Subiectele oficiale de la Bacalaureat 2025, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii) din a doua sesiune (sesiunea august–septembrie, de toamnă), proba scrisă din 12 august 2025, Varianta 9, rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată și răspunsul final evidențiat.
Proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2. Subiectul din prima sesiune îl găsești la Bac 2025 M2, sesiunea iunie–iulie.
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(a_2=20\) |
| I.2 | \(m=6\) |
| I.3 | \(x\in\{1,\,2\}\) |
| I.4 | \(p=\frac35\) |
| I.5 | \(C(4,8)\) |
| I.6 | \(BC=6\sqrt2\) |
| II.1 | a) \(3\); b) \((x-1)I_2\); c) \(x\in\{1,\,3\}\) |
| II.2 | a) \(2\); b) \(e=3\); c) \((0,15)\), \((1,7)\), \((3,3)\) |
| III.1 | b) \(3\); c) \(f(x)+f(y)\le f\left(\frac12\right)+f(2)=-\frac{21}{4}\) |
| III.2 | a) \(4\); b) \(\frac83\); c) \(V=\pi\ln(4e)\) |
Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi:
(Echivalent: \(a_3=a_1+2r\Rightarrow 35=5+2r\Rightarrow r=15\), deci \(a_2=5+15=20\).)
Răspuns: \(a_2=20\).
Vezi și: Progresia aritmetică.
Ecuația devine \(2m+3=3\cdot5=15\Rightarrow 2m=12\Rightarrow m=6\).
Răspuns: \(m=6\).
Vezi și: Funcția de gradul I.
Radicalul de ordinul 3 este definit pentru orice număr real și este injectiv, deci putem ridica la puterea a treia fără condiții:
Soluțiile sunt \(x=1\) și \(x=2\). Verificare: \(\sqrt[3]{-3}=\sqrt[3]{-3}\) și \(\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0}\). ✓
Răspuns: \(x\in\{1,\,2\}\).
Vezi și: Radicali, Ecuația de gradul al II-lea.
Numerele naturale de o cifră sunt \(0,1,2,\dots,9\), deci sunt \(10\) cazuri posibile.
\(3n^2\lt100\Leftrightarrow n^2\lt\frac{100}{3}\approx33{,}3\). Cum \(5^2=25\) și \(6^2=36\), inegalitatea este verificată de \(n\in\{0,1,2,3,4,5\}\): \(6\) cazuri favorabile.
Răspuns: \(p=\frac35\).
Vezi și: Probabilități.
Coordonatele mijlocului \(B\) al segmentului \(AC\):
Obținem \(x_C=4\) și \(y_C=10-2=8\).
Răspuns: \(C(4,8)\).
Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment.
Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor:
Din teorema lui Pitagora:
Răspuns: \(BC=6\sqrt2\).
Vezi și: Teorema lui Pitagora, Aria triunghiului.
1. Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}1-x&3x\\-x&1+4x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
Răspuns: \(\det\big(A(2)\big)=3\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Scăzând element cu element, termenii în \(xy\) se reduc:
pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).
Răspuns: \(xA(y)-A(xy)=(x-1)I_2\).
Egalând elementele, de exemplu pe cele din linia 1, coloana 1: \(3-3x=x-x^2\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1\) sau \(x=3\).
Celelalte egalități duc la aceeași ecuație: \(12x-9=3x^2\), \(3-4x=-x^2\), \(17x-12=4x^2+x\) sunt toate echivalente cu \(x^2-4x+3=0\), deci ambele valori convin.
Răspuns: \(x\in\{1,\,3\}\).
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y=\frac14(x+1)(y+1)-1\).
Trebuie să arătăm că \(x\circ3=3\circ x=x\), pentru orice număr real \(x\):
Deci \(e=3\) este elementul neutru al legii „\(\circ\)”.
Răspuns: \(x\circ3=3\circ x=x\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), deci \(e=3\).
Vezi și: Structuri algebrice.
Numerele \(m+1\) și \(n+1\) sunt naturale nenule, cu \(m+1\le n+1\), deci scriem \(16\) ca produs de doi divizori, primul cel mic:
• \(1\cdot16\Rightarrow (m,n)=(0,15)\); • \(2\cdot8\Rightarrow (m,n)=(1,7)\); • \(4\cdot4\Rightarrow (m,n)=(3,3)\).
Răspuns: \((m,n)\in\{(0,15),\,(1,7),\,(3,3)\}\).
1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-3x-1+\ln x\).
(Rădăcinile lui \(2x^2-3x+1\) sunt \(\frac12\) și \(1\), deci \(2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)\).)
Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x}\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
\(f(x)+3x=x^2-1+\ln x\). Pentru \(x\to1\), numărătorul și numitorul tind la \(0\) (caz \(\frac00\)), deci aplicăm regula lui l'Hospital:
Răspuns: limita este egală cu \(3\).
Vezi și: Limite de funcții, limite remarcabile, Calculator limite.
Din a), \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac12\) sau \(x=1\). Cum \(x\gt0\), semnul lui \(f'\) este semnul produsului \((2x-1)(x-1)\):
• pe \(\left(0,\frac12\right]\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare;
• pe \(\left[\frac12,1\right]\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare;
• pe \([1,2]\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare.
Așadar, pentru orice \(x\in(0,1]\), \(f(x)\le f\left(\frac12\right)\), iar pentru orice \(y\in[1,2]\), \(f(y)\le f(2)\). Calculăm:
Răspuns: \(f(x)+f(y)\le f\left(\frac12\right)+f(2)=-\frac{21}{4}\).
2. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt x}\).
Pentru \(x\in[2,4]\), \(f(x)\sqrt x=x-1\). Cu formula Leibniz–Newton:
Răspuns: integrala este egală cu \(4\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Despărțim fracția: \(f(x)=\frac{x}{\sqrt x}-\frac{1}{\sqrt x}=\sqrt x-\frac{1}{\sqrt x}\). O primitivă a lui \(\sqrt x\) este \(\frac{2x\sqrt x}{3}\), iar a lui \(\frac{1}{\sqrt x}\) este \(2\sqrt x\):
Răspuns: integrala este egală cu \(\frac83\).
Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.
Pentru \(x\in[2,3]\): \(g(x)=\frac{\sqrt2\cdot\sqrt x}{x-1}=\frac{\sqrt{2x}}{x-1}\), deci \(g^2(x)=\frac{2x}{(x-1)^2}\).
Scriem \(x=(x-1)+1\), deci \(\frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}\):
Răspuns: \(V=\pi\ln(4e)\).
Subiectul I a cuprins o progresie aritmetică, funcția de gradul I, o ecuație cu radicali de ordinul 3, o probabilitate, geometrie analitică și un triunghi dreptunghic isoscel. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți și o lege de compoziție (element neutru, ecuație în numere naturale), iar Subiectul al III-lea derivate, o limită cu regula lui l'Hospital, monotonie, integrale definite și volumul unui corp de rotație.
Subiectul și baremul oficial (Varianta 9, proba din 12 august 2025) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE pe subiecte.edu.ro, în arhiva sesiunii august–septembrie 2025.
Ce variantă s-a dat la Bac 2025 matematică M2 în sesiunea de toamnă? La proba scrisă de matematică M_șt-nat din 12 august 2025 (a doua sesiune a Bacalaureatului) s-a extras Varianta 9. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la Bac 2025 M2 din august? De obicei III.1 c): trebuie stabilită monotonia lui \(f\) pe trei intervale și observat că maximul pe \((0,1]\) este \(f\left(\frac12\right)\), iar pe \([1,2]\) este \(f(2)\); termenii cu \(\ln2\) se reduc.
Bac 2025 M2 rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Bac 2026 M2 rezolvat — sesiunea august · Bac 2026 M2 rezolvat · Bac 2024 M2 rezolvat
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.