Bacalaureat 2022 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun $6$:

$$1+6\cdot (\frac{3}{6}+\frac{2}{6})=1+6\cdot \frac{5}{6}=1+5=6.$$

Răspuns: $1+6\cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=6$.

Vezi și: Fracții.

$$f(3)=3-2=1,$$

$$f(2)=2-2=0.$$

$$f(3)-f(2)=1-0=1.$$

Răspuns: $f(3)-f(2)=1$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Ridicăm la pătrat ambii membri (membrul drept este pozitiv):

$$3x+1=4\Rightarrow 3x=3\Rightarrow x=1.$$

Verificare: $\sqrt{3\cdot 1+1}=\sqrt{4}=2$, deci $x=1$ convine.

Răspuns: $x=1$.

Vezi și: Radicali, Fișă: ecuații iraționale.

Cazuri posibile: mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci sunt $9$ cazuri posibile.

Cazuri favorabile: cum $10$ este par, $10-n$ este par exact când $n$ este par: $n\in \{2,4,6,8\}$, adică $4$ cazuri favorabile.

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{9}.$$

Răspuns: $p={\displaystyle \frac{4}{9}}$.

Vezi și: Probabilități.

Pentru orice număr real $a$:

$$AB=\sqrt{(a-a{)}^2+(6-0{)}^2}=\sqrt{0+36}=\sqrt{6^2}=6.$$

Răspuns: $AB=6$, pentru orice $a\in \mathbb{R}$.

Vezi și: Distanța dintre două puncte.

$AC=2\cdot 5=10$. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor:

$${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{5\cdot 10}{2}=25.$$

Răspuns: ${\mathcal{A}}_{ABC}=25$.

Vezi și: Aria triunghiului.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}7& 3\\ 3& 1\end{array}\right|=7\cdot 1-3\cdot 3=7-9=-2.$$

Răspuns: $detA=-2$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$A-4I_2=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 3& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& -3\end{array}\right).$$

$$\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& -3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=3B.$$

Răspuns: $A-4I_2=3B$.

Vezi și: Matrice și determinanți.

Dăm factor comun $X$ la stânga: $X\cdot (I_2+B)=A$, unde

$$I_2+B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$$

$$det(I_2+B)=0-1=-1\ne 0,$$

deci $I_2+B$ este inversabilă și $X=A\cdot (I_2+B{)}^{-1}$. Inversa unei matrice $2\times 2$ se obține împărțind la determinant adjuncta:

$$(I_2+B{)}^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right).$$

$$X=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right).$$

Verificare:

$$X+XB=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 3& 1\end{array}\right)=A.$$

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

Vezi și: Matrice inversabilă, Calculator matrice inversă.

$$2\ast 3=2\cdot 3\cdot (2+3-4)=6\cdot 1=6.$$

Răspuns: $2\ast 3=6$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$1\ast x=1\cdot x\cdot (1+x-4)=x(x-3)=x^2-3x,\text{pentru orice număr real }x.$$

$$x^2-3x=4\iff x^2-3x-4=0\iff (x+1)(x-4)=0.$$

Răspuns: $x=-1$ sau $x=4$.

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

$$2^x\ast 2^x=2^x\cdot 2^x\cdot (2^x+2^x-4)=2^{2x}(2^x+2^x-4).$$

Cum $2^{2x}>0$, putem împărți ecuația prin $2^{2x}$ (folosind $2^{3x}=2^{2x}\cdot 2^x$):

$$2^x+2^x-4=2^x\iff 2^x=4=2^2\Rightarrow x=2.$$

Răspuns: $x=2$.

Vezi și: Ecuații exponențiale, Puteri — reguli de calcul.

$$f^{\prime }(x)=3x^2-9\cdot 2x=3x^2-18x=3x(x-6),x\in \mathbb{R}.$$

Răspuns: $f^{\prime }(x)=3x(x-6)$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ sau $x=6$. Semnul lui $f^{\prime }(x)=3x(x-6)$ (trinom de gradul al II-lea cu rădăcinile $0$ și $6$):

• pentru $x\in (-\mathrm{\infty },0]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0]$;
• pentru $x\in [0,6]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[0,6]$;
• pentru $x\in [6,+\mathrm{\infty })$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[6,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f$ este crescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0]$ și pe $[6,+\mathrm{\infty })$ și descrescătoare pe $[0,6]$.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

Calculăm separat numărătorul și numitorul. Cum $f^{\prime }(1)=3-18=-15$:

$$f^{\prime }(x)-f^{\prime }(1)=3x^2-18x+15=3(x^2-6x+5)=3(x-1)(x-5),$$

$$3f(x)-x{f}^{\prime }(x)=3x^3-27x^2+9-3x^3+18x^2=9-9x^2=-9(x-1)(x+1).$$

Simplificăm cu $x-1\ne 0$ (cazul $\frac{0}{0}$):

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{3(x-1)(x-5)}{-9(x-1)(x+1)}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x-5}{-3(x+1)}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}.$$

Răspuns: limita este egală cu ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Vezi și: Limite de funcții, Calculator limite.

${\displaystyle \frac{f(x)}{e^x}}=x-1$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_0^2(x-1)dx={(\frac{x^2}{2}-x)|}_0^2=(2-2)-0=0.$$

Răspuns: integrala este egală cu $0$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Integrăm prin părți, cu $(x-1)e^x=(x-1){\left(e^x\right)}^{\prime }$ și $(x-1{)}^{\prime }=1$:

$${\int }_0^1(x-1)e^{x}dx={(x-1)e^x|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=(0-(-1))-{e^x|}_0^1.$$

$$=1-(e-1)=2-e.$$

Răspuns: integrala este egală cu $2-e$.

Vezi și: Integrarea prin părți.

Produsul din numitor:

$$f(x)\cdot f(-x)=(x-1)e^x\cdot (-x-1)e^{-x}=-(x-1)(x+1)=1-x^2.$$

Atunci:

$${\int }_2^n\frac{x}{1-x^2}dx=-\frac{1}{2}{\int }_2^n\frac{{(x^2-1)}^{\prime }}{x^2-1}dx=-\frac{1}{2}{\ln |x^2-1||}_2^n.$$

$$=-\frac{1}{2}(\ln (n^2-1)-\ln 3)=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{n^2-1}.$$

Din $\frac{1}{2}\ln \frac{3}{n^2-1}=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{8}$ obținem $n^2-1=8$, adică $n^2=9$; cum $n$ este număr natural, $n>2$, rezultă $n=3$.

Răspuns: $n=3$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Logaritmi.