Bacalaureat 2024 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate

Subiectele oficiale de la Bacalaureat 2024, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii), sesiunea iunie–iulie, Varianta 10, rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2.

Răspunsuri pe scurt

ItemRăspuns
I.1\(a_1=4\)
I.2\(m=1\)
I.3\(x\in\{-2,\,2\}\)
I.4\(p=\frac15\)
I.5\(m_{AC}\cdot m_{BC}=-1\)
I.6\(E\left(\frac\pi3\right)=2\)
II.1a) \(7\); b) \(4A\); c) \(a\in\{-1,\,3\}\)
II.2a) \(0\); b) \(x=4\); c) \(x\in[1,2]\)
III.1b) \(y=0\); c) inegalitate demonstrată
III.2a) \(8\); b) \(1+2\ln2\); c) \(a=2\)

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Determinați termenul \(a_1\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n\ge1}\), în care \(a_2=8\) și \(a_3=12\).
Vezi rezolvarea

Rația progresiei este \(r=a_3-a_2=12-8=4\).

\[ a_1=a_2-r=8-4=4. \]

Răspuns: \(a_1=4\).

Vezi și: Progresia aritmetică.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-2\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \(f(m)=m\).
Vezi rezolvarea

\(f(m)=3m-2\), deci

\[ 3m-2=m \;\Rightarrow\; 2m=2 \;\Rightarrow\; m=1. \]

Verificare: \(f(1)=3-2=1\). ✓

Răspuns: \(m=1\).

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_6\left(9-x^2\right)=\log_6 5\).
Vezi rezolvarea

Condiție de existență: \(9-x^2>0\).

\[ 9-x^2=5 \;\Rightarrow\; x^2-4=0 \;\Rightarrow\; x=-2 \text{ sau } x=2. \]

Pentru ambele valori \(9-x^2=5>0\), deci convin.

Răspuns: \(S=\{-2,\,2\}\).

Vezi și: Logaritmi — proprietăți și ecuații.

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Se consideră mulțimea \(A=\{0,1,2,\dots,9\}\). Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea \(A\), numărul \(\sqrt{2n+1}\) să aparțină mulțimii \(A\).
Vezi rezolvarea

Cazuri posibile: mulțimea \(A\) are \(10\) elemente.

Cazuri favorabile: pentru \(n\in A\), \(2n+1\in\{1,3,5,\dots,19\}\). \(\sqrt{2n+1}\) este număr natural doar dacă \(2n+1\) este pătrat perfect: \(2n+1=1\) (\(n=0\), \(\sqrt1=1\in A\)) sau \(2n+1=9\) (\(n=4\), \(\sqrt9=3\in A\)). Următorul pătrat impar, \(25\), ar cere \(n=12\notin A\). Deci sunt \(2\) cazuri favorabile.

\[ p=\frac{2}{10}=\frac15. \]

Răspuns: \(p=\dfrac15\).

Vezi și: Probabilități, Radicali.

Subiectul I.5 (5p · geometrie analitică, pante)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,0)\), \(B(4,4)\) și \(C(5,2)\). Arătați că triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\).
Vezi rezolvarea

Pantele dreptelor \(AC\) și \(BC\):

\[ m_{AC}=\frac{2-0}{5-1}=\frac12, \]

\[ m_{BC}=\frac{2-4}{5-4}=-2. \]

\(m_{AC}\cdot m_{BC}=\frac12\cdot(-2)=-1\), deci \(AC\perp BC\) și triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\).

Altă metodă (reciproca teoremei lui Pitagora): \(AC^2=16+4=20\), \(BC^2=1+4=5\), \(AB^2=9+16=25=AC^2+BC^2\).

Răspuns: \(m_{AC}\cdot m_{BC}=-1\), deci unghiul \(C\) este drept.

Vezi și: Panta unei drepte, Drepte paralele și perpendiculare.

Subiectul I.6 (5p · trigonometrie)

Se consideră expresia \(E(x)=2\sin x\cdot\cos\dfrac x2+\left(\sin\dfrac{3x}{4}\right)^2\). Arătați că \(E\left(\dfrac\pi3\right)=2\).
Vezi rezolvarea

Pentru \(x=\frac\pi3\): \(\frac x2=\frac\pi6\) și \(\frac{3x}{4}=\frac\pi4\). Folosim valorile

\[ \sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}, \]

\[ \cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}{2}, \]

\[ \sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}. \]

\[ E\left(\frac\pi3\right)=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac32+\frac24=\frac32+\frac12=2. \]

Răspuns: \(E\left(\dfrac\pi3\right)=2\).

Vezi și: Tabel trigonometric.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}\) și \(B(a)=\begin{pmatrix}a&a+1\\a-3&4a-1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Arătați că \(\det\big(B(1)\big)=7\).
Vezi rezolvarea

\[ B(1)=\begin{pmatrix}1&2\\-2&3\end{pmatrix}, \]

\[ \det\big(B(1)\big)=1\cdot3-2\cdot(-2)=3+4=7. \]

Răspuns: \(\det\big(B(1)\big)=7\).

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Arătați că \(B(2)-B(0)\cdot B(1)=4A\).
Vezi rezolvarea

\[ B(0)=\begin{pmatrix}0&1\\-3&-1\end{pmatrix}, \]

\[ B(0)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}0-2&0+3\\-3+2&-6-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&3\\-1&-9\end{pmatrix}. \]

\[ B(2)=\begin{pmatrix}2&3\\-1&7\end{pmatrix}, \]

\[ B(2)-B(0)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}4&0\\0&16\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}=4A. \]

Răspuns: \(B(2)-B(0)\cdot B(1)=4A\).

Subiectul II.1 c) (5p · matrice neinversabilă)

Determinați numerele reale \(a\) pentru care matricea \(C(a)=B(a)-aA\) nu este inversabilă.
Vezi rezolvarea

\[ C(a)=\begin{pmatrix}a-a&a+1\\a-3&4a-1-4a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&a+1\\a-3&-1\end{pmatrix}. \]

\[ \det\big(C(a)\big)=0\cdot(-1)-(a+1)(a-3)=-(a-3)(a+1). \]

O matrice nu este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este \(0\): \((a-3)(a+1)=0\), deci \(a=-1\) sau \(a=3\).

Răspuns: \(a\in\{-1,\,3\}\).

Vezi și: Matrice inversabilă.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=xy-2x-3y+6\).

Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)

Arătați că \(2*2=0\).
Vezi rezolvarea

\[ 2*2=2\cdot2-2\cdot2-3\cdot2+6=4-4-6+6=0. \]

Observație utilă: legea se poate scrie \(x*y=(x-3)(y-2)\); într-adevăr, \((x-3)(y-2)=xy-2x-3y+6\). Atunci \(2*2=(-1)\cdot0=0\).

Răspuns: \(2*2=0\).

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 b) (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Determinați numărul real \(x\) pentru care \(x*6=x\).
Vezi rezolvarea

\[ x*6=6x-2x-18+6=4x-12. \]

\(4x-12=x\Rightarrow3x=12\Rightarrow x=4\).

Răspuns: \(x=4\).

Subiectul II.2 c) (5p · inecuație de gradul al II-lea)

Determinați mulțimea numerelor reale \(x\) pentru care \(x*(2*x)\ge2\).
Vezi rezolvarea

\(2*x=2x-4-3x+6=2-x\), apoi

\[ x*(2-x)=x(2-x)-2x-3(2-x)+6=2x-x^2-2x-6+3x+6=-x^2+3x. \]

Inecuația devine

\[ -x^2+3x\ge2\iff x^2-3x+2\le0\iff(x-1)(x-2)\le0. \]

Trinomul are rădăcinile \(1\) și \(2\) și este negativ sau nul între rădăcini, deci \(x\in[1,2]\).

Răspuns: \(x\in[1,2]\).

Vezi și: Inecuații, Funcția de gradul al II-lea (semnul trinomului).

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+x+4}\).

Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)

Arătați că \(f'(x)=\dfrac{2\left(4-x^2\right)}{\left(x^2+x+4\right)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\).
Vezi rezolvarea

Numitorul nu se anulează (\(\Delta=1-16<0\)). Cu \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\):

\[ f'(x)=\frac{2\left(x^2+x+4\right)-2x(2x+1)}{\left(x^2+x+4\right)^2}=\frac{8-2x^2}{\left(x^2+x+4\right)^2}=\frac{2\left(4-x^2\right)}{\left(x^2+x+4\right)^2}. \]

Răspuns: formula derivatei este demonstrată.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Subiectul III.1 b) (5p · asimptotă orizontală)

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).
Vezi rezolvarea

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{x^2+x+4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x\left(1+\frac1x+\frac4{x^2}\right)}=0. \]

Limita este finită, deci dreapta \(y=0\) este asimptota orizontală spre \(+\infty\).

Răspuns: \(y=0\).

Vezi și: Asimptote orizontale, Calculator asimptote.

Subiectul III.1 c) (5p · inegalitate prin monotonie)

Arătați că \(f(x)-f(4-x)\le1\), pentru orice \(x\in[4,+\infty)\).
Vezi rezolvarea

Monotonia: \(f'(x)=0\iff x=-2\) sau \(x=2\). Semnul lui \(f'\) este semnul lui \(4-x^2\):

  • pe \((-\infty,-2]\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare;
  • pe \([-2,2]\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare;
  • pe \([2,+\infty)\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare.

Pentru \(x\in[4,+\infty)\): \(f\) este descrescătoare pe \([4,+\infty)\subset[2,+\infty)\), deci \(f(x)\le f(4)=\dfrac{8}{16+4+4}=\dfrac13\).

Totodată \(4-x\in(-\infty,0]\), iar pe acest interval valoarea minimă a lui \(f\) este \(f(-2)=\dfrac{-4}{4-2+4}=-\dfrac23\), deci \(f(4-x)\ge-\dfrac23\).

\[ f(x)-f(4-x)\le\frac13-\left(-\frac23\right)=1. \]

Răspuns: \(f(x)-f(4-x)\le1\) pentru orice \(x\ge4\).

Vezi și: Aplicații ale derivatelor: monotonie și extreme.

2. Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}\).

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Arătați că \(\displaystyle\int_0^2(x+1)f(x)\,dx=8\).
Vezi rezolvarea

\((x+1)f(x)=x+3\), deci

\[ \int_0^2(x+3)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}+3x\right)\right|_0^2=2+6=8. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(8\).

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Subiectul III.2 b) (5p · integrală cu logaritm)

Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=1+2\ln2\).
Vezi rezolvarea

Scriem \(f(x)=\dfrac{x+1+2}{x+1}=1+\dfrac{2}{x+1}\). Atunci

\[ \int_0^1\left(1+\frac{2}{x+1}\right)dx=\left.x\right|_0^1+\left.2\ln(x+1)\right|_0^1=1+2\ln2-2\ln1=1+2\ln2. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(1+2\ln2\).

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.

Subiectul III.2 c) (5p · integrală cu exponențială)

Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\displaystyle\int_1^2\left(x^2-1\right)e^xf(x)\,dx=e(e+a)\).
Vezi rezolvarea

Simplificăm:

\[ \left(x^2-1\right)f(x)=(x-1)(x+1)\cdot\frac{x+3}{x+1}=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3, \]

deci integrala este \(\displaystyle\int_1^2\left(x^2+2x-3\right)e^x\,dx\).

Observăm că

\[ \left(\left(x^2-3\right)e^x\right)'=2xe^x+\left(x^2-3\right)e^x=\left(x^2+2x-3\right)e^x. \]

Atunci

\[ \int_1^2\left(x^2+2x-3\right)e^x\,dx=\left.\left(x^2-3\right)e^x\right|_1^2=e^2-(-2e)=e^2+2e. \]

Din \(e(e+a)=e^2+2e=e(e+2)\) obținem \(a=2\).

Răspuns: \(a=2\).

Vezi și: Primitive și integrare prin părți.

Ce s-a cerut la Bac 2024 M2

Subiectul I a cuprins progresii aritmetice, funcția de gradul I, o ecuație logaritmică, o probabilitate cu radicali, pante de drepte și un calcul trigonometric. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți și o lege de compoziție, iar Subiectul al III-lea derivate, monotonie, asimptote și integrale definite.

Subiectul și baremul oficial (arhiva ZIP din 2 iulie 2024) se găsesc pe subiecte2024.edu.ro.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2024 la matematică M_șt-nat? În sesiunea iunie–iulie 2024 (proba din 2 iulie) s-a extras Varianta 10. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2024 M2? De obicei III.1 c): inegalitatea \(f(x)-f(4-x)\le1\) cere studiul monotoniei lui \(f\) pe trei intervale și folosirea valorilor extreme \(f(4)=\frac13\) și \(f(-2)=-\frac23\).

← Bac 2025 M2 rezolvat · Bac 2026 M2 rezolvat

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.