3,\quad\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\quad\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.\]

\[E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3-4\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12=\sqrt3-\sqrt3=0.\]

Răspuns: \(E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)​\(=0\)

Formule utile: Tabel trigonometric, calculator trigonometric

\(A(0)\)​\(=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(0)\big)=0+0+0-0-0-(-1)=1.\]

(Singurul produs nenul este \(a_{12}a_{21}a_{33}\)​\(=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\)​\(=-1\), care se scade.)

Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=1\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Înmulțim linie cu coloană:

\[A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}2+x^2&-1&0\\-1&1&-x\\0&-x&x^2+1\end{pmatrix},\qquad A(x)\cdot A(x)-I_3=\begin{pmatrix}1+x^2&-1&0\\-1&0&-x\\0&-x&x^2\end{pmatrix}.\]

Dezvoltăm determinantul după prima linie:

\[\det\big(A(x)\cdot A(x)-I_3\big)=\left(1+x^2\right)\left(0-x^2\right)+1\cdot\left(-x^2-0\right)=-x^2\left(1+x^2\right)-x^2.\]

\[=-x^2\left(2+x^2\right)\le0,\]

deoarece \(x^2\ge0\) și \(2+x^2\gt0\), pentru orice număr real \(x\).

Răspuns: \(\det\big(A(x)\cdot A(x)-I_3\big)\)​\(=-x^2\left(x^2+2\right)\)​\(\le0\)

Formule utile: Determinanți, fișă matrice și determinanți

\(\det\big(A(0)\big)\)​\(=1\)​\(\ne0\), deci \(A(0)\) este inversabilă. Înmulțim egalitatea la dreapta cu \(A(0)\):

\[X\cdot\big(A(0)\big)^{-1}\cdot A(0)=B\cdot A(0)\cdot A(0)\Rightarrow X=B\cdot A(0)\cdot A(0).\]

Din punctul b), pentru \(x=0\): \(A(0)\cdot A(0)\)​\(=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\). Atunci

\[X=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix}.\]

Răspuns: \(X\)​\(=\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix}\)

Formule utile: Matrice inversabilă, fișă ecuații matriceale

\[1*2=\frac{1^2+2^2+1+2}{1+2+1}=\frac{1+4+3}{4}=\frac84=2.\]

Răspuns: \(1*2=2\)

Formule utile: Legi de compoziție

\(0\in M\) și, pentru orice \(x\in M\):

\[x*0=\frac{x^2+0^2+x+0}{x+0+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x,\qquad0*x=\frac{0^2+x^2+0+x}{0+x+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x.\]

(Pentru \(x\ge0\), \(x+1\gt0\), deci simplificarea este permisă.) Prin urmare \(x*0=0*x=x\) pentru orice \(x\in M\), adică \(e=0\) este elementul neutru.

Răspuns: \(e=0\) este element neutru: \(x*0=0*x=x\), \(\forall x\in M\).

Formule utile: Legi de compoziție, Structuri algebrice

\[\frac{m^2+n^2+m+n}{m+n+1}=5\iff m^2+n^2+m+n=5m+5n+5\iff m^2-4m+n^2-4n=5.\]

Adunăm \(8\) în ambii membri pentru a forma pătrate:

\[(m-2)^2+(n-2)^2=13.\]

Singura scriere a lui \(13\) ca sumă de două pătrate perfecte este \(4+9\). Cum \(m,n\ge0\), avem \(m-2,n-2\ge-2\), deci:

• \((m-2)^2=4\), \((n-2)^2=9\): \(m-2=\pm2\), \(n-2=3\) (nu \(-3\)), deci \((m,n)\in\{(0,5),(4,5)\}\);
• \((m-2)^2=9\), \((n-2)^2=4\): simetric, \((m,n)\in\{(5,0),(5,4)\}\).

Verificare: \(0*5\)​\(=\frac{25+5}{6}\)​\(=5\), \(4*5\)​\(=\frac{16+25+9}{10}\)​\(=5\) ✓.

Răspuns: \((m,n)\in\{(0,5),(4,5),(5,0),(5,4)\}\)

Formule utile: Legi de compoziție, legi de compoziție — exerciții rezolvate

Cu regula produsului și \(\left(\sqrt{x^2+4}\right)'\)​\(=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}\)​\(=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}\):

\[f'(x)=\sqrt{x^2+4}+(x+6)\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{x^2+4+x^2+6x}{\sqrt{x^2+4}}.\]

\[f'(x)=\frac{2x^2+6x+4}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{2\left(x^2+3x+2\right)}{\sqrt{x^2+4}},\quad x\in\mathbb{R}.\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{2\left(x^2+3x+2\right)}{\sqrt{x^2+4}}\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

Numitorul \(\sqrt{x^2+4}\) este pozitiv, deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \(x^2+3x+2\)​\(=(x+1)(x+2)\). \(f'(x)=0\iff x=-2\) sau \(x=-1\).

• \(x\in(-\infty,-2]\): \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \((-\infty,-2]\);
• \(x\in[-2,-1]\): \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \([-2,-1]\);
• \(x\in[-1,+\infty)\): \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \([-1,+\infty)\).

Răspuns: \(f\) crescătoare pe \((-\infty,-2]\) și pe \([-1,+\infty)\), descrescătoare pe \([-2,-1]\).

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, fișă monotonie și puncte de extrem

Valorile în punctele de extrem:

\[f(-2)=4\sqrt8=\sqrt{128},\qquad f(-1)=5\sqrt5=\sqrt{125},\]

iar \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\)​\(=-\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)​\(=+\infty\). Cum \(121\)​\(\lt125\)​\(\lt128\)​\(\lt144\), avem \(11\)​\(\lt\sqrt{125}\)​\(\lt\sqrt{128}\)​\(\lt12\).

\(f\) este continuă și: strict crescătoare pe \((-\infty,-2)\), cu imaginea \(\left(-\infty,\sqrt{128}\right)\); descrescătoare pe \([-2,-1]\), cu imaginea \(\left[\sqrt{125},\sqrt{128}\right]\); strict crescătoare pe \((-1,+\infty)\), cu imaginea \(\left(\sqrt{125},+\infty\right)\).

• Dacă \(m\le11\), atunci \(m\lt\sqrt{125}\): \(m\) este luat doar pe \((-\infty,-2)\), o singură dată.
• Dacă \(m\ge12\), atunci \(m\gt\sqrt{128}\): \(m\) este luat doar pe \((-1,+\infty)\), o singură dată.

Niciun număr întreg nu se află în \(\left[\sqrt{125},\sqrt{128}\right]\subset(11,12)\), deci ecuația \(f(x)=m\) are soluție unică pentru orice \(m\in\mathbb{Z}\).

Răspuns: Pentru orice \(m\in\mathbb{Z}\), ecuația \(f(x)=m\) are exact o soluție.

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, Radicali

\(e^xf(x)=x+1\), deci

\[\int_0^4(x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_0^4=8+4-0=12.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(12\).

Formule utile: Integrale definite, calculator integrale

\(f(x)\)​\(=(x+1)e^{-x}\)​\(=(x+1)\left(-e^{-x}\right)'\). Integrăm prin părți:

\[\int_0^1(x+1)\left(-e^{-x}\right)'dx=(x+1)\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1-\int_0^1\left(-e^{-x}\right)dx=(x+1)\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1-e^{-x}\Big|_0^1.\]

\[=\left(-\frac2e+1\right)-\left(\frac1e-1\right)=2-\frac3e=\frac{2e-3}{e}.\]

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\)​\(=\frac{2e-3}{e}\)

Formule utile: Integrarea prin părți, Integrale definite

\(\dfrac{1}{f\left(x^n\right)}\)​\(=\dfrac{e^{x^n}}{x^n+1}\), deci \(I_n\)​\(=\displaystyle\int_0^1\frac{x^{n-1}e^{x^n}}{x^n+1}\,dx\). Cum \(\left(x^n\right)'\)​\(=nx^{n-1}\), facem schimbarea de variabilă \(t=x^n\) (\(x\)​\(=0\)​\(\Rightarrow t\)​\(=0\), \(x\)​\(=1\)​\(\Rightarrow t\)​\(=1\)):

\[I_n=\frac1n\int_0^1\frac{\left(x^n\right)'e^{x^n}}{x^n+1}\,dx=\frac1n\int_0^1\frac{e^t}{t+1}\,dt.\]

Pentru \(t\in[0,1]\): \(e^t\ge1\), deci \(\dfrac{e^t}{t+1}\)​\(\ge\dfrac{1}{t+1}\); și \(t+1\ge1\), deci \(\dfrac{e^t}{t+1}\)​\(\le e^t\). Integrând inegalitățile:

\[I_n\ge\frac1n\int_0^1\frac{1}{t+1}\,dt=\frac1n\ln(t+1)\Big|_0^1=\frac{\ln2}{n},\qquad I_n\le\frac1n\int_0^1e^t\,dt=\frac{e-1}{n}.\]

Răspuns: \(\dfrac{\ln2}{n}\)​\(\le I_n\)​\(\le\dfrac{e-1}{n}\) pentru orice \(n\ge2\).

Formule utile: Integrale definite, Tabel de integrale nedefinite