Bacalaureat 2025 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Calculăm întâi paranteza (numitor comun $10$), apoi înmulțirea și adunarea:

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10},$$

$$\frac{1}{10}+3\cdot \frac{3}{10}=\frac{1}{10}+\frac{9}{10}=1.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $1$.

Vezi și: Fracții — operații.

$$f(2)=12-3=9,$$

$$f(0)=-3.$$

Egalitatea devine $9=a-3$, de unde $a=12$.

Răspuns: $a=12$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Puterile au aceeași bază, iar funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali:

$$2x=3-x\Rightarrow 3x=3\Rightarrow x=1.$$

Răspuns: $x=1$.

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Cazuri posibile: mulțimea $A$ are $10$ elemente.

Cazuri favorabile: $6n>25\iff n>\frac{25}{6}\approx 4,17$, deci $n\in \{5,6,7,8,9\}$: $5$ numere.

$$p=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$$

Răspuns: $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Vezi și: Probabilități.

$$BC=\sqrt{(6-2{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{16+9}=5,$$

$$AB=\sqrt{(2-2{)}^2+(1-0{)}^2}=1.$$

Cum $BC=5\cdot AB$, obținem $a=5$.

Răspuns: $a=5$.

Vezi și: Distanța dintre două puncte.

Din $MN=4\cdot MP$ și $MN=8$ rezultă $MP=2$. Triunghiul este dreptunghic în $M$, deci $MN$ și $MP$ sunt catete:

$${\mathcal{A}}_{MNP}=\frac{MN\cdot MP}{2}=\frac{8\cdot 2}{2}=8.$$

Răspuns: aria triunghiului $MNP$ este $8$.

Vezi și: Aria triunghiului.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=5\cdot 1-2\cdot 2=5-4=1.$$

Răspuns: $detA=1$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$3A-5I_2=\left(\begin{array}{cc}15& 6\\ 6& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 6\\ 6& -2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& -1\end{array}\right)=2B.$$

Egalitatea devine $2B=xB$; comparând, de exemplu, elementele de pe prima linie și prima coloană ($10=5x$), obținem $x=2$.

Răspuns: $x=2$.

$$B-A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right),$$

$$A\cdot (B-A)=\left(\begin{array}{cc}5\cdot 0+2\cdot 1& 5\cdot 1+2\cdot (-2)\\ 2\cdot 0+1\cdot 1& 2\cdot 1+1\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

$$A\cdot (B-A)+x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2+x& 1\\ 1& x\end{array}\right),$$

$$det(A\cdot (B-A)+x{I}_2)=x(2+x)-1=x^2+2x-1,$$

pentru orice număr real $x$. Inecuația devine

$$x^2+2x-1\le 2\iff x^2+2x-3\le 0\iff (x+3)(x-1)\le 0.$$

Trinomul are rădăcinile $-3$ și $1$ și este negativ sau zero între ele, deci $x\in [-3,1]$.

Răspuns: $x\in [-3,1]$.

Vezi și: Inecuații.

Pentru $m=1$, $f=X^3-3X^2+X+1$, deci

$$f(1)=1^3-3\cdot 1^2+1+1=1-3+1+1=0.$$

Răspuns: $f(1)=0$.

Vezi și: Polinoame.

Din relațiile lui Viète pentru $f=X^3-3X^2+X+m$:

$$x_1+x_2+x_3=3,$$

$$x_1{x}_2{x}_3=-m.$$

Relația devine $2\cdot 3=1-m$, adică $6=1-m$, deci $m=-5$.

Răspuns: $m=-5$.

Vezi și: Polinoame — relațiile lui Viète.

Conform teoremei restului, restul împărțirii la $X-2$ este $f(2)$:

$$f(2)=8-12+2+m=-2+m=-5\Rightarrow m=-3.$$

Atunci, grupând termenii:

$$f=X^3-3X^2+X-3=X^2(X-3)+(X-3)=(X-3)(X^2+1),$$

deci polinomul $f$ este divizibil cu $X^2+1$.

Răspuns: $m=-3$ și $f=(X-3)(X^2+1)$, deci $X^2+1\mid f$.

Folosim ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, cu ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{e^x-(x-2)e^x}{{\left(e^x\right)}^2}=\frac{e^x(1-x+2)}{{\left(e^x\right)}^2}=\frac{3-x}{e^x},$$

pentru $x\in \mathbb{R}$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3-x}{e^x}}$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$$f(0)=\frac{-2}{1}=-2,$$

$$f^{\prime }(0)=\frac{3}{1}=3.$$

Ecuația tangentei: $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y+2=3x$.

Răspuns: $y=3x-2$.

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Din a), $f^{\prime }(x)=0\iff x=3$, iar semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $3-x$ ($e^x>0$):

• pentru $x\in [1,3]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[1,3]$;

• pentru $x\in [3,4]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[3,4]$.

Valorile la capete și în punctul de maxim:

$$f(1)=-\frac{1}{e},$$

$$f(3)=\frac{1}{e^3},$$

$$f(4)=\frac{2}{e^4}>0.$$

Maximul pe $[1,4]$ este $f(3)=\frac{1}{e^3}$, iar minimul este $f(1)=-\frac{1}{e}$ (căci $f(4)>0>f(1)$). Deci, pentru orice $x\in [1,4]$,

$$-\frac{1}{e}\le \frac{x-2}{e^x}\le \frac{1}{e^3}.$$

Înmulțind cu $e^x>0$: $-e^{x-1}\le x-2\le e^{x-3}$, pentru orice $x\in [1,4]$.

Răspuns: $-\frac{1}{e}\le f(x)\le \frac{1}{e^3}$ pe $[1,4]$, echivalent cu $-e^{x-1}\le x-2\le e^{x-3}$.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

$f(x)-x^2-8=4x$, deci

$${\int }_0^{1}4xdx={2x^2|}_0^1=2-0=2.$$

Răspuns: integrala este egală cu $2$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

$f(x)-4x=x^2+8$, iar ${(x^2+8)}^{\prime }=2x$, deci $x=\frac{1}{2}{(x^2+8)}^{\prime }$:

$${\int }_0^8\frac{x}{x^2+8}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^8\frac{{(x^2+8)}^{\prime }}{x^2+8}dx={\frac{1}{2}\ln (x^2+8)|}_0^8.$$

$$\frac{\ln 72}{2}-\frac{\ln 8}{2}=\frac{1}{2}\ln \frac{72}{8}=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3.$$

Răspuns: integrala este egală cu $\ln 3$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.

$f(x)-4=x^2+4x+4=(x+2{)}^2$. Folosim $\int \frac{1}{(x+2{)}^2}dx=-\frac{1}{x+2}+C$:

$${\int }_0^a\frac{1}{(x+2{)}^2}dx={(-\frac{1}{x+2})|}_0^a=-\frac{1}{a+2}+\frac{1}{2},$$

pentru orice $a\in (0,+\mathrm{\infty })$. Ecuația devine

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{a+2}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{a+2}=\frac{1}{4}\Rightarrow a+2=4\Rightarrow a=2.$$

Răspuns: $a=2$.

Vezi și: Primitive.