Subiectul oficial de la simularea națională a Bacalaureatului 2026, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii), susținută de elevii de clasa a XII-a pe 24 martie 2026, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată și răspunsul final evidențiat.
Simularea este organizată de Ministerul Educației și Cercetării cu un singur subiect pe profil, are exact structura examenului din iunie și nu contează la nota finală de la Bacalaureat. Proba durează 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2.
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(a_4=20\) |
| I.2 | \(a=-2\) |
| I.3 | \(x=3\) |
| I.4 | \(18\) numere |
| I.5 | \(a=-3\) |
| I.6 | \(BM=4\sqrt3\) |
| II.1 | a) \(1\); b) \(abA(1)\); c) \(a\in\{-3,\,1\}\) |
| II.2 | a) \(6\); b) \(x\in\{0,\,6\}\); c) \(n\in\{9,\,17,\,41\}\) |
| III.1 | b) \(1\); c) \(f\) descrescătoare pe \((0,1]\), deci \(f(x)\le f\left(x^2\right)\) |
| III.2 | a) \(27\); b) \(-1\); c) \(G''(x)=-2x\left(x^2+3\right)e^{-x^2}\le0\) |
Din \(a_3=a_1+2r\) obținem rația \(r\):
Răspuns: \(a_4=20\).
Vezi și: Progresia aritmetică.
Ecuația devine \(3+3a+3=0\), adică \(3a=-6\), de unde \(a=-2\).
Verificare: pentru \(a=-2\), \(f(3)=-6+3=-3\), iar \(3+(-3)=0\). ✓
Răspuns: \(a=-2\).
Vezi și: Funcția de gradul I, Funcții — noțiuni introductive.
Scriem \(5^x=5^2\cdot5^{x-2}=25\cdot5^{x-2}\) și dăm factor comun \(5^{x-2}\):
Funcția exponențială este injectivă, deci \(x-2=1\), adică \(x=3\).
Verificare: \(5^3-4\cdot5=125-20=105\). ✓
Răspuns: \(x=3\).
Vezi și: Ecuații exponențiale, Funcția exponențială.
Numărul este impar dacă cifra unităților este impară: cifra unităților se poate alege din \(\{1,3,9\}\), deci în \(3\) moduri.
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se alege dintre celelalte \(3\) cifre (în \(3\) moduri), iar apoi cifra sutelor dintre cele \(2\) cifre rămase (în \(2\) moduri). Cifrele sunt nenule, deci orice alegere dă un număr de trei cifre.
Răspuns: se pot forma \(18\) numere.
Vezi și: Combinatorică, Calculator combinări, aranjamente, permutări.
Mijlocul \(M\) al segmentului \(AB\): \(x_M=\frac{1+5}{2}=3\), \(y_M=\frac{0+4}{2}=2\), deci \(M(3,2)\).
\(M\in d\) dacă și numai dacă coordonatele lui \(M\) verifică ecuația dreptei:
Răspuns: \(a=-3\).
Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Geometrie analitică.
În triunghiul dreptunghic \(ABC\), cateta \(AB\) se opune unghiului \(C\):
Din \(3AM=AC\) obținem \(AM=2\sqrt3\). Triunghiul \(BAM\) este dreptunghic în \(A\), deci, din teorema lui Pitagora:
Răspuns: \(BM=4\sqrt3\).
Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Teorema lui Pitagora.
1. Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\-a&1-a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.
Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)=1\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Calculăm produsul (linie cu coloană):
Scăzând element cu element:
pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).
Răspuns: \(A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=abA(1)\).
Scriem \(2A(2a)\) ca \(A(2a)+A(2a)\) și folosim relația de la b) de două ori:
• cu \(b=a\): \(A(2a)-A(a)\cdot A(a)=a\cdot a\cdot A(1)=a^2A(1)\);
• cu \(1\) și \(2a-1\) (suma lor este \(2a\)): \(A(2a)-A(1)\cdot A(2a-1)=1\cdot(2a-1)A(1)=(2a-1)A(1)\).
Adunând cele două egalități:
Ecuația devine \(\left(a^2+2a-1\right)A(1)=2A(1)\). Cum \(A(1)\) nu este matricea nulă, \(a^2+2a-1=2\), adică \(a^2+2a-3=0\Leftrightarrow(a+3)(a-1)=0\).
Răspuns: \(a\in\{-3,\,1\}\).
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x\circ y=\frac16(x-5)(y-5)+5\), cu elementul neutru \(e=11\).
Ecuația devine \(x^2-6x+10=10\Leftrightarrow x^2-6x=0\Leftrightarrow x(x-6)=0\), deci \(x=0\) sau \(x=6\).
Verificare: \(0\circ(-1)=\frac16\cdot(-5)\cdot(-6)+5=10\) și \(6\circ35=\frac16\cdot1\cdot30+5=10\). ✓
Răspuns: \(x\in\{0,\,6\}\).
Simetricul \(n'\) al lui \(n\) verifică \(n\circ n'=n'\circ n=e=11\):
Ca \(n'\) să fie natural par, \(n'-5=\frac{36}{n-5}\) trebuie să fie un întreg impar, deci \(n-5\) este un divizor al lui \(36\) pentru care câtul \(rac{36}{n-5}\) este impar: \(n-5\in\{\pm4,\pm12,\pm36\}\). Cum \(n\ge0\), avem \(n-5\ge-5\), deci \(n-5\in\{-4,4,12,36\}\):
• \(n-5=-4\Rightarrow n=1\), \(n'=5-9=-4\), care nu este natural — nu convine;
• \(n-5=4\Rightarrow n=9\), \(n'=5+9=14\) ✓;
• \(n-5=12\Rightarrow n=17\), \(n'=5+3=8\) ✓;
• \(n-5=36\Rightarrow n=41\), \(n'=5+1=6\) ✓.
Răspuns: \(n\in\{9,\,17,\,41\}\) (cu simetricele \(14\), \(8\), respectiv \(6\)).
Vezi și: Structuri algebrice.
1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac1x-1+4\ln(x+3)\).
Trinomul \(4x^2-x-3\) are rădăcinile \(1\) și \(-\frac34\), deci \(4x^2-x-3=(x-1)(4x+3)\) și
Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
\(4\ln(x+3)-f(x)=-\frac1x+1\). Pentru \(x\to1\), numărătorul și numitorul tind la \(0\) (caz \(\frac00\)), deci aplicăm regula lui l'Hospital:
Răspuns: limita este egală cu \(1\).
Vezi și: Limite de funcții, limite remarcabile, Calculator limite.
Din a), \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\) (pe \((0,+\infty)\) avem \(4x+3\gt0\) și \(x^2(x+3)\gt0\)). Pentru \(x\in(0,1]\), \(x-1\le0\), deci \(f'(x)\le0\) și \(f\) este descrescătoare pe \((0,1]\).
Pentru \(x\in(0,1]\) avem \(x^2\le x\) și \(x^2\in(0,1]\). Cum \(f\) este descrescătoare pe \((0,1]\), rezultă \(f(x)\le f\left(x^2\right)\):
Trecem termenii cu logaritm în dreapta și pe cei cu fracții în stânga:
pentru orice \(x\in(0,1]\).
Răspuns: \(f\) este descrescătoare pe \((0,1]\) și \(x^2\le x\), deci \(f(x)\le f\left(x^2\right)\), care este exact inegalitatea cerută.
Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme, Logaritmi.
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\left(x^2+4x\right)e^{-x}\).
\(f(x)e^x=\left(x^2+4x\right)e^{-x}e^{x}=x^2+4x\). Cu formula Leibniz–Newton:
Răspuns: integrala este egală cu \(27\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Pentru \(x\in[-1,0]\), \(\frac{f(x)}{x+4}=\frac{x(x+4)e^{-x}}{x+4}=xe^{-x}\). Integrăm prin părți, cu \(e^{-x}=\left(-e^{-x}\right)'\):
Răspuns: integrala este egală cu \(-1\).
Vezi și: Integrarea prin părți.
\(f\left(x^2\right)=\left(x^4+4x^2\right)e^{-x^2}=x^2\left(x^2+4\right)e^{-x^2}\), deci \(g(x)=\left(x^2+4\right)e^{-x^2}\), \(x\in(0,+\infty)\).
Dacă \(G\) este o primitivă a lui \(g\), atunci \(G'(x)=g(x)\), iar \(G\) este de două ori derivabilă:
Pentru \(x\in(0,+\infty)\): \(x\gt0\), \(x^2+3\gt0\), \(e^{-x^2}\gt0\), deci \(G''(x)\lt0\). Așadar orice primitivă \(G\) a lui \(g\) este concavă pe \((0,+\infty)\).
Răspuns: \(G''(x)=-2x\left(x^2+3\right)e^{-x^2}\le0\) pe \((0,+\infty)\), deci \(G\) este concavă.
Vezi și: Primitive, Aplicații ale derivatelor — convexitate, concavitate.
Subiectul I a cuprins o progresie aritmetică, compunerea funcțiilor, o ecuație exponențială, o problemă de numărare, geometrie analitică și un triunghi dreptunghic. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți și o lege de compoziție cu elemente simetrice, iar Subiectul al III-lea derivate, o limită cu regula lui l'Hospital, monotonie, integrale definite și concavitatea unei primitive.
Subiectul și baremul oficial au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării / Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare pe subiecte.edu.ro, în secțiunea simulării Bacalaureatului 2026 pentru clasa a XII-a.
Contează simularea Bac 2026 la nota finală? Nu. Simularea din martie 2026 este un exercițiu de pregătire și diagnostic pentru elevii de clasa a XII-a; nota obținută nu intră în media de la Bacalaureat. Ea arată însă foarte bine ce nivel ai înainte de examenul din iunie, pentru că structura și baremul sunt identice cu cele de la examen.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2026 M2? De obicei II.2 c): simetricul se scrie \(n'=5+\frac{36}{n-5}\), iar condiția „natural par” cere ca \(\frac{36}{n-5}\) să fie impar, adică \(n-5\in\{4,12,36\}\).
Bac 2026 M2 rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Simulare Bac 2025 M2 rezolvată · Simulare Bac 2024 M2 rezolvată
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.