Subiectele oficiale de la Bacalaureat 2020, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii) din a doua sesiune, august–septembrie (sesiunea de toamnă), Varianta 3, rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Proba s-a susținut pe 25 august 2020; fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată și răspunsul final evidențiat.
Proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2. Subiectul din sesiunea iunie–iulie a aceluiași an îl găsești la Bac 2020 M2 rezolvat (iunie).
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(a_1=1\) |
| I.2 | \(n=2\) |
| I.3 | \(x=5\) |
| I.4 | \(4\) submulțimi |
| I.5 | \(a=0\) |
| I.6 | \(BC=10\) |
| II.1 | a) \(a^2b^2\); b) \(y=z=0\); c) \(Y=\begin{pmatrix}\pm2&0\\0&0\end{pmatrix}\) |
| II.2 | a) \(12\); b) \(x*0=0*x=x\); c) \(x=\frac12\) |
| III.1 | b) \(f''(x)=\frac{x+2}{(x+1)^2}\gt0\); c) \(f\) descrescătoare pe \((-1,0]\) |
| III.2 | a) \(\frac34\); b) \(\frac1{12}\); c) diferența este \(\le0\) |
Rația este diferența dintre doi termeni consecutivi:
Răspuns: \(a_1=1\).
Vezi și: Progresia aritmetică.
\(f(n)=n^2-1\), deci
Cum \(n\) este număr natural, convine doar \(n=2\). Verificare: \(f(2)=4-1=3\). ✓
Răspuns: \(n=2\).
Vezi și: Funcția de gradul al II-lea.
Ridicăm la pătrat ambii membri (și verificăm la final):
Verificare: \(\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\) și \(5-1=4\). ✓ Soluția convine.
Răspuns: \(x=5\).
Vezi și: Ecuații iraționale — fișă de lucru.
Numărul submulțimilor cu \(3\) elemente ale unei mulțimi cu \(4\) elemente este numărul de combinări de \(4\) luate câte \(3\):
Acestea sunt: \(\{1,2,3\}\), \(\{1,2,4\}\), \(\{1,3,4\}\), \(\{2,3,4\}\).
Răspuns: \(4\) submulțimi.
Vezi și: Combinatorică — combinări, Calculator combinări.
Bazele unui trapez sunt paralele, deci dreptele \(MN\) și \(PQ\) au aceeași pantă:
\(MN\parallel PQ\Leftrightarrow m_{MN}=m_{PQ}\Leftrightarrow 3-a=3\Leftrightarrow a=0\).
Pentru \(a=0\), \(Q(1,0)\): laturile \(NP\) (orizontală, \(y=3\)) și \(QM\) (verticală, \(x=1\)) nu sunt paralele, deci \(MNPQ\) este într-adevăr trapez.
Răspuns: \(a=0\).
Vezi și: Panta unei drepte, Drepte paralele și perpendiculare.
În triunghiul dreptunghic (ipotenuza \(BC\), deci unghiul drept în \(A\)), cosinusul unui unghi ascuțit este cateta alăturată supra ipotenuză:
Răspuns: \(BC=10\).
Vezi și: Triunghiul dreptunghic.
1. Se consideră matricea \(A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale.
pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).
Răspuns: \(\det(A\cdot A)=a^2b^2\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Fie \(X=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}\), cu \(x,y,z,t\in\mathbb{R}\). Calculăm cele două produse:
Din \(A\cdot X=X\cdot A\) obținem \(ay=by\) și \(bz=az\), adică
Cum \(a\neq b\), \(a-b\neq0\), deci \(y=z=0\). Așadar \(X=\begin{pmatrix}x&0\\0&t\end{pmatrix}\), cu \(x,t\) numere reale.
Răspuns: \(y=z=0\), deci \(X=\begin{pmatrix}x&0\\0&t\end{pmatrix}\).
Acum \(A=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}\). Dacă \(Y\cdot Y=A\), atunci \(Y\) comută cu \(A\):
Cum \(a=4\neq0=b\), din b) rezultă că \(Y=\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}\), cu \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). Atunci
de unde \(\alpha^2=4\) și \(\beta^2=0\), adică \(\alpha=\pm2\), \(\beta=0\). Ambele matrice verifică ecuația.
Răspuns: \(Y=\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}\) sau \(Y=\begin{pmatrix}-2&0\\0&0\end{pmatrix}\).
2. Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\).
pentru orice \(x\in M\). Deci \(x*0=0*x=x\): \(0\) este element neutru al legii.
Răspuns: \(x*0=0*x=x\), pentru orice \(x\in M\).
Pentru \(x\in M\), \(x^2+2x\ge0\), deci \(x^2+2x\in M\). Aplicăm definiția și observăm că \(x^2+2x+1=(x+1)^2\):
pentru că \(x+1\gt0\). Ecuația devine
Obținem \(x=\frac12\) sau \(x=-4\); cum \(x\in M=[0,+\infty)\), \(x=-4\) nu convine.
Verificare: \(x^2+2x=\frac54\) și \(\frac54*3=\frac54\cdot2+3\sqrt{\frac94}=\frac52+\frac92=7\). ✓
Răspuns: \(x=\dfrac12\).
Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.
1. Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\ln(x+1)\).
Folosim regula produsului \((uv)'=u'v+uv'\), cu \(\big(\ln(x+1)\big)'=\frac{1}{x+1}\):
Răspuns: \(f'(x)=\ln(x+1)+\dfrac{x}{x+1}\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
Derivăm încă o dată; \(\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\), deci \(\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}\):
Pentru \(x\gt-1\), \(x+2\gt1\gt0\) și \((x+1)^2\gt0\), deci \(f''(x)\gt0\). Așadar funcția \(f\) este convexă.
Răspuns: \(f''(x)=\dfrac{x+2}{(x+1)^2}\gt0\), deci \(f\) este convexă.
Vezi și: Aplicații ale derivatelor — convexitate.
Pentru \(x\in(-1,0]\): \(0\lt x+1\le1\), deci \(\ln(x+1)\le0\); de asemenea \(x\le0\) și \(x+1\gt0\), deci \(\frac{x}{x+1}\le0\). Din a), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \((-1,0]\).
Pentru \(x_1\le x_2\) din \((-1,0]\) avem deci \(f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right)\), adică
Funcția \(\ln\) este strict crescătoare, deci \(\left(x_1+1\right)^{x_1}\ge\left(x_2+1\right)^{x_2}\), adică \(g\left(x_1\right)\ge g\left(x_2\right)\).
Răspuns: \(\ln g(x)=f(x)\), iar \(f\) este descrescătoare pe \((-1,0]\), deci \(g\left(x_1\right)\ge g\left(x_2\right)\).
Vezi și: Logaritmi.
2. Se consideră funcția \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=1-x^3\).
Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac34\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Cum \(\left(1-x^3\right)'=-3x^2\), avem \(x^2=-\frac13\left(1-x^3\right)'\):
Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac1{12}\).
Vezi și: Primitive, Tabel de integrale nedefinite.
Facem diferența și dăm factor comun \(\left(1-x^3\right)^n\):
adică
Pentru \(x\in[0,1]\), \(x^3\ge0\) și \(1-x^3\ge0\), deci \(x^3\left(1-x^3\right)^n\ge0\), iar integrala unei funcții nenegative este nenegativă. Prin urmare diferența este \(\le0\), adică
pentru orice număr natural nenul \(n\).
Răspuns: diferența este \(-\displaystyle\int_0^1 x^3\left(1-x^3\right)^n dx\le0\), deci inegalitatea este adevărată.
Vezi și: Proprietățile integralei definite.
Subiectul I a cuprins o progresie aritmetică, o ecuație de gradul al II-lea în numere naturale, o ecuație irațională, combinări, un trapez în reperul cartezian (prin pante) și un triunghi dreptunghic. Subiectul al II-lea a avut matrice diagonale, matrice care comută și ecuația \(Y\cdot Y=A\), plus o lege de compoziție cu radicali, iar Subiectul al III-lea derivate, convexitate, monotonie și integrale definite.
Subiectul și baremul oficial (Varianta 3, proba din 25 august 2020) au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării / CNPEE pe subiecte.edu.ro, în arhiva sesiunii august–septembrie 2020.
Ce variantă s-a dat la Bac 2020 matematică M2 în sesiunea de toamnă? În sesiunea august–septembrie 2020 (proba din 25 august) s-a extras Varianta 3 la toate profilurile de matematică. Toți cei 18 itemi de la M_șt-nat sunt rezolvați mai sus.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la Bac 2020 M2 din august? De obicei II.1 c): trebuie observat că orice matrice \(Y\) cu \(Y\cdot Y=A\) comută cu \(A\), apoi folosit punctul b) ca să deducem că \(Y\) este diagonală.
Bac 2020 M2 rezolvat (iunie–iulie) · Bac 2021 M2 rezolvat (august) · Bac 2022 M2 rezolvat (august)
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.