Bacalaureat 2024 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun $6$, apoi înmulțim:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6},$$

$$\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{6}=\frac{12}{6}=2.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $2$.

Vezi și: Fracții — operații.

$f(a)=5a+1$, pentru orice număr real $a$. Ecuația devine

$$5a+1=6\Rightarrow 5a=5\Rightarrow a=1.$$

Răspuns: $a=1$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Ridicăm la pătrat (membrul drept este pozitiv):

$$4x+1=9\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2.$$

Verificare: $\sqrt{4\cdot 2+1}=\sqrt{9}=3$, deci $x=2$ convine.

Răspuns: $x=2$.

Vezi și: Radicali, Ecuații.

Cazuri posibile: mulțimea $A$ are $9$ elemente.

Cazuri favorabile: numerele divizibile cu $20$ sunt $20,40,60,80$, adică $4$ numere.

$$p=\frac{4}{9}.$$

Răspuns: $p={\displaystyle \frac{4}{9}}$.

Vezi și: Probabilități.

$$BC=\sqrt{(11-8{)}^2+(4-8{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,$$

$$AB=\sqrt{(8-2{)}^2+(8-0{)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$$

Deci $AB=10=2\cdot 5=2BC$.

Răspuns: $AB=10$, $BC=5$, deci $AB=2BC$.

Vezi și: Distanța dintre două puncte.

Valorile necesare: $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin {60}^{\circ }=\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$$1+\sin {30}^{\circ }=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},$$

$$2\sin {60}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}.$$

Cei doi membri sunt egali.

Răspuns: ambii membri sunt egali cu $\frac{3}{2}$.

Vezi și: Tabel trigonometric.

$$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 2\end{array}\right),$$

$$det(A(1))=1\cdot 2-(-2)\cdot 0=2-0=2.$$

Răspuns: $det(A(1))=2$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$A(2)+A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -4& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -4& 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 2\end{array}\right)=2A(1).$$

Răspuns: $A(2)+A(0)=2A(1)$.

$$A(x)+x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}x& x-1\\ -2x& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2x& x-1\\ -2x& 2+x\end{array}\right).$$

$$det(A(x)+x{I}_2)=2x(2+x)+2x(x-1)=4x+2x^2+2x^2-2x=4x^2+2x,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $4x^2+2x-2=0$, adică $2x^2+x-1=0$:

$$\mathrm{\Delta }=1+8=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}\Rightarrow x=-1\text{ sau }x=\frac{1}{2}.$$

Răspuns: $x\in \{-1,{\displaystyle \frac{1}{2}}\}$.

Vezi și: Ecuația de gradul al doilea.

$$1\circ 3=2(1+3)-1\cdot 3-4=8-3-4=1.$$

Răspuns: $1\circ 3=1$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Pentru orice numere reale $x$ și $y$, folosind comutativitatea adunării și a înmulțirii numerelor reale:

$$y\circ x=2(y+x)-yx-4=2(x+y)-xy-4=x\circ y,$$

deci legea de compoziție „$\circ$” este comutativă.

Răspuns: $y\circ x=x\circ y$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$: legea este comutativă.

$$n\circ n=2\cdot 2n-n^2-4=4n-n^2-4,$$

pentru orice număr natural $n$. Inecuația devine

$$4n-n^2-4\ge n-2\iff -n^2+3n-2\ge 0\iff (n-1)(n-2)\le 0,$$

adică $n\in [1,2]$. Cum $n$ este număr natural, obținem $n=1$ sau $n=2$.

Verificare: $1\circ 1=-1\ge -1$ și $2\circ 2=0\ge 0$. ✓

Răspuns: $n\in \{1,2\}$.

Vezi și: Inecuații.

Folosim ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1{)}^{\prime }\cdot x^2-(2x-1)\cdot {\left(x^2\right)}^{\prime }}{x^4}=\frac{2x^2-2x(2x-1)}{x^4}=\frac{-2x^2+2x}{x^4}=\frac{2(1-x)}{x^3},$$

pentru $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2(1-x)}{x^3}}$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$$f(1)=\frac{2-1}{1}=1,$$

$$f^{\prime }(1)=\frac{2\cdot 0}{1}=0.$$

Ecuația tangentei: $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-1=0$.

Răspuns: $y=1$.

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Din a), $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$. Pe $(0,+\mathrm{\infty })$, $x^3>0$, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $1-x$:

• $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\in (0,1]$, deci $f$ este crescătoare pe $(0,1]$;

• $f^{\prime }(x)\le 0$ pentru orice $x\in [1,+\mathrm{\infty })$, deci $f$ este descrescătoare pe $[1,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f$ este crescătoare pe $(0,1]$ și descrescătoare pe $[1,+\mathrm{\infty })$.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

Se simplifică numitorul ($x^2+x+1>0$): $(x^2+x+1)f(x)=2x+1$. Atunci

$${\int }_0^1(2x+1)dx={(x^2+x)|}_0^1=1+1-0-0=2.$$

Răspuns: integrala este egală cu $2$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Numărătorul este derivata numitorului: ${(x^2+x+1)}^{\prime }=2x+1$. Deci

$${\int }_0^1\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx={\int }_0^1\frac{{(x^2+x+1)}^{\prime }}{x^2+x+1}dx={\ln (x^2+x+1)|}_0^1=\ln 3-\ln 1=\ln 3.$$

Răspuns: integrala este egală cu $\ln 3$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.

$g(x)=e^x(2x+1)$, $x\in \mathbb{R}$. Pe $[0,1]$, $g(x)\ge 0$, deci $|g(x)|=g(x)$. Integrăm prin părți, cu $u=2x+1$, $v^{\prime }=e^x$:

$$\mathcal{A}={\int }_0^1{e}^x(2x+1)dx={e^x(2x+1)|}_0^1-{\int }_0^{1}2e^{x}dx={e^x(2x+1)|}_0^1-{2e^x|}_0^1.$$

$$\mathcal{A}=(3e-1)-(2e-2)=e+1.$$

Răspuns: aria este egală cu $e+1$.

Vezi și: Aplicații ale integralei definite — arii, Integrarea prin părți.