Bacalaureat 2020 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Desfacem paranteza; $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$:

$$\sqrt{3}(2\sqrt{3}+1)-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\cdot 3=6.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $6$.

Vezi și: Radicali — reguli de calcul.

$$a^2-4a+2=2\iff a^2-4a=0\iff a(a-4)=0.$$

Obținem $a=0$ sau $a=4$.

Răspuns: $a\in \{0,4\}$.

Vezi și: Funcția de gradul al II-lea, Ecuația de gradul al II-lea.

Condiția de existență: $x-1\ge 0$, adică $x\ge 1$.

Ridicăm la pătrat (ambii membri sunt nenegativi):

$$x-1=9\Rightarrow x=10.$$

Verificare: $\sqrt{10-1}=\sqrt{9}=3$. ✓ Soluția $x=10$ convine.

Răspuns: $x=10$.

Vezi și: Radicali, Fișă: ecuații iraționale.

Fie $x$ prețul inițial (în lei). După ieftinirea cu $10\mathrm{\%}$, prețul este

$$x-\frac{10}{100}\cdot x=180\iff \frac{90}{100}\cdot x=180\iff x=\frac{180\cdot 100}{90}=200.$$

Verificare: $10\mathrm{\%}$ din $200$ este $20$, iar $200-20=180$. ✓

Răspuns: prețul inițial era $200$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Calculăm laturile $AC$ și $BC$:

$$AC=\sqrt{(0-4{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{16+9}=5,$$

$$BC=\sqrt{(0+4{)}^2+(4-1{)}^2}=5.$$

Deci $AC=BC$, triunghiul este isoscel cu baza $AB$, iar înălțimea din $C$ cade în mijlocul bazei:

$$D(\frac{4+(-4)}{2},\frac{1+1}{2})=D(0,1),$$

$$CD=\sqrt{(0-0{)}^2+(4-1{)}^2}=3.$$

(Se vede și direct: $A$ și $B$ au aceeași ordonată, deci $AB$ este pe dreapta $y=1$, iar distanța de la $C(0,4)$ la această dreaptă este $4-1=3$.)

Răspuns: înălțimea din $C$ are lungimea $3$.

Vezi și: Distanța dintre două puncte, Coordonatele mijlocului unui segment.

Valorile necesare: $\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$$\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}-\frac{2}{2}=\frac{1}{2}.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $\frac{1}{2}$.

Vezi și: Tabel trigonometric, Calculator trigonometric.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right|=1\cdot 2-3\cdot 0=2-0=2.$$

Răspuns: $detA=2$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Înmulțim linie cu coloană:

$$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+3\cdot 0& 1\cdot 3+3\cdot 2\\ 0\cdot 1+2\cdot 0& 0\cdot 3+2\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 9\\ 0& 4\end{array}\right).$$

$$3A-A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3& 9\\ 0& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 9\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I_2.$$

Răspuns: $3A-A\cdot A=2I_2$.

$$xA-I_2=\left(\begin{array}{cc}x-1& 3x\\ 0& 2x-1\end{array}\right).$$

$$(xA-I_2)(xA-I_2)=\left(\begin{array}{cc}(x-1{)}^2& 3x(x-1)+3x(2x-1)\\ 0& (2x-1{)}^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(x-1{)}^2& 9x^2-6x\\ 0& (2x-1{)}^2\end{array}\right).$$

$$5A-I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 15\\ 0& 9\end{array}\right).$$

Egalând elementele, $x$ trebuie să verifice simultan:

• $(x-1{)}^2=4\Rightarrow x\in \{-1,3\}$;

• $9x^2-6x=15$, adică $3x^2-2x-5=0$, deci $x\in \{-1,\frac{5}{3}\}$;

• $(2x-1{)}^2=9\Rightarrow x\in \{-1,2\}$.

Singura valoare comună este $x=-1$.

Răspuns: $x=-1$.

$$3\circ (-1)=3^2+(3+1)(-1+1)+(-1{)}^2=9+4\cdot 0+1=10.$$

Răspuns: $3\circ (-1)=10$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Folosim comutativitatea adunării și a înmulțirii numerelor reale:

$$x\circ y=x^2+(x+1)(y+1)+y^2=y^2+(y+1)(x+1)+x^2=y\circ x,$$

pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea „$\circ$” este comutativă.

Răspuns: $x\circ y=y\circ x$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

$$x\circ 1=x^2+2(x+1)+1^2=x^2+2x+1+2=(x+1{)}^2+2.$$

Cum $(x+1{)}^2\ge 0$, obținem $x\circ 1=(x+1{)}^2+2\ge 2$, pentru orice număr real $x$ (cu egalitate pentru $x=-1$).

Răspuns: $x\circ 1=(x+1{)}^2+2\ge 2$.

Folosim regula produsului $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

$$f^{\prime }(x)=(x-1{)}^{\prime }\ln x+(x-1)(\ln x{)}^{\prime }=\ln x+(x-1)\cdot \frac{1}{x}=1-\frac{1}{x}+\ln x,$$

pentru $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}+\ln x$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$f(1)=0\cdot \ln 1=0$ și $f^{\prime }(1)=1-1+\ln 1=0$. Ecuația tangentei este

$$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\Rightarrow y=0.$$

Răspuns: tangenta are ecuația $y=0$ (axa $Ox$).

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Pentru $x\in (0,1]$:

• $\ln x\le 0$ (logaritmul în bază $e>1$ este negativ sau zero pentru $x\le 1$);

• $\frac{1}{x}\ge 1$, deci $1-\frac{1}{x}\le 0$.

Prin urmare $f^{\prime }(x)=(1-\frac{1}{x})+\ln x\le 0$, pentru orice $x\in (0,1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)\le 0$ pe $(0,1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

Înmulțim fiecare termen cu $x^2+1$:

$$(x^2+1)f(x)=x^2+1+x-2=x^2+x-1.$$

$${\int }_0^1(x^2+x-1)dx={(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x)|}_0^1=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{6}.$$

Răspuns: integrala este egală cu $-{\displaystyle \frac{1}{6}}$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Primitiva cu $F(0)=0$ este $F(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt}$. Folosim primitivele uzuale:

$$\int \frac{t}{t^2+1}dt=\frac{1}{2}\ln (t^2+1)+C,$$

$$\int \frac{1}{t^2+1}dt=\mathrm{arctg}t+C.$$

$$F(x)={(t+\frac{1}{2}\ln (t^2+1)-2\mathrm{arctg}t)|}_0^x=x+\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-2\mathrm{arctg}x,$$

pentru $x\in \mathbb{R}$ (în $t=0$ expresia este $0+0-0=0$).

Verificare: $F^{\prime }(x)=1+\frac{x}{x^2+1}-\frac{2}{x^2+1}=f(x)$ și $F(0)=0$. ✓

Răspuns: $F(x)=x+\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$ $-2\mathrm{arctg}x$, $x\in \mathbb{R}$.

Vezi și: Primitive, Tabel de integrale nedefinite.

Pentru $x\ne 0$, amplificăm fracțiile cu $x^2$:

$$f\left(\frac{1}{x}\right)=1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}-\frac{2}{\frac{1}{x^2}+1}=1+\frac{x}{x^2+1}-\frac{2x^2}{x^2+1}.$$

Adunăm cu $f(x)$:

$$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=2+\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2+2x^2}{x^2+1}=2+\frac{2x}{x^2+1}-2=\frac{2x}{x^2+1}.$$

Cum ${(x^2+1)}^{\prime }=2x$:

$${\int }_1^2\frac{2x}{x^2+1}dx={\ln (x^2+1)|}_1^2=\ln 5-\ln 2=\ln \frac{5}{2}.$$

Răspuns: integrala este egală cu $\ln {\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Logaritmi.