Derivate și studiul funcțiilor la Bacalaureat — subiectele III.1 rezolvate
Derivatele și studiul funcțiilor apar la Bacalaureat la Subiectul al III-lea, problema 1 (15 puncte, cerințele a, b, c), la M1 (mate-info) și la M2 (științele naturii). Mai jos sunt toate cele 126 cerințe din 42 variante oficiale rezolvate pe site (2020–2027), cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas. Cerința a) este aproape mereu calculul derivatei, b) o tangentă, o asimptotă sau o limită, iar c) monotonie, extreme, convexitate sau o inegalitate.
Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi
- Reguli de derivare: \((u\cdot v)'=u'v+uv'\), \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \(\big(f(u(x))\big)'=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)\) — tabelul de derivate, calculator derivate.
- Tangenta la graficul lui \(f\) în punctul de abscisă \(x_0\): \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\) — ecuația tangentei.
- Monotonie și extreme: dacă \(f'(x)\gt 0\) pe un interval, \(f\) este strict crescătoare pe el; dacă \(f'(x)\lt 0\), strict descrescătoare; punctele în care \(f'\) se anulează și își schimbă semnul sunt puncte de extrem — aplicații ale derivatelor.
- Convexitate: dacă \(f''(x)\ge 0\) pe un interval, \(f\) este convexă pe el; dacă \(f''(x)\le 0\), concavă; punctele în care \(f''\) își schimbă semnul sunt puncte de inflexiune.
- Asimptote: \(y=\ell\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) dacă \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\); oblica \(y=mx+n\) are \(m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\), \(n=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-mx\big)\) — asimptote, calculator asimptote.
- Limite: pentru cazurile \(\frac00\) și \(\frac{\infty}{\infty}\) se folosesc limitele remarcabile sau regula lui l’Hôpital — limite de funcții, calculator limite.
Tipuri de cerințe la Subiectul III.1
Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.
Bac M1 (mate-info) — Subiectul III.1
Model Bac 2027 M1 (oficial)
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2+4x-1}{x\sqrt x}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{\sqrt x\,(x-1)(x-3)}{2x^3}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați numerele \(a\in(0,+\infty)\) pentru care tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul \(A\big(a,f(a)\big)\) este paralelă cu axa \(Ox\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(f(x)-4f\left(\dfrac{1}{4x}\right)\)\(\le2\), pentru orice \(x\in(0,1]\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2026 M1 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right)\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}\)\(=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că ecuația \(f(x)+n=0\) are soluție unică, pentru orice număr natural nenul \(n\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2026 M1 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^3-4x}{x^2+5}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că dreapta de ecuație \(y=x\) este asimptota oblică spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Determinați mulțimea numerelor reale \(m\) pentru care ecuația \(f(x)=m\) are exact trei soluții. Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2026 M1
Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\), \(x\in(1,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to2}\big(f(x)\big)^{\frac{1}{x-2}}\)\(=\sqrt e\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Determinați mulțimea numerelor reale \(m\) pentru care ecuația \(f(x)=mx\) are exact două soluții. Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2025 M1 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2+6}{\sqrt{x^2+1}}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{x\left(x^2-4\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Arătați că \(f(7x)-f(x)\)\(\le2\sqrt2\), pentru orice \(x\in[0,1]\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2025 M1 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=2x+\ln\dfrac{x}{x+2}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că funcția \(f\) este bijectivă. Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2025 M1
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{2x-2}{x+2}+\ln\dfrac{x+2}{x}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^2}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Determinați numerele naturale \(n\) pentru care ecuația \(f(x)=n\) nu are soluții. Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2024 M1 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\left(x^2-2\right)e^{2x}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=2e^{2x}\left(x^2+x-2\right)\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Calculați \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Determinați imaginea funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2024 M1 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=e^x(2x-4)+x^2-2x+4\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=2(x-1)\left(e^x+1\right)\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-e^x}\)\(=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Arătați că ecuația \(f(x)=0\) are exact două soluții. Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2024 M1
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=(x+6)\sqrt{x^2+4}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{2\left(x^2+3x+2\right)}{\sqrt{x^2+4}}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați intervalele de monotonie a funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că ecuația \(f(x)=m\) are soluție unică, pentru orice număr întreg \(m\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2023 M1 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{3e^x}{x^2+x+1}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{3e^x\left(x^2-x\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(2x)}{f(x)}\)\(=+\infty\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că ecuația \(f(x)=m\) are exact trei soluții, pentru orice \(m\in(e,3)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2023 M1 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=x+3\ln\dfrac{x+3}{x-1}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}\), \(x\in(1,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Arătați că \(\ln\dfrac{x+3}{3(x-1)}\)\(\ge1-\dfrac{x}{3}\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2023 M1
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=x-1-\ln\left(e^x+x^2\right)\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{x(x-2)}{e^x+x^2}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați numerele reale \(a\) pentru care tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul de coordonate \(\big(a,f(a)\big)\) este paralelă cu axa \(Ox\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Determinați imaginea funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2022 M1 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2-3x+1}{e^x}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{(x-1)(4-x)}{e^x}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că axa \(Ox\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că ecuația \(f(x)=n\) are soluție unică, pentru orice număr natural nenul \(n\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2022 M1 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=2+\dfrac{x}{e^x-x}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{e^x(1-x)}{\left(e^x-x\right)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați intervalele de monotonie a funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că, pentru orice \(m\in(1,2]\), ecuația \(f(x)=m\) are soluție unică. Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2022 M1
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{\sqrt{x^4+16}}{x}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)}{x^2\sqrt{x^4+16}}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Determinați valorile reale ale lui \(m\) pentru care ecuația \(f(x)+f\left(\dfrac4x\right)\)\(=m\) are exact două soluții. Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2021 M1 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^4-2-4\ln x\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{4\left(x^2+1\right)(x+1)(x-1)}{x}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați intervalele de monotonie a funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că ecuația \(f(x)=0\) are exact două soluții distincte în intervalul \((0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2021 M1 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=x-\sqrt{x^2+3}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui \(a\) pentru care ecuația \(f(x)=a\) are soluție. Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2021 M1
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\sqrt{e^{2x}+x^4+2}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\), este paralelă cu dreapta de ecuație \(x-\sqrt3y=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că funcția \(f\) are un unic punct de extrem. Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2020 M1 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to(0,+\infty)\), \(f(x)=6^x-3^x+2^x\).
a) Arătați că \(f'(0)=\ln4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Se consideră tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\). Determinați numărul real \(a\) pentru care punctul \(A\big(a,\ln(16e)\big)\) este situat pe această tangentă. Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Calculați \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln\big(f(x)\big)}{x}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2020 M1 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{1}{x-2}+\ln\dfrac{x-1}{x}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^2}\), \(x\in(2,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(\dfrac{1}{x-2}\)\(\gt\ln\dfrac{x}{x-1}\), pentru orice \(x\in(2,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac M2 (științele naturii) — Subiectul III.1
Model Bac 2027 M2 (oficial)
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{3x+2\sqrt x-2}{x}\).
a) Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{2-\sqrt x}{x^2}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că imaginea funcției \(f\) este \(\left(-\infty,\dfrac72\right]\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2026 M2 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2}\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{\left(x^2+2\right)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(-2\le f(x)-f(y)\le2\), pentru orice \(x,\,y\in[-4,0]\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2026 M2 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x\left(2x^2-3x\right)\).
a) Arătați că \(f'(x)=e^x(2x+3)(x-1)\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Determinați numerele reale \(a\) pentru care tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=a\), situat pe graficul funcției \(f\), are panta egală cu \(0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2026 M2
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac1x-1+4\ln(x+3)\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{4\ln(x+3)-f(x)}{\ln x}=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac1x\ge4\ln\dfrac{x+3}{x^2+3}\), pentru orice \(x\in(0,1]\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2025 M2 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-3x-1+\ln x\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)+3x}{\ln x}=3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(f(x)+f(y)\le-\dfrac{21}{4}\), pentru orice \(x\in(0,1]\) și orice \(y\in[1,2]\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2025 M2 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2\sqrt x}{x^2+x+2}\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{-3x^2-x+2}{\left(x^2+x+2\right)^2\sqrt x}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Determinați \(a\in(0,+\infty)\) pentru care tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul \(A\big(a,f(a)\big)\) este paralelă cu axa \(Ox\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2025 M2
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3}\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{e^x\left(x^2+x\right)}{\left(x^2+3x+3\right)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(f(x)-f(y)\le\dfrac{3-e}{3e}\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\), cu \(x\le0\le y\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2024 M2 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-x-2\ln(x+1)\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{2x^2+x-3}{x+1}\), \(x\in(-1,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Arătați că \(x^2-x\ge2\ln\dfrac{x+1}{2}\), pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2024 M2 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+x+4}\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{2\left(4-x^2\right)}{\left(x^2+x+4\right)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Arătați că \(f(x)-f(4-x)\le1\), pentru orice \(x\in[4,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2024 M2
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\left(x^3+2x^2\right)e^x\).
a) Arătați că \(f'(x)=x\left(x^2+5x+4\right)e^x\), \(x\in\mathbb{R}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Arătați că \(-\dfrac{32}{e^{x+4}}\le x^2(x+2)\le\dfrac{1}{e^{x+1}}\), pentru orice \(x\in[-4,0]\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2023 M2 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{3x(x-4)}{\left(x^2+x-2\right)^2}\), \(x\in(1,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(f(x)+f\left(x^2\right)\ge\dfrac{17}{3}\), pentru orice \(x\in(1,2]\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2023 M2 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5+\dfrac{4x-4}{x^2}\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{4(2-x)}{x^3}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(\left|f(x)-f(y)\right|\le1\), pentru orice \(x,\,y\in[1,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2023 M2
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x+1+\ln x}{x}\).
a) Arătați că \(f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(\dfrac{\ln y}{y}-\dfrac{\ln x}{x}\lt\dfrac1x-\dfrac1y\), pentru orice \(x,\,y\in(1,+\infty)\) cu \(x\lt y\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2022 M2 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x^2+x+3-5\ln x\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(4x+5)}{x}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)+5\ln x}{3-x-x^2}=-2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(2x^2+x\ge3+5\ln x\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2022 M2 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x^2+1+\ln x\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{4x^2+1}{x}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4}=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că funcția \(f\) este bijectivă. Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2022 M2
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4\sqrt x}{x^2+3}\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{6\left(1-x^2\right)}{\sqrt x\left(x^2+3\right)^2}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați \(a\in(0,+\infty)\), știind că tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul \(A\big(a,f(a)\big)\) este paralelă cu axa \(Ox\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(\dfrac{\sqrt x}{x^2+3}\gt\dfrac{\sqrt{x+\frac1x}}{x^2+\frac{1}{x^2}+5}\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2021 M2 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-3\ln x\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{3(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x}\), \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=1\), situat pe graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(x^3\ge3\ln x+1\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2021 M2 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+4x-\dfrac12\ln(x+2)\).
a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}\), \(x\in(-2,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Calculați \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+4x-f(x)}{x}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că \(x^2+4x+\dfrac{15}{4}\ge\dfrac12\ln(2x+4)\), pentru orice \(x\in(-2,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Simulare Bac 2021 M2
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}\).
b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(-\infty\) la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2020 M2 — sesiunea august–septembrie
Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\ln(x+1)\).
a) Arătați că \(f'(x)=\ln(x+1)+\dfrac{x}{x+1}\), \(x\in(-1,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Arătați că funcția \(f\) este convexă. Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Se consideră funcția \(g:(-1,0]\to\mathbb{R}\), \(g(x)=(x+1)^x\). Demonstrați că, dacă \(x_1,x_2\in(-1,0]\) astfel încât \(x_1\le x_2\), atunci \(g\left(x_1\right)\ge g\left(x_2\right)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Bac 2020 M2 — sesiunea iunie–iulie
Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-2\sqrt{x^2-1}\).
a) Arătați că \(f'(x)=2x\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\), \(x\in(1,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
b) Calculați \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-f(x)}{x}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
c) Demonstrați că axa \(Ox\) este tangentă la graficul funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →
Alte capitole de examen: Integrale la Bac (III.2) · Matrice și determinanți la Bac (II.1) · Geometrie în spațiu la EN (Subiectul III).
Întrebări frecvente
Ce se cere la Subiectul III.1 la Bacalaureat? Se dă o funcție și se cer trei cerințe de câte 5 puncte: calculul derivatei (de obicei „Arătați că f′(x) = …”), apoi ecuația tangentei, o asimptotă sau o limită, iar la final monotonia, punctele de extrem, convexitatea, o inegalitate sau numărul de soluții ale unei ecuații.
Cum demonstrez o inegalitate cu ajutorul derivatei? Studiezi monotonia funcției cu semnul derivatei, afli minimul sau maximul ei pe domeniu și compari valorile funcției cu acest extrem. De exemplu, dacă minimul lui f este 0, atunci f(x) ≥ 0 pentru orice x din domeniu.
Diferă subiectul III.1 de la M1 față de cel de la M2? Structura este aceeași, dar la M1 funcțiile sunt mai complicate (logaritmi, exponențiale, radicali combinați) și cerința c) cere mai des inegalități sau numărul de soluții, în timp ce la M2 predomină tangenta, asimptotele și monotonia.
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2
Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.