Lungimea unui vector, coordonate

Q: Cum se calculează lungimea unui vector?

Lungimea (modulul) vectorului v = x i + y j este | v| = √(x²+y²) . Pentru AB folosești coordonatele x_B-x_A și y_B-y_A , deci lungimea este egală cu distanța AB .

Q: Care sunt coordonatele unui vector determinat de două puncte?

Dacă A(x_A,y_A) și B(x_B,y_B) , atunci AB = (x_B-x_A) i + (y_B-y_A) j : se scad coordonatele originii din coordonatele extremității.

Q: Când sunt doi vectori coliniari sau perpendiculari?

v_1(x_1,y_1) și v_2(x_2,y_2) sunt coliniari dacă x_1y_2-x_2y_1=0 (adică (x_1)/(x_2)=(y_1)/(y_2) ) și perpendiculari dacă produsul scalar x_1x_2+y_1y_2=0 .

Formule

Lungimea unui vector $\vec{v} = x \vec{i} + y \vec{j}$ este $| \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Pentru vectorul determinat de punctele $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ , coordonatele sunt $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}) \vec{i} + (y_{B} - y_{A}) \vec{j}$ , iar lungimea lui este chiar distanța $A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ . Mai jos găsești operațiile cu vectori, vectorul de poziție, condițiile de coliniaritate și perpendicularitate, produsul scalar și unghiul a doi vectori.

Ce este un vector

Un vector $\vec{A B}$ este caracterizat de direcție (dreapta $A B$ sau orice paralelă la ea), sens (de la originea $A$ spre extremitatea $B$ ) și lungime (modul) $| \vec{A B} | = A B$ . În reperul $x O y$ se folosesc versorii $\vec{i} = (1, 0)$ și $\vec{j} = (0, 1)$ , iar orice vector se scrie unic $\vec{v} = x \vec{i} + y \vec{j}$ , notat și $\vec{v} (x, y)$ .

Vectori egali: aceeași direcție, același sens și aceeași lungime; în coordonate, ${\vec{v}}_{1} = {\vec{v}}_{2} ⟺ x_{1} = x_{2}$ și $y_{1} = y_{2}$ .
Vectori opuși: aceeași direcție și lungime, sens contrar: $- \vec{v} = (- x, - y)$ ; de exemplu $\vec{B A} = - \vec{A B}$ .
Vectorul nul $\vec{0} = (0, 0)$ are lungimea 0.
Vectori coliniari: au aceeași direcție (sunt pe drepte paralele sau pe aceeași dreaptă).

Adunarea vectorilor și înmulțirea cu un scalar

Regula triunghiului: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ ; în consecință $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ . Regula paralelogramului: dacă $O A C B$ este paralelogram, $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ (diagonala).

În coordonate, pentru ${\vec{v}}_{1} (x_{1}, y_{1})$ , ${\vec{v}}_{2} (x_{2}, y_{2})$ și $α \in R$ :

{\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} = (x_{1} + x_{2}) \vec{i} + (y_{1} + y_{2}) \vec{j}

α {\vec{v}}_{1} = α x_{1} \vec{i} + α y_{1} \vec{j}

Pentru $α > 0$ , $α \vec{v}$ are același sens ca $\vec{v}$ ; pentru $α < 0$ , sens opus; lungimea se înmulțește cu $| α |$ .

Vectorul de poziție și coordonatele vectorului AB

Vectorul de poziție al punctului $A (x_{A}, y_{A})$ este ${\vec{r}}_{A} = \vec{O A} = x_{A} \vec{i} + y_{A} \vec{j}$ . Deoarece $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ :

\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}) \vec{i} + (y_{B} - y_{A}) \vec{j}

Regula: „extremitatea minus originea”. Vectorul de poziție al mijlocului $M$ al lui $A B$ este ${\vec{r}}_{M} = \frac{{\vec{r}}_{A} + {\vec{r}}_{B}}{2}$ , iar al centrului de greutate ${\vec{r}}_{G} = \frac{{\vec{r}}_{A} + {\vec{r}}_{B} + {\vec{r}}_{C}}{3}$ — formulele de coordonate sunt pe pagina coordonatele unui punct, distanța și mijlocul.

Lungimea (modulul) unui vector

| \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

| \vec{A B} | = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}

De exemplu, $| 3 \vec{i} - 4 \vec{j} | = \sqrt{9 + 16} = 5$ . Un vector de lungime 1 se numește versor; versorul lui $\vec{v} \neq \vec{0}$ este $\frac{\vec{v}}{| \vec{v} |}$ .

Vectori coliniari

${\vec{v}}_{1} (x_{1}, y_{1})$ și ${\vec{v}}_{2} (x_{2}, y_{2})$ sunt coliniari dacă există $α \in R$ cu ${\vec{v}}_{1} = α {\vec{v}}_{2}$ , adică:

\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} sau x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0

Forma cu fracții se folosește când $x_{2}, y_{2} \neq 0$ ; forma $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ funcționează mereu. Punctele $A, B, C$ sunt coliniare dacă $\vec{A B}$ și $\vec{A C}$ sunt coliniari.

Produsul scalar

\vec{u} \cdot \vec{v} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α

unde $α \in [0, π]$ este unghiul vectorilor. Proprietăți: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ , $\vec{v} \cdot \vec{v} = | \vec{v} |^{2}$ , $\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = 1$ , $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ . Produsul scalar este un număr, nu un vector.

Perpendicularitate și unghiul a doi vectori

Vectorii nenuli $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero:

\vec{u} ⊥ \vec{v} ⟺ x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0

Unghiul a doi vectori nenuli se află din:

\cos α = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}

Dacă $\cos α > 0$ unghiul este ascuțit, dacă $\cos α < 0$ este obtuz. Pentru drepte, aceleași condiții se scriu cu pante — vezi drepte paralele și perpendiculare, panta unei drepte și ecuația dreptei.

Greșeli frecvente

Ordinea scăderii: $\vec{A B}$ are coordonatele $B - A$ , nu $A - B$ ; invers se obține $\vec{B A}$ .
Lungimea fără radical: $x^{2} + y^{2}$ este $| \vec{v} |^{2}$ ; de exemplu $| \vec{i} + \vec{j} | = \sqrt{2}$ , nu 2.
Produs scalar scris ca vector: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ este un număr; nu se scrie $x_{1} x_{2} \vec{i} + y_{1} y_{2} \vec{j}$ .
Coliniaritate cu împărțire la zero: pentru ${\vec{v}}_{2} = 3 \vec{i}$ (cu $y_{2} = 0$ ) folosește $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ .
Confuzia coliniar / perpendicular: coliniar = coordonate proporționale; perpendicular = produs scalar nul.

Întrebări frecvente

Cum se calculează lungimea unui vector? Lungimea (modulul) vectorului $\vec{v} = x \vec{i} + y \vec{j}$ este $| \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Pentru $\vec{A B}$ folosești coordonatele $x_{B} - x_{A}$ și $y_{B} - y_{A}$ , deci lungimea este egală cu distanța $A B$ .

Care sunt coordonatele unui vector determinat de două puncte? Dacă $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ , atunci $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}) \vec{i} + (y_{B} - y_{A}) \vec{j}$ : se scad coordonatele originii din coordonatele extremității.

Când sunt doi vectori coliniari sau perpendiculari? ${\vec{v}}_{1} (x_{1}, y_{1})$ și ${\vec{v}}_{2} (x_{2}, y_{2})$ sunt coliniari dacă $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ (adică $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}}$ ) și perpendiculari dacă produsul scalar $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ .

Exersează: fișă de lucru printabilă — vectori în plan, clasa a 9-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

Pentru $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ , vectorul $\vec{A B}$ este:

$(x_{A} - x_{B}) \vec{i} + (y_{A} - y_{B}) \vec{j}$
$(x_{B} - x_{A}) \vec{i} + (y_{B} - y_{A}) \vec{j}$
$(x_{A} + x_{B}) \vec{i} + (y_{A} + y_{B}) \vec{j}$

Cât este lungimea vectorului $\vec{u} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j}$ ?

Pentru ce valoare a lui $a$ vectorii $\vec{u} = 2 \vec{i} + a \vec{j}$ și $\vec{v} = 4 \vec{i} - 6 \vec{j}$ sunt perpendiculari?

$a = - 3$
$a = 3$
$a = \frac{4}{3}$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (vectori egali, Bac M2). Determinați $a, b \in R$ astfel încât vectorii $\vec{v} = (2 a - 3) \vec{i} + 4 \vec{j}$ și $\vec{u} = - 3 \vec{i} + (5 b - 1) \vec{j}$ să fie egali.

Rezolvare: Egalăm coordonatele: $2 a - 3 = - 3 \Rightarrow a = 0$ și $5 b - 1 = 4 \Rightarrow b = 1$ .

Exemplul 2 (coordonate și lungime, Bac M2). Aflați coordonatele și lungimea vectorului $\vec{A B}$ , unde $A (2, 5)$ și $B (- 2, 7)$ .

Rezolvare: $\vec{A B} = (- 2 - 2) \vec{i} + (7 - 5) \vec{j} = - 4 \vec{i} + 2 \vec{j}$ . Lungimea: $| \vec{A B} | = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ .

Exemplul 3 (combinație liniară). Calculați $\vec{u} = 3 {\vec{v}}_{1} - 4 {\vec{v}}_{2}$ , dacă ${\vec{v}}_{1} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ și ${\vec{v}}_{2} = - 3 \vec{i} + 5 \vec{j}$ .

Rezolvare: $\vec{u} = (6 \vec{i} + 9 \vec{j}) + (12 \vec{i} - 20 \vec{j})$ $= 18 \vec{i} - 11 \vec{j}$ .

Exemplul 4 (coliniar și perpendicular, Bac M1). Fie $A (- 1, 3)$ , $B (2, 5)$ , $C (0, 3)$ , $D (a + 1, 3 a - 2)$ . Determinați $a$ astfel încât: a) $\vec{A B}$ să fie coliniar cu $\vec{C D}$ ; b) $\vec{A B} ⊥ \vec{C D}$ .

Rezolvare: $\vec{A B} = (3, 2)$ , $\vec{C D} = (a + 1, 3 a - 5)$ . a) $3 (3 a - 5) - 2 (a + 1) = 0$ $\Rightarrow 7 a = 17$ $\Rightarrow a = \frac{17}{7}$ . b) $3 (a + 1) + 2 (3 a - 5) = 0$ $\Rightarrow 9 a = 7$ $\Rightarrow a = \frac{7}{9}$ .

Exemplul 5 (produs scalar și unghi). Aflați unghiul vectorilor $\vec{u} = 3 \vec{i} + \vec{j}$ și $\vec{v} = \vec{i} + 2 \vec{j}$ .

Rezolvare: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 + 2 = 5$ , $| \vec{u} | = \sqrt{10}$ , $| \vec{v} | = \sqrt{5}$ . Atunci $\cos α = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , deci $α = 45^{\circ}$ .

Exemplul 6 (perpendicularitate cu parametru, Bac M2). Determinați $a \in R$ astfel încât vectorii $\vec{u} = a \vec{i} + 3 \vec{j}$ și $\vec{v} = - 3 \vec{i} + (2 a + 1) \vec{j}$ să fie perpendiculari.

Rezolvare: $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 3 a + 3 (2 a + 1) = 3 a + 3$ . Din $3 a + 3 = 0$ obținem $a = - 1$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Calculați suma vectorilor $\vec{v} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ și $\vec{u} = - 3 \vec{i} + 5 \vec{j}$ .
Calculați produsul scalar al vectorilor $\vec{u} = (- 3, 5)$ și $\vec{v} = (6, 8)$ .
Fie punctele $A (- 2, 6)$ , $B (5, 8)$ , $C (- 3, 4)$ , $D (a + 3, 16)$ . Determinați $a \in R$ astfel încât $\vec{C D} = 6 \vec{A B}$ .
Arătați că vectorii $\vec{u} = - 2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ și $\vec{v} = - 4 \vec{i} + 6 \vec{j}$ sunt coliniari.
Aflați modulul vectorului $\vec{A B}$ , dacă $A (- 5, 0)$ și $B (- 2, 4)$ .
Se consideră $\vec{O A} = (- 2, 3)$ și $\vec{O B} = (3, 0)$ . Determinați $a, b$ pentru care $3 \vec{O A} - 2 \vec{O B}$ are coordonatele $(a, b)$ .
Se consideră $\vec{O A} = (- 2, 3)$ și $\vec{O B} = (6, 1)$ . Determinați coordonatele vectorului $\vec{O M}$ , unde $M$ este mijlocul segmentului $A B$ .
Demonstrați că vectorii $\vec{u} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ și $\vec{v} = - 3 \vec{i} + 2 \vec{j}$ sunt perpendiculari și calculați $| \vec{u} + \vec{v} |$ .

Răspunsuri

$- \vec{i} + 8 \vec{j}$
$- 18 + 40 = 22$
$\vec{A B} = (7, 2)$ , $\vec{C D} = (a + 6, 12)$ $= (42, 12) \Rightarrow a = 36$
$\vec{v} = 2 \vec{u}$ (sau $(- 2) \cdot 6 - (- 4) \cdot 3 = 0$ )
$\vec{A B} = (3, 4)$ , $| \vec{A B} | = 5$
$(- 6 - 6, 9 - 0) = (- 12, 9)$ : $a = - 12$ , $b = 9$
$\vec{O M} = \frac{\vec{O A} + \vec{O B}}{2} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j}$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 6 + 6 = 0$ ; $\vec{u} + \vec{v} = - \vec{i} + 5 \vec{j}$ , $| \vec{u} + \vec{v} | = \sqrt{26}$

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Lungimea unui vector și coordonatele unui vector — formule vectori