Bac 2025 M3 tehnologic august

Q: Ce variantă s-a dat la Bac 2025 matematică M3 în sesiunea de toamnă?

La proba de matematică M_tehnologic din 12 august 2025 (a doua sesiune a Bacalaureatului) s-a extras Varianta 9, aceeași pentru toate profilurile filierei tehnologice. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Q: Cât durează proba de matematică M3 și cum se punctează?

Proba durează 3 ore, la fel ca în sesiunea din iunie–iulie. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Q: Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem?

Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Q: Care a fost cel mai dificil item la Bac 2025 M3, sesiunea august?

De obicei III.1 c): dubla inegalitate devine, după scăderea lui 1, 5≤ f(x)≤32, adică minimul și maximul lui f pe ≤ft[14,4], găsite cu ajutorul monotoniei.

Subiectul oficial de la Bacalaureat 2025, proba E.c) Matematică M_tehnologic (M3), sesiunea a doua (de toamnă), august–septembrie, Varianta 9, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba s-a susținut pe 12 august 2025, în a doua sesiune a Bacalaureatului, de candidații din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse naturale și protecția mediului și tehnic, toate calificările profesionale). Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$2, 5 + 0, 5 = 3$ (adevărat)
I.2	$m = 2$
I.3	$x = 5$
I.4	$200$ de lei
I.5	$a = 3$ , $b = 4$
I.6	$\frac{5}{2} - \frac{1}{2} + 3 = 5$ (adevărat)
II.1	a) $21$ ; b) adevărat; c) $x \in [- 1, 1]$
II.2	a) $0$ ; b) $f (3) = 0$ ; c) $m = 0$
III.1	b) $y = 7 x - 5$ ; c) $5 \leq f (x) \leq 32$ pe $[\frac{1}{4}, 4]$
III.2	a) $2$ ; b) $1$ ; c) $a = 14$

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu zecimale)

Arătați că

5 \cdot (0, 7 - 0, 2) + 0, 5 = 3

Vezi rezolvarea

$5 \cdot (0, 7 - 0, 2) + 0, 5 = 5 \cdot 0, 5 + 0, 5 = 2, 5 + 0, 5 = 3.$

Răspuns: $5 \cdot (0, 7 - 0, 2) + 0, 5 = 3$ .

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 6 x - 2

. Determinați numărul real

m

pentru care

f (m) = 10

Vezi rezolvarea

$f (m) = 6 m - 2$ , deci ecuația devine $6 m - 2 = 10$ , adică $6 m = 12$ , de unde $m = 2$ .

Răspuns: $m = 2$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\sqrt{16 - 3 x} = 1

Vezi rezolvarea

Ridicăm la pătrat ambii membri (membrul drept este pozitiv):

$16 - 3 x = 1 \Rightarrow 3 x = 15 \Rightarrow x = 5.$

Verificare: $\sqrt{16 - 15} = \sqrt{1} = 1$ , deci $x = 5$ convine.

Răspuns: $x = 5$ .

Vezi și: Radicali, Ecuații iraționale — fișă de lucru.

Subiectul I.4 (5p · procente)

După o scumpire cu

60 %

, un obiect costă

320

de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $x$ prețul înainte de scumpire:

$x + \frac{60}{100} \cdot x = 320 \Rightarrow \frac{8 x}{5} = 320 \Rightarrow x = 200.$

Verificare: $60 %$ din $200$ înseamnă $120$ de lei, iar $200 + 120 = 320$ . ✓

Răspuns: prețul înainte de scumpire era $200$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Subiectul I.5 (5p · mijlocul unui segment)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (3, 0)

B (3, 2)

și

C (a, b)

, unde

a

și

b

sunt numere reale. Determinați numerele reale

a

și

b

, știind că punctul

B

este mijlocul segmentului

A C

Vezi rezolvarea

Coordonatele mijlocului sunt mediile coordonatelor capetelor:

$\frac{3 + a}{2} = 3,$

$\frac{0 + b}{2} = 2.$

Obținem $3 + a = 6$ , deci $a = 3$ , și $b = 4$ .

Răspuns: $a = 3$ și $b = 4$ , adică $C (3, 4)$ .

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment.

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Arătați că

5 \cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ} + 4 {(\sin 60^{\circ})}^{2} = 5

Vezi rezolvarea

Din tabelul valorilor trigonometrice:

$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2},$

$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2},$

$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

$5 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 4 \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{3}{4} = 2 + 3 = 5.$

Răspuns: $5 \cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ} + 4 {(\sin 60^{\circ})}^{2} = 5$ .

Vezi și: Tabel trigonometric.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ și $A (x) = (\begin{matrix} 2 & x \\ - x & - 2 \end{matrix})$ , unde $x$ este număr real.

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Arătați că

det (A (5)) = 21

Vezi rezolvarea

$A (5) = (\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 5 & - 2 \end{matrix}),$

$det (A (5)) = 2 \cdot (- 2) - 5 \cdot (- 5) = - 4 + 25 = 21.$

Răspuns: $det (A (5)) = 21$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Arătați că

2 A (- 1) + A (5) = 3 A (1)

Vezi rezolvarea

$A (- 1) = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix}),$

$A (1) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}) .$

$2 A (- 1) + A (5) = (\begin{matrix} 4 & - 2 \\ 2 & - 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 5 & - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 & 3 \\ - 3 & - 6 \end{matrix}) = 3 (\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}) = 3 A (1) .$

Răspuns: $2 A (- 1) + A (5) = 3 A (1)$ .

Subiectul II.1 c) (5p · inecuație cu determinant)

Determinați mulțimea numerelor reale

x

pentru care

det (A (x) \cdot A (- x) - x^{2} I_{2}) \geq 0

Vezi rezolvarea

$A (- x) = (\begin{matrix} 2 & - x \\ x & - 2 \end{matrix}),$

$A (x) \cdot A (- x) = (\begin{matrix} 4 + x^{2} & - 4 x \\ - 4 x & x^{2} + 4 \end{matrix}) .$

$A (x) \cdot A (- x) - x^{2} I_{2} = (\begin{matrix} 4 & - 4 x \\ - 4 x & 4 \end{matrix}) .$

$det (A (x) \cdot A (- x) - x^{2} I_{2}) = 16 - 16 x^{2} = 16 (1 - x^{2}),$

pentru orice număr real $x$ . Inecuația $16 (1 - x^{2}) \geq 0$ este echivalentă cu $x^{2} \leq 1$ , adică $x \in [- 1, 1]$ .

Răspuns: $x \in [- 1, 1]$ .

Vezi și: Inecuații.

2. Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - X - m$ , unde $m$ este număr real.

Subiectul II.2 a) (5p · valoarea unui polinom)

Arătați că

f (1) = 0

, pentru orice număr real

m

Vezi rezolvarea

$f (1) = 1^{3} + m \cdot 1^{2} - 1 - m = 1 + m - 1 - m = 0,$

pentru orice număr real $m$ .

Răspuns: $f (1) = 0$ pentru orice $m \in R$ .

Vezi și: Polinoame.

Subiectul II.2 b) (5p · rădăcină a unui polinom)

Pentru

m = - 3

, arătați că

3

este rădăcină a polinomului

f

Vezi rezolvarea

Pentru $m = - 3$ , $f = X^{3} - 3 X^{2} - X + 3$ , deci

$f (3) = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 3 + 3 = 27 - 27 - 3 + 3 = 0,$

deci $3$ este rădăcină a polinomului $f$ .

Răspuns: $f (3) = 0$ , deci $3$ este rădăcină a lui $f$ .

Subiectul II.2 c) (5p · relațiile lui Viète)

Determinați numărul real

m

pentru care

{(x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})}^{2} +

x_{1} x_{2} x_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 1

, unde

x_{1}

x_{2}

și

x_{3}

sunt rădăcinile polinomului

f

Vezi rezolvarea

Din relațiile lui Viète pentru $f = X^{3} + m X^{2} - X - m$ :

$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - m,$

$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = - 1,$

$x_{1} x_{2} x_{3} = m .$

Egalitatea devine

$(- 1)^{2} + m \cdot (- m) = 1 \Leftrightarrow 1 - m^{2} = 1 \Leftrightarrow m^{2} = 0,$

deci $m = 0$ .

Răspuns: $m = 0$ .

Vezi și: François Viète.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 2 x^{2} - 1 + \frac{4}{x}$ .

Subiectul III.1 a) (5p · derivata unei funcții)

Arătați că

f^{'} (x) = \frac{4 (x^{3} - 1)}{x^{2}}

x \in (0, + \infty)

Vezi rezolvarea

Derivăm termen cu termen, cu ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ :

$f^{'} (x) = 4 x - \frac{4}{x^{2}} = \frac{4 x^{3} - 4}{x^{2}} = \frac{4 (x^{3} - 1)}{x^{2}}, x \in (0, + \infty) .$

Răspuns: $f^{'} (x) = \frac{4 (x^{3} - 1)}{x^{2}}$ .

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Subiectul III.1 b) (5p · ecuația tangentei)

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

f

în punctul de abscisă

x = 2

, situat pe graficul funcției

f

Vezi rezolvarea

$f (2) = 8 - 1 + 2 = 9,$

$f^{'} (2) = \frac{4 \cdot 7}{4} = 7.$

Ecuația tangentei: $y - f (2) = f^{'} (2) (x - 2)$ , adică $y - 9 = 7 (x - 2)$ , deci $y = 7 x - 5$ .

Răspuns: $y = 7 x - 5$ .

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)

Arătați că

6 \leq 2 x^{2} + \frac{4}{x} \leq 33

, pentru orice

x \in [\frac{1}{4}, 4]

Vezi rezolvarea

Scăzând $1$ din fiecare membru, inegalitatea este echivalentă cu $5 \leq f (x) \leq 32$ . Studiem semnul lui $f^{'} (x) = \frac{4 (x^{3} - 1)}{x^{2}}$ ; $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ :

• pentru $x \in [\frac{1}{4}, 1]$ , $f^{'} (x) \leq 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $[\frac{1}{4}, 1]$ ;

• pentru $x \in [1, 4]$ , $f^{'} (x) \geq 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[1, 4]$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{8} - 1 + 16 = \frac{121}{8},$

$f (1) = 5,$

$f (4) = 32 - 1 + 1 = 32.$

Minimul lui $f$ pe $[\frac{1}{4}, 4]$ este $f (1) = 5$ , iar maximul este $f (4) = 32$ (deoarece $\frac{121}{8} < 32$ ). Deci $5 \leq f (x) \leq 32$ , adică $6 \leq 2 x^{2} + \frac{4}{x} \leq 33$ , pentru orice $x \in [\frac{1}{4}, 4]$ .

Răspuns: $f (1) \leq f (x) \leq f (4)$ , adică $6 \leq 2 x^{2} + \frac{4}{x} \leq 33$ pe $[\frac{1}{4}, 4]$ .

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

2. Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x - 1 + 2 \ln x$ .

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Arătați că

\int_{1}^{3} (f (x) - 2 \ln x) d x = 2

Vezi rezolvarea

$f (x) - 2 \ln x = x - 1$ . Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$\int_{1}^{3} (x - 1) d x = {(\frac{x^{2}}{2} - x) |}_{1}^{3} = (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2.$

Răspuns: integrala este egală cu $2$ .

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Subiectul III.2 b) (5p · integrală cu logaritm)

Arătați că

\int_{1}^{e} \frac{f (x) - x + 1}{x} d x = 1

Vezi rezolvarea

$\frac{f (x) - x + 1}{x} = \frac{2 \ln x}{x} = 2 \ln x \cdot (\ln x)^{'}$ , deci

$\int_{1}^{e} 2 \ln x \cdot (\ln x)^{'} d x = {\ln^{2} x |}_{1}^{e} = \ln^{2} e - \ln^{2} 1 = 1 - 0 = 1.$

Răspuns: integrala este egală cu $1$ .

Vezi și: Schimbarea de variabilă.

Subiectul III.2 c) (5p · aria unei suprafețe plane)

Determinați numărul real

a

, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției

g : (0, + \infty) \to R

g (x) = 3 x (f (x) + 1)

, axa

O x

și dreptele de ecuații

x = 1

și

x = 3

este egală cu

a + 27 \ln 3

Vezi rezolvarea

$g (x) = 3 x (x + 2 \ln x) = 3 x^{2} + 6 x \ln x$ . Pe $[1, 3]$ avem $\ln x \geq 0$ , deci $g (x) \geq 0$ și aria este

$A = \int_{1}^{3} g (x) d x = \int_{1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{3} {(3 x^{2})}^{'} \ln x d x = {x^{3} |}_{1}^{3} + \int_{1}^{3} {(3 x^{2})}^{'} \ln x d x .$

${x^{3} |}_{1}^{3} = 27 - 1 = 26$ . Pentru a doua integrală aplicăm integrarea prin părți:

$\int_{1}^{3} {(3 x^{2})}^{'} \ln x d x = {3 x^{2} \ln x |}_{1}^{3} - \int_{1}^{3} 3 x d x = 27 \ln 3 - {\frac{3 x^{2}}{2} |}_{1}^{3} = 27 \ln 3 - 12.$

Deci $A = 26 + 27 \ln 3 - 12 = 14 + 27 \ln 3$ . Din $a + 27 \ln 3 = 14 + 27 \ln 3$ obținem $a = 14$ .

Răspuns: $a = 14$ .

Vezi și: Aplicații ale integralei definite — arii și volume, Integrarea prin părți.

Ce s-a cerut la Bac 2025 M3, sesiunea august

Subiectul I a cuprins un calcul cu zecimale, funcția de gradul I, o ecuație cu radical, o problemă cu procente, mijlocul unui segment și valori din tabelul trigonometric. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți, cu o inecuație de gradul al doilea, și un polinom de gradul al treilea cu relațiile lui Viète, iar Subiectul al III-lea derivata, tangenta, o dublă inegalitate demonstrată prin monotonie și integrale definite, inclusiv aria unei suprafețe plane.

Subiectul și baremul oficial (Varianta 9, proba din 12 august 2025) au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare) în ziua probei, pe subiecte.edu.ro, în arhiva sesiunii august–septembrie 2025.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2025 matematică M3 în sesiunea de toamnă? La proba de matematică M_tehnologic din 12 august 2025 (a doua sesiune a Bacalaureatului) s-a extras Varianta 9, aceeași pentru toate profilurile filierei tehnologice. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M3 și cum se punctează? Proba durează 3 ore, la fel ca în sesiunea din iunie–iulie. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2025 M3, sesiunea august? De obicei III.1 c): dubla inegalitate devine, după scăderea lui $1$ , $5 \leq f (x) \leq 32$ , adică minimul și maximul lui $f$ pe $[\frac{1}{4}, 4]$ , găsite cu ajutorul monotoniei.

Alte subiecte

Bac 2025 M3 tehnologic rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Bac 2026 M3 tehnologic rezolvat — sesiunea august · Bac 2024 M3 tehnologic rezolvat — sesiunea august

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Bacalaureat 2025 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Răspunsuri pe scurt

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu zecimale)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)

Subiectul I.4 (5p · procente)

Subiectul I.5 (5p · mijlocul unui segment)

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Subiectul II.1 c) (5p · inecuație cu determinant)

Subiectul II.2 a) (5p · valoarea unui polinom)

Subiectul II.2 b) (5p · rădăcină a unui polinom)

Subiectul II.2 c) (5p · relațiile lui Viète)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 a) (5p · derivata unei funcții)

Subiectul III.1 b) (5p · ecuația tangentei)

Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Subiectul III.2 b) (5p · integrală cu logaritm)

Subiectul III.2 c) (5p · aria unei suprafețe plane)

Ce s-a cerut la Bac 2025 M3, sesiunea august

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe