Simulare Bac 2023 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat

Efectuăm întâi paranteza, apoi împărțirea și înmulțirea, apoi adunarea:

$$(1-0,2):2+0,3\cdot 2=0,8:2+0,6=0,4+0,6=1.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $1$.

Vezi și: Fracții — operații.

$$f(2)=4-6+2=0,$$

$$g(2)=2+m.$$

Egalitatea devine $0=2+m$, de unde $m=-2$.

Răspuns: $m=-2$.

Vezi și: Funcția de gradul al II-lea, Funcția de gradul I.

Scriem $49=7^2$, deci ${49}^x=7^{2x}$. Funcția exponențială este injectivă, așa că exponenții sunt egali:

$$7^{x+3}=7^{2x}\Rightarrow x+3=2x\Rightarrow x=3.$$

Răspuns: $x=3$.

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Notăm cu $x$ prețul înainte de ieftinire. După o ieftinire cu $30\mathrm{\%}$ produsul costă $70\mathrm{\%}$ din prețul inițial:

$$x-\frac{30}{100}\cdot x=210\Rightarrow \frac{70}{100}\cdot x=210\Rightarrow x=300.$$

Răspuns: prețul înainte de ieftinire era $300$ de lei.

Vezi și: Procente.

Mijlocul segmentului $AB$: $M(\frac{0+2}{2},\frac{5+(-1)}{2})$, adică $M(1,2)$. Calculăm lungimile laturilor:

$$OM=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},$$

$$OB=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5},$$

$$MB=\sqrt{(2-1{)}^2+(-1-2{)}^2}=\sqrt{10}.$$

Cum $O{M}^2+O{B}^2=5+5=10=M{B}^2$, conform reciprocei teoremei lui Pitagora triunghiul $OMB$ este dreptunghic în $O$.

Răspuns: $M{B}^2=O{B}^2+O{M}^2$, deci triunghiul $OMB$ este dreptunghic în $O$.

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.

Din tabelul trigonometric: $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Atunci

$$\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}-\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}+1-\frac{\sqrt{6}}{2}=1.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată.

Vezi și: Tabel trigonometric.

$$A(2)=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 2& 1\end{array}\right),$$

$$det(A(2))=4\cdot 1-(-2)\cdot 2=4+4=8.$$

Răspuns: $det(A(2))=8$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 2& -1\end{array}\right),$$

$$A(0)\cdot A(0)=\left(\begin{array}{cc}4-4& -4+2\\ 4-2& -4+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& -3\end{array}\right).$$

Egalăm cu $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x+2& -2\\ 2& x-1\end{array}\right)$: din $x+2=0$ și $x-1=-3$ obținem $x=-2$.

Răspuns: $x=-2$.

$$det(A(x))=(x+2)(x-1)-(-2)\cdot 2=x^2+x-2+4=x^2+x+2,$$

pentru orice număr real $x$. Egalitatea $det(A(x))=det(A(y))$ devine

$$x^2+x+2=y^2+y+2\iff (x^2-y^2)+(x-y)=0\iff (x-y)(x+y+1)=0.$$

Cum $x$ și $y$ sunt distincte, $x-y\ne 0$, deci $x+y+1=0$, adică $x+y=-1$.

Răspuns: $x+y=-1$.

$$1\ast 2=4\cdot 1\cdot 2-3\cdot 1+2\cdot 2-1=8-3+4-1=8.$$

Răspuns: $1\ast 2=8$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$x\ast (-1)=-4x-3x-2-1=-7x-3,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $-7x-3=4$, adică $-7x=7$, deci $x=-1$.

Răspuns: $x=-1$.

$$x\ast a=-x\iff 4ax-3x+2a-1=-x\iff x(4a-2)+(2a-1)=0\iff (2a-1)(2x+1)=0.$$

Egalitatea trebuie să aibă loc pentru orice număr real $x$, deci $2a-1=0$, adică $a=\frac{1}{2}$. Verificare: $x\ast \frac{1}{2}=2x-3x+1-1=-x$. ✓

Răspuns: $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Folosim ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$:

$$f^{\prime }(x)=2-\frac{8}{x^2}=\frac{2x^2-8}{x^2}=\frac{2(x^2-4)}{x^2},$$

pentru $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2(x^2-4)}{x^2}}$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$$f(2)=4-1+4=7,$$

$$f^{\prime }(2)=\frac{2(4-4)}{4}=0.$$

Ecuația tangentei: $y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$, adică $y-7=0$.

Răspuns: $y=7$.

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Pe $(0,+\mathrm{\infty })$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=2$. Pentru $x\in (0,2]$ avem $x^2-4\le 0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și $f$ este descrescătoare pe $(0,2]$.

Pentru $x\in (0,1)$ avem

$$0<1-x<1+x<2,$$

adică $1-x$ și $1+x$ aparțin intervalului $(0,2]$, iar $1-x<1+x$. Cum $f$ este descrescătoare pe acest interval, rezultă $f(1-x)\ge f(1+x)$, pentru orice $x\in (0,1)$.

Răspuns: $f$ este descrescătoare pe $(0,2]$ și $1-x<1+x$, deci $f(1-x)\ge f(1+x)$.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

$f(x)-4x=3x^2+2$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_0^2(3x^2+2)dx={(x^3+2x)|}_0^2=8+4=12.$$

Răspuns: integrala este egală cu $12$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

$f(x)-3x^2-2=4x$, deci integrala este ${\displaystyle {\int }_0^{1}4x{e}^{x}dx}$. Integrăm prin părți, cu $4x{\left(e^x\right)}^{\prime }$:

$${\int }_0^{1}4x{e}^{x}dx={4x{e}^x|}_0^1-{\int }_0^{1}4e^{x}dx=4e-{4e^x|}_0^1.$$

$$4e-(4e-4)=4.$$

Răspuns: integrala este egală cu $4$.

Vezi și: Integrarea prin părți.

Observăm că ${(f^a(x))}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x)\cdot (f(x){)}^{a-1}$ (pe $[-1,0]$, $f(x)>0$, căci discriminantul lui $3x^2+4x+2$ este negativ). Deci

$${\int }_{-1}^{0}a\cdot f^{\prime }(x)\cdot (f(x){)}^{a-1}dx={f^a(x)|}_{-1}^0=f^a(0)-f^a(-1).$$

Cu $f(0)=2$ și $f(-1)=3-4+2=1$, integrala este $2^a-1$, pentru orice $a\in (0,+\mathrm{\infty })$.

$$2^a-1=63\Rightarrow 2^a=64=2^6\Rightarrow a=6,$$

care convine.

Răspuns: $a=6$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.