Bacalaureat 2024 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

\(\lg100=\lg10^2=2\), iar \(\lg2+\lg5\)​\(=\lg(2\cdot5)\)​\(=\lg10\)​\(=1\). Deci

\[2\lg100+\lg2+\lg5=2\cdot2+1=5.\]

Răspuns: \(2\lg100+\lg2+\lg5\)​\(=5\)

Formule utile: Logaritmi

\(f(a)=a-6\), \(f(3a)=3a-6\). Ecuația: \(a-6+3a-6\)​\(=0\)​\(\iff4a\)​\(=12\)​\(\iff a\)​\(=3\).

Verificare: \(f(3)+f(9)=-3+3=0\) ✓.

Răspuns: \(a=3\)

Formule utile: Funcția de gradul I

\(5^{3x}\cdot5^2\)​\(=5^{3x+2}\), deci ecuația devine \(5^{3x+2}=5^x\). Funcția exponențială este injectivă, deci \(3x+2=x\), adică \(x=-1\).

Răspuns: \(x=-1\)

Formule utile: Ecuații exponențiale, Puteri

Numerele pare din \(A\) sunt \(2,4,6,8\) (4 numere). Alegem 2 dintre ele:

\[C_4^2=\frac{4!}{2!\cdot2!}=6.\]

Concret: \(\{2,4\},\)​\(\{2,6\},\)​\(\{2,8\},\)​\(\{4,6\},\)​\(\{4,8\},\)​\(\{6,8\}\).

Răspuns: 6 submulțimi

Formule utile: Combinatorică, calculator combinări

\(\overrightarrow{AC}\)​\(=(x_C-3)\vec i+(y_C-1)\vec j\) și \(\overrightarrow{OB}\)​\(=3\vec i\).

Egalând coeficienții: \(x_C-3\)​\(=3\)​\(\Rightarrow x_C\)​\(=6\) și \(y_C-1\)​\(=0\)​\(\Rightarrow y_C\)​\(=1\).

Răspuns: \(C(6,1)\)

Formule utile: Coordonatele vectorilor

Cum \(A=\dfrac{\pi}{2}\) și \(B=\dfrac{\pi}{4}\), rezultă \(C=\dfrac{\pi}{4}\), deci triunghiul este dreptunghic isoscel: \(AB=AC\).

\[\mathcal{A}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{AB^2}{2}=18\Rightarrow AB^2=36\Rightarrow AB=6.\]

Răspuns: \(AB=6\)

Formule utile: Aria triunghiului, Triunghiul dreptunghic

\(M(1)\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&1\\0&2&3\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(M(1)\big)=9+0+0-0-0-2=7.\]

Răspuns: \(\det\big(M(1)\big)\)​\(=7\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

\(M(2)\)​\(=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&4&2\\0&4&4\end{pmatrix}\), iar înmulțind linie cu coloană:

\[M(x)M(2)=\begin{pmatrix}2x&0&0\\0&8x+8&6x+4\\0&12x+8&8x+8\end{pmatrix},\qquad M(x-1)=\begin{pmatrix}x-1&0&0\\0&x+1&x-1\\0&2x-2&x+1\end{pmatrix}.\]

Din egalitatea elementelor \((1,1)\): \(2x\)​\(=x-1\)​\(\Rightarrow x\)​\(=-1\). Verificăm restul: \(8x+8=0=x+1\), \(6x+4=-2=x-1\), \(12x+8=-4=2x-2\) ✓.

Răspuns: \(x=-1\)

Dezvoltând după prima linie: \(\det\big(M(x)\big)\)​\(=x\left[(x+2)^2-2x^2\right]\)​\(=x\left(-x^2+4x+4\right)\). Deci

\[\det\big(M(n)\big)=n\left(-n^2+4n+4\right),\qquad\det\big(M(2n)\big)=2n\left(-4n^2+8n+4\right).\]

Inegalitatea: \(2n(-n^2+4n+4)\)​\(\le2n(-4n^2+8n+4)\)​\(\iff-2n^3+8n^2\)​\(\le-8n^3+16n^2\)​\(\iff6n^3-8n^2\)​\(\le0\)​\(\iff2n^2(3n-4)\)​\(\le0\).

Pentru \(n\) natural: fie \(n=0\), fie \(3n-4\le0\), adică \(n\le\frac43\), deci \(n=1\). Verificare pentru \(n=1\): \(2\cdot7\)​\(=14\)​\(\le\det\big(M(2)\big)\)​\(=16\) ✓.

Răspuns: \(n\in\{0,1\}\)

Formule utile: Determinanți, Inecuații

\[f(2)=2^3-2\cdot2^2-a\cdot2+2a=8-8-2a+2a=0.\]

Răspuns: \(f(2)=0\) pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).

Formule utile: Polinoame

Pentru \(a=1\): \(f=X^3-2X^2-X+2\). Conform teoremei lui Bézout, \(f\) se divide cu \(X+1\) dacă și numai dacă \(f(-1)=0\):

\[f(-1)=(-1)^3-2(-1)^2-(-1)+2=-1-2+1+2=0.\]

(De altfel, \(f=(X-2)(X-1)(X+1)\).)

Răspuns: \(f(-1)=0\), deci \(X+1\) divide \(f\).

Formule utile: Polinoame (teorema lui Bézout)

Grupăm termenii: \(f\)​\(=X^2(X-2)-a(X-2)\)​\(=(X-2)(X^2-a)\).

Pentru \(a\gt0\) rădăcinile sunt \(x_1=2\), \(x_2=\sqrt a\), \(x_3=-\sqrt a\), deci \(|x_1|+|x_2|+|x_3|\)​\(=2+2\sqrt a\).

\(2+2\sqrt a\)​\(=8\)​\(\iff\sqrt a\)​\(=3\)​\(\iff a\)​\(=9\).

Răspuns: \(a=9\)

Formule utile: Polinoame

Cu regula produsului:

\[f'(x)=e^x(2x-4)+2e^x+2x-2=e^x(2x-2)+2(x-1)=2(x-1)e^x+2(x-1)=2(x-1)\left(e^x+1\right).\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=2(x-1)(e^x+1)\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

\(f(0)\)​\(=1\cdot(-4)+4\)​\(=0\) și \(1-e^0=0\): cazul \(\frac00\). Aplicăm regula lui l'Hôpital:

\[\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-e^x}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{-e^x}=\lim_{x\to0}\frac{2(x-1)(e^x+1)}{-e^x}=\frac{2\cdot(-1)\cdot2}{-1}=4.\]

Răspuns: Limita este \(4\).

Formule utile: Limite de funcții, calculator limite

\(f'(x)=0\iff x=1\) (căci \(e^x+1\gt0\)). Pe \((-\infty,1)\), \(f'\lt0\): \(f\) strict descrescătoare; pe \((1,+\infty)\), \(f'\gt0\): \(f\) strict crescătoare.

Valori: \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\)​\(=+\infty\) (deoarece \(e^x(2x-4)\to0\) și \(x^2-2x+4\to+\infty\)), \(f(1)=-2e+3\lt0\) (căci \(e\gt\frac32\)), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)​\(=+\infty\).

Funcția este continuă și strict monotonă pe fiecare interval, iar valorile ei trec de la \(+\infty\) la \(3-2e\lt0\) și apoi la \(+\infty\). Deci ecuația are exact o soluție în \((-\infty,1)\) și exact una în \((1,+\infty)\). (Una dintre ele este chiar \(x=0\), căci \(f(0)=0\); cealaltă este aproximativ \(1{,}68\).)

Răspuns: Ecuația \(f(x)=0\) are exact două soluții.

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

\(f(x)(3x^2+1)=4x\), deci

\[\int_3^4 4x\,dx=2x^2\Big|_3^4=32-18=14.\]

Răspuns: \(14\)

Formule utile: Integrale definite

\((3x^2+1)'=6x\), deci \(\dfrac{4x}{3x^2+1}\)​\(=\dfrac23\cdot\dfrac{(3x^2+1)'}{3x^2+1}\):

\[\int_0^1\frac{4x}{3x^2+1}\,dx=\frac23\ln\left(3x^2+1\right)\Big|_0^1=\frac23\ln4-\frac23\ln1=\frac43\ln2.\]

Răspuns: \(\dfrac43\ln2\)

Formule utile: Tabel de integrale, calculator integrale

\(g(x)\)​\(=\dfrac{4\ln x\,(3x^2+1)}{4x}\)​\(=\left(3x+\dfrac1x\right)\ln x\)​\(\ge0\) pe \([1,e]\), deci

\[\mathcal{A}=\int_1^e3x\ln x\,dx+\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx.\]

Prima integrală, prin părți (\(u=\ln x\), \(v'=3x\)): \(\displaystyle\int_1^e3x\ln x\,dx\)​\(=3\left(\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}\right)\Bigg|_1^e\)​\(=3\left(\frac{e^2}{4}+\frac14\right)\)​\(=\frac{3e^2}{4}+\frac34\).

A doua: \(\displaystyle\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx\)​\(=\frac{\ln^2x}{2}\Bigg|_1^e\)​\(=\frac12\).

\[\mathcal{A}=\frac{3e^2}{4}+\frac34+\frac12=\frac{3e^2+5}{4}.\]

Răspuns: \(\mathcal{A}\)​\(=\dfrac{3e^2+5}{4}\)

Formule utile: Aplicații ale integralei definite (arii), Primitive (integrare prin părți)