Bacalaureat 2026 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Rația progresiei geometrice este

\[q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{10}{2}=5.\]

Atunci \(b_3\)​\(=b_2\cdot q\)​\(=b_1q^2\)​\(=2\cdot25\)​\(=50\).

Răspuns: \(b_3=50\)

Formule utile: Progresia geometrică

\(g(2)=2a-1\), deci

\[(f\circ g)(2)=f\big(g(2)\big)=f(2a-1)=2a-1-5=2a-6.\]

Din \(2a-6=2\) obținem \(2a=8\), adică \(a=4\).

Răspuns: \(a=4\)

Formule utile: Funcții — noțiuni introductive, Funcția de gradul I

Condiții de existență: \(x\gt0\), \(8-x\gt0\) și \(6+x\gt0\), deci \(x\in(0,8)\).

Folosim \(\log_8a+\log_8b\)​\(=\log_8(ab)\):

\[\log_8\left(8x-x^2\right)=\log_8(6+x)\iff8x-x^2=6+x\iff x^2-7x+6=0.\]

\((x-1)(x-6)=0\), deci \(x=1\) sau \(x=6\). Ambele valori aparțin intervalului \((0,8)\), deci convin.

Verificare: \(x=1\): \(\log_81+\log_87\)​\(=\log_87\) ✓; \(x=6\): \(\log_86+\log_82\)​\(=\log_812\) ✓.

Răspuns: \(S=\{1,6\}\)

Formule utile: Logaritmi, calculator logaritmi

Un număr este par dacă cifra unităților este pară. Cifra unităților se poate alege din \(\{2,4,6,8\}\), deci în \(4\) moduri.

Cifrele nu trebuie să fie distincte, așa că, pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte \(5\) moduri (oricare cifră din \(A\); niciuna nu este \(0\)).

Conform regulii produsului, se pot forma \(4\cdot5=20\) de numere.

Răspuns: \(20\) de numere

Formule utile: Combinatorică

Panta dreptei \(AC\):

\[m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{6-3}{4-1}=1.\]

Drepte paralele au pante egale, deci \(m_d=1\). Dreapta \(d\) trece prin \(B(2,2)\): \(y-2=1\cdot(x-2)\), adică \(y=x\).

Răspuns: \(d:\ y=x\)

Formule utile: Panta unei drepte, Drepte paralele și perpendiculare, calculator ecuația dreptei

Pentru \(x=\dfrac{\pi}{2}\) avem \(\dfrac{x}{3}\)​\(=\dfrac{\pi}{6}\) și \(\dfrac{2x}{3}\)​\(=\dfrac{\pi}{3}\). Din tabelul trigonometric:

\[\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3},\quad\sin\frac{\pi}{2}=1,\quad\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.\]

\[E\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\cdot\frac{1}{\sqrt3}+1-2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3+1-\sqrt3=1.\]

Răspuns: \(E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)​\(=1\)

Formule utile: Tabel trigonometric, calculator trigonometric

\(A(2)\)​\(=\begin{pmatrix}1&2&-4\\2&-1&-2\\1&-2&0\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(2)\big)=0+(-4)+16-4-4-0=4.\]

(Produsele pe diagonale: \(1\cdot(-1)\cdot0\)​\(=0\), \(2\cdot(-2)\cdot1\)​\(=-4\), \((-4)\cdot2\cdot(-2)\)​\(=16\); se scad \((-4)\cdot(-1)\cdot1\)​\(=4\), \(1\cdot(-2)\cdot(-2)\)​\(=4\), \(2\cdot2\cdot0=0\).)

Răspuns: \(\det\big(A(2)\big)\)​\(=4\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Pentru \(a=1\) sistemul devine

\[\begin{cases}x+y-2z=-1\\2x-y-z=1\\x-y=1\end{cases},\qquad\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix}1&1&-2\\2&-1&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}=0.\]

Minorul principal \(\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}\)​\(=-3\)​\(\ne0\), deci rangul matricei sistemului este \(2\). Determinantul caracteristic (obținut bordând minorul principal cu coloana termenilor liberi și ultima linie) este

\[\Delta_c=\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&-1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=0,\]

deci, conform teoremei lui Rouché, sistemul este compatibil, iar cum rangul este \(2\lt3\) necunoscute, este compatibil nedeterminat.

Concret: din a treia ecuație \(y=x-1\); înlocuind în prima, \(2x-1-2z=-1\), deci \(z=x\). Soluțiile sunt \((\alpha,\ \alpha-1,\ \alpha)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\) (se verifică și a doua ecuație: \(2\alpha-\alpha+1-\alpha\)​\(=1\)).

Răspuns: Sistemul are o infinitate de soluții: \((\alpha,\alpha-1,\alpha)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Formule utile: Sisteme de ecuații, calculator sisteme de ecuații

Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(a)\big)=0-a^2+4a^2-2a-a^2-0=2a^2-2a=2a(a-1).\]

Pentru \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\) avem \(\det\big(A(a)\big)\)​\(\ne0\), deci sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.

Calculăm determinanții lui Cramer pentru \(x\) și \(z\):

\[\Delta_x=\begin{vmatrix}-1&a&-2a\\a&-1&-a\\a&-a&0\end{vmatrix}=a^3-a^2=a^2(a-1),\qquad\Delta_z=\begin{vmatrix}1&a&-1\\2&-1&a\\1&-a&a\end{vmatrix}=a-1.\]

Atunci

\[x_0=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{a^2(a-1)}{2a(a-1)}=\frac{a}{2},\qquad z_0=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{a-1}{2a(a-1)}=\frac{1}{2a}.\]

(Se obține și \(y_0=-\frac12\); verificare în a treia ecuație: \(\frac a2+\frac a2\)​\(=a\) ✓.) Prin urmare \(4x_0z_0\)​\(=4\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{1}{2a}\)​\(=1\).

Răspuns: Soluția unică este \(\left(\frac a2,-\frac12,\frac1{2a}\right)\) și \(4x_0z_0=1\).

Formule utile: Sisteme de ecuații, Determinanți, Gabriel Cramer

\[f(0)=0^3+0^2+a\cdot0+8=0+0+0+8=8,\]

indiferent de valoarea lui \(a\).

Răspuns: \(f(0)=8\) pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).

Formule utile: Polinoame

Conform teoremei lui Bézout, \(f\) este divizibil cu \(X+2=X-(-2)\) dacă și numai dacă \(f(-2)=0\).

\[f(-2)=-8+4-2a+8=4-2a.\]

Din \(4-2a=0\) obținem \(a=2\).

Răspuns: \(a=2\)

Formule utile: Polinoame

Fie \(x_1,x_2,x_3\) rădăcinile lui \(f\), cu \(\dfrac{x_2}{x_1}\)​\(=2\), adică \(x_2=2x_1\). Relațiile lui Viète dau

\[x_1+x_2+x_3=-1,\qquad x_1x_2x_3=-8.\]

Din prima: \(x_3=-1-3x_1\). Înlocuind în a doua: \(x_1\cdot2x_1\cdot(-1-3x_1)\)​\(=-8\), adică \(3x_1^3+x_1^2-4=0\).

\[3x_1^3+x_1^2-4=(x_1-1)\left(3x_1^2+4x_1+4\right)=0.\]

Polinomul \(f\) are gradul \(3\) și coeficienți reali, deci are cel puțin o rădăcină reală. Dacă \(x_1\) nu ar fi real, atunci nici \(x_2=2x_1\) și nici \(x_3=-1-3x_1\) nu ar fi reale — imposibil. Deci \(x_1\) este real, iar cum \(3x_1^2+4x_1+4\) are \(\Delta=16-48\lt0\), rămâne \(x_1=1\).

Atunci \(f(1)=0\): \(1+1+a+8=0\), deci \(a=-10\).

Verificare: \(f\)​\(=X^3+X^2-10X+8\)​\(=(X-1)(X-2)(X+4)\), cu rădăcinile \(1,2,-4\), iar \(\dfrac{2}{1}=2\) ✓.

Răspuns: \(a=-10\)

Formule utile: Polinoame

Derivăm termen cu termen; pentru \((2x-3)e^{2x}\) folosim regula produsului și \(\left(e^{2x}\right)'\)​\(=2e^{2x}\):

\[f'(x)=4x-4-\left[2e^{2x}+(2x-3)\cdot2e^{2x}\right]=4x-4-e^{2x}(2+4x-6).\]

\[f'(x)=4(x-1)-4(x-1)e^{2x}=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right),\quad x\in\mathbb{R}.\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right)\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

\(f(0)\)​\(=-3-(-3)\cdot1\)​\(=0\), deci avem o nedeterminare \(\frac00\). Aplicăm regula lui l'Hôpital:

\[\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{4(x-1)\left(1-e^{2x}\right)}{2x}.\]

Folosind limita remarcabilă \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2x}\)​\(=1\), avem \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-e^{2x}}{2x}\)​\(=-1\), deci

\[\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=4\cdot(-1)\cdot(-1)=4.\]

Răspuns: \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}\)​\(=4\)

Formule utile: Limite remarcabile, Regula lui l'Hôpital, calculator limite

\(f'(x)=0\iff x=0\) sau \(x=1\). Studiem semnul lui \(f'(x)\)​\(=4(x-1)\left(1-e^{2x}\right)\):

• \(x\in(-\infty,0]\): \(x-1\lt0\), \(1-e^{2x}\ge0\), deci \(f'(x)\le0\) — \(f\) descrescătoare pe \((-\infty,0]\);
• \(x\in[0,1]\): \(x-1\le0\), \(1-e^{2x}\le0\), deci \(f'(x)\ge0\) — \(f\) crescătoare pe \([0,1]\);
• \(x\in(1,+\infty)\): \(x-1\gt0\), \(1-e^{2x}\lt0\), deci \(f'(x)\lt0\) — \(f\) strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\).

Pe \((-\infty,1]\), \(x=0\) este punct de minim, deci \(f(x)\ge f(0)=0\). Ecuația \(f(x)+n=0\) înseamnă \(f(x)=-n\lt0\), deci nu are soluții în \((-\infty,1]\).

Pe \((1,+\infty)\), \(f\) este continuă și strict descrescătoare, cu \(f(1)=e^2-5\gt0\) și \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)​\(=-\infty\) (termenul \(-(2x-3)e^{2x}\) domină). Deci \(f\big((1,+\infty)\big)\)​\(=\left(-\infty,e^2-5\right)\), interval care conține \(-n\), iar valoarea \(-n\) este luată o singură dată.

Răspuns: Ecuația \(f(x)+n=0\) are soluție unică (situată în \((1,+\infty)\)) pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\).

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, fișă monotonie și puncte de extrem

\(f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\)​\(=x-2\), deci

\[\int_2^4(x-2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\Bigg|_2^4=(8-8)-(2-4)=0-(-2)=2.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(2\).

Formule utile: Integrale definite, calculator integrale

Observăm că \(\left(x^2-4x+5\right)'\)​\(=2x-4\)​\(=2(x-2)\), deci \(f(x)\)​\(=\dfrac{\left(x^2-4x+5\right)'}{2\sqrt{x^2-4x+5}}\)​\(=\left(\sqrt{x^2-4x+5}\right)'\). Atunci

\[\int_1^3f(x)\,dx=\sqrt{x^2-4x+5}\,\Bigg|_1^3=\sqrt{9-12+5}-\sqrt{1-4+5}=\sqrt2-\sqrt2=0.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(0\).

Formule utile: Tabel de integrale nedefinite, Integrale definite

Volumul corpului de rotație este \(V\)​\(=\pi\displaystyle\int_2^3g^2(x)\,dx\). Cum \(x^2-4x+5\)​\(=(x-2)^2+1\):

\[V=\pi\int_2^3\frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+5}\,dx=\pi\int_2^3\left(1-\frac{1}{(x-2)^2+1}\right)dx.\]

\[V=\pi\big(x-\operatorname{arctg}(x-2)\big)\Bigg|_2^3=\pi\left(3-\frac{\pi}{4}-2+0\right)=\pi\left(1-\frac{\pi}{4}\right).\]

Din \(\pi\left(1-\dfrac{\pi}{m}\right)\)​\(=\pi\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)\) obținem \(m=4\).

Răspuns: \(m=4\)

Formule utile: Aplicații ale integralei definite (arii, volume), Tabel de integrale nedefinite