Drepte paralele și perpendiculare: condiții, intersecție

Q: Când sunt două drepte paralele?

Când au aceeași pantă, m_1 = m_2 , și ordonate la origine diferite. În forma generală: (a_1)/(a_2) = (b_1)/(b_2) ≠ (c_1)/(c_2) . Dacă și raportul termenilor liberi este egal, dreptele sunt confundate.

Q: Cum aflu intersecția a două drepte?

Rezolvi sistemul format din cele două ecuații; soluția (x, y) dă coordonatele punctului de intersecție. Dacă sistemul nu are soluții, dreptele sunt paralele; dacă are o infinitate, sunt confundate.

Formule

Două drepte $d_{1} : y = m_{1} x + n_{1}$ și $d_{2} : y = m_{2} x + n_{2}$ sunt paralele dacă au pantele egale, $m_{1} = m_{2}$ (și $n_{1} \neq n_{2}$ ), și sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ . În forma generală $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ , $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ , condițiile devin $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ (paralele) și $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ (perpendiculare). Punctul de intersecție a două drepte concurente se află rezolvând sistemul format din ecuațiile lor.

Pozițiile relative a două drepte — tabel rezumat

Poziția	Cu pante $y = m x + n$	Cu forma generală $a x + b y + c = 0$	Sistemul
Paralele	$m_{1} = m_{2}$ , $n_{1} \neq n_{2}$	$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$	nicio soluție
Confundate	$m_{1} = m_{2}$ , $n_{1} = n_{2}$	$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$	o infinitate de soluții
Concurente	$m_{1} \neq m_{2}$	$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq 0$	soluție unică
Perpendiculare	$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$	$a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$	soluție unică

Drepte paralele — condiția cu pante

Panta unei drepte este $m = tg α$ , unde $α$ este unghiul făcut cu axa $O x$ . Două drepte paralele fac același unghi cu $O x$ , deci au aceeași pantă:

d_{1} ∥ d_{2} ⟺ m_{1} = m_{2} și n_{1} \neq n_{2}

Dacă și ordonatele la origine sunt egale ( $n_{1} = n_{2}$ ), ecuațiile sunt identice și dreptele sunt confundate. Dreptele verticale $x = k_{1}$ și $x = k_{2}$ nu au pantă; ele sunt paralele pentru $k_{1} \neq k_{2}$ . Cum se calculează panta din două puncte sau din forma generală ( $m = - \frac{a}{b}$ ) găsești la panta unei drepte.

Drepte paralele și confundate în forma generală

Pentru $d_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ și $d_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ :

d_{1} ∥ d_{2} ⟺ \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}, d_{1} = d_{2} ⟺ \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}

Când unul dintre numitori poate fi zero (de exemplu un parametru în $a_{2}$ sau $b_{2}$ ), folosește forma fără fracții: dreptele sunt paralele sau confundate exact când

a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0

apoi verifici separat că nu sunt confundate. Așa nu pierzi soluții și nu împarți la zero.

Drepte perpendiculare — m₁·m₂ = −1

d_{1} ⊥ d_{2} ⟺ m_{1} \cdot m_{2} = - 1 ⟺ m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}

Panta perpendicularei este inversa cu semn schimbat: perpendiculara pe o dreaptă de pantă $2$ are panta $- \frac{1}{2}$ . Justificare: vectorii directori $(1, m_{1})$ și $(1, m_{2})$ sunt perpendiculari când produsul lor scalar este zero, adică $1 + m_{1} m_{2} = 0$ . Excepție: o dreaptă orizontală ( $m = 0$ ) este perpendiculară pe orice dreaptă verticală ( $x = k$ ), deși formula nu se aplică.

În forma generală, vectorul $(a, b)$ este normal la dreaptă, așa că:

d_{1} ⊥ d_{2} ⟺ a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0

Paralela și perpendiculara printr-un punct

Prin $M (x_{0}, y_{0})$ , paralela la $a x + b y + c = 0$ păstrează coeficienții $a, b$ , iar perpendiculara îi schimbă între ei, cu un semn:

paralela: a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0, perpendiculara: b (x - x_{0}) - a (y - y_{0}) = 0

Cu pante: $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ pentru paralelă și $y - y_{0} = - \frac{1}{m} (x - x_{0})$ pentru perpendiculară. Toate formele ecuației dreptei sunt pe pagina ecuația dreptei.

Intersecția a două drepte

Punctul de intersecție are coordonatele $(x, y)$ egale cu soluția sistemului:

{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 \end{cases}

Rezolvi prin substituție sau prin reducere (vezi sisteme de ecuații liniare); abscisa punctului este $x$ , ordonata este $y$ . Dacă $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq 0$ , dreptele sunt concurente și, cu regula lui Cramer:

x = \frac{b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}, y = \frac{c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}

Verifică întotdeauna punctul găsit în ambele ecuații.

Concurența a trei drepte

Trei drepte $a_{i} x + b_{i} y + c_{i} = 0$ , $i = 1, 2, 3$ , două câte două neparalele, sunt concurente (trec prin același punct) dacă și numai dacă

| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | = 0

Metoda practică: intersectezi primele două drepte și pui condiția ca punctul obținut să verifice ecuația celei de-a treia. Calculul determinantului este explicat la determinanți.

Unghiul dintre două drepte

Unghiul ascuțit $φ$ dintre două drepte de pante $m_{1}, m_{2}$ (cu $m_{1} m_{2} \neq - 1$ ) se află din:

tg φ = | \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}} |

Pentru $m_{1} m_{2} = - 1$ unghiul este $90^{\circ}$ . Varianta cu forma generală, valabilă și pentru drepte verticale:

\cos φ = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}

Greșeli frecvente

Perpendiculara cu panta $- m$ sau $\frac{1}{m}$ : corect este $- \frac{1}{m}$ , inversa și cu semn schimbat.
Panta citită greșit din forma generală: pentru $3 x - 2 y + 1 = 0$ , $m = \frac{3}{2}$ , nu $3$ și nici $- \frac{3}{2}$ .
Uitarea condiției $n_{1} \neq n_{2}$ : pante egale înseamnă paralele sau confundate; la probleme cu parametru verifică ambele cazuri.
Împărțirea la zero: la $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ cu parametru, scrie $a_{1} b_{2} = a_{2} b_{1}$ ca să nu pierzi valori.
Punctul de intersecție neverificat: o greșeală de semn în sistem dă un punct care nu aparține ambelor drepte.

Întrebări frecvente

Când sunt două drepte paralele? Când au aceeași pantă, $m_{1} = m_{2}$ , și ordonate la origine diferite. În forma generală: $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ . Dacă și raportul termenilor liberi este egal, dreptele sunt confundate.

Ce înseamnă m1·m2 = −1? Este condiția de perpendicularitate a două drepte neverticale: produsul pantelor lor este $- 1$ . De exemplu, dreptele de pante $3$ și $- \frac{1}{3}$ sunt perpendiculare.

Cum aflu intersecția a două drepte? Rezolvi sistemul format din cele două ecuații; soluția $(x, y)$ dă coordonatele punctului de intersecție. Dacă sistemul nu are soluții, dreptele sunt paralele; dacă are o infinitate, sunt confundate.

Calculează rapid: calculator ecuația dreptei — pantă, ecuație, distanță și mijloc, cu toți pașii. Vezi și distanța de la un punct la o dreaptă și aria triunghiului.

Istoric: Bolyai János (1802–1860) — a arătat că există o geometrie coerentă în care printr-un punct exterior trec mai multe paralele; în geometria euclidiană folosită aici paralela este unică.

Vezi și: distanța dintre două drepte paralele — formula $\frac{| c_{1} - c_{2} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ , exemple rezolvate.

Verifică-te: 3 întrebări

Dreptele $d_{1} : y = m_{1} x + n_{1}$ și $d_{2} : y = m_{2} x + n_{2}$ sunt perpendiculare dacă:

$m_{1} = m_{2}$
$m_{1} + m_{2} = 0$
$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

Punctul de intersecție al dreptelor $x + y = 5$ și $2 x - y = 1$ este:

$(2, 3)$
$(3, 2)$
$(1, 4)$

Dreptele $2 x + 3 y + 1 = 0$ și $4 x + 6 y + 2 = 0$ sunt:

paralele
confundate
perpendiculare

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — poziția relativă cu pante

Fie $d : y = 3 x - 2$ . Stabiliți poziția lui $d$ față de $d_{1} : 6 x - 2 y + 5 = 0$ și $d_{2} : x + 3 y - 1 = 0$ .

Rezolvare: $d_{1} : 2 y = 6 x + 5 \Rightarrow y = 3 x + \frac{5}{2}$ , deci $m_{1} = 3 = m$ și $\frac{5}{2} \neq - 2$ : $d ∥ d_{1}$ . Pentru $d_{2}$ : $y = - \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}$ , $m_{2} = - \frac{1}{3}$ , iar $3 \cdot (- \frac{1}{3}) = - 1$ : $d ⊥ d_{2}$ .

Exemplul 2 — perpendicularitate în forma generală

Arătați că $d_{1} : 2 x - 3 y + 1 = 0$ și $d_{2} : 3 x + 2 y - 4 = 0$ sunt perpendiculare.

Rezolvare: $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 2 \cdot 3 + (- 3) \cdot 2 = 6 - 6 = 0$ , deci $d_{1} ⊥ d_{2}$ .

Exemplul 3 — parametru pentru paralelism (Bac)

Determinați $m \in R$ pentru care $d_{1} : (m - 1) x + 2 y + 3 = 0$ și $d_{2} : 3 x + m y - 1 = 0$ sunt paralele.

Rezolvare: Condiția fără fracții: $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0 \Rightarrow$ $(m - 1) m - 3 \cdot 2 = 0 \Rightarrow m^{2} - m - 6 = 0$ , cu soluțiile $m = 3$ și $m = - 2$ .

Verificăm că nu sunt confundate ( $\frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{3}{- 1} = - 3$ ): pentru $m = 3$ , $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{2}{3} \neq - 3$ ; pentru $m = - 2$ , $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{- 3}{3} = - 1 \neq - 3$ . Ambele valori convin: $m \in {- 2, 3}$ .

Exemplul 4 — perpendiculara printr-un punct

Scrieți ecuația dreptei care trece prin $A (1, 2)$ și este perpendiculară pe $d : 3 x - y + 2 = 0$ .

Rezolvare: $d : y = 3 x + 2$ , deci $m_{d} = 3$ și panta perpendicularei este $- \frac{1}{3}$ . Atunci $y - 2 = - \frac{1}{3} (x - 1) \Rightarrow$ $3 y - 6 = - x + 1 \Rightarrow x + 3 y - 7 = 0$ .

Exemplul 5 — intersecția și concurența a trei drepte

Aflați $a$ pentru care dreptele $d_{1} : x + y - 3 = 0$ , $d_{2} : 2 x - y = 0$ , $d_{3} : a x + y - 5 = 0$ sunt concurente.

Rezolvare: Intersectăm $d_{1}$ și $d_{2}$ : din $d_{2}$ , $y = 2 x$ ; înlocuind în $d_{1}$ : $3 x = 3 \Rightarrow x = 1, y = 2$ . Punctul $(1, 2)$ trebuie să fie pe $d_{3}$ : $a + 2 - 5 = 0 \Rightarrow a = 3$ .

Verificare cu determinant: $| \begin{matrix} 1 & 1 & - 3 \\ 2 & - 1 & 0 \\ a & 1 & - 5 \end{matrix} | =$ $5 + 10 - 3 (2 + a) = 9 - 3 a = 0 \Rightarrow$ $a = 3$ .

Exemplul 6 — unghiul dintre două drepte

Calculați unghiul ascuțit dintre $d_{1} : y = 2 x + 1$ și $d_{2} : y = - 3 x + 4$ .

Rezolvare: $tg φ = | \frac{2 - (- 3)}{1 + 2 \cdot (- 3)} | = | \frac{5}{- 5} | = 1$ , deci $φ = 45^{\circ}$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Stabiliți poziția relativă a dreptelor $d_{1} : 4 x - 6 y + 1 = 0$ și $d_{2} : 2 x - 3 y + 5 = 0$ .
Determinați $a \in R$ pentru care dreptele $a x + 3 y - 1 = 0$ și $2 x - y + 4 = 0$ sunt perpendiculare.
Determinați $a \in R$ pentru care dreptele $2 x + a y + 1 = 0$ și $(a + 1) x + 3 y - 2 = 0$ sunt paralele.
Scrieți ecuația dreptei care trece prin $A (2, - 1)$ și este paralelă cu $3 x + y - 4 = 0$ .
Scrieți ecuația dreptei care trece prin $B (- 1, 3)$ și este perpendiculară pe $x - 2 y + 5 = 0$ .
Aflați punctul de intersecție al dreptelor $3 x - y - 1 = 0$ și $x + 2 y - 12 = 0$ .
Determinați $m$ pentru care dreptele $x + y - 4 = 0$ , $2 x - y - 2 = 0$ și $m x + 3 y - 10 = 0$ sunt concurente.
Calculați unghiul ascuțit dintre dreptele $y = 3 x$ și $y = - 2 x + 1$ .

Răspunsuri

$\frac{4}{2} = \frac{- 6}{- 3} = 2 \neq \frac{1}{5}$ : paralele.
$2 a - 3 = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$
$2 \cdot 3 - a (a + 1) = 0 \Rightarrow$ $a^{2} + a - 6 = 0 \Rightarrow a \in {- 3, 2}$ (nu sunt confundate în niciun caz).
$3 (x - 2) + (y + 1) =$ $0 \Rightarrow$ $3 x + y - 5 = 0$
Panta perpendicularei este $- 2$ : $y - 3 = - 2 (x + 1) \Rightarrow 2 x + y - 1 = 0$
$(2, 5)$
Intersecția primelor două este $(2, 2)$ ; $2 m + 6 - 10 = 0 \Rightarrow m = 2$
$tg φ = | \frac{3 + 2}{1 - 6} | = 1 \Rightarrow φ = 45^{\circ}$

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Drepte paralele și perpendiculare, intersecția a două drepte — condiții, formule, exemple rezolvate