Simulare Bac 2026 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat

Calculăm întâi paranteza, apoi împărțirea (înmulțire cu inversul) și adunarea:

$$3+\frac{3}{5}=\frac{18}{5},$$

$$\frac{18}{5}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{10}=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $1$.

Vezi și: Fracții — operații.

$$f(0)=6,$$

$$f(1)=9,$$

$$f(a)=3a+6.$$

Egalitatea devine $9+3a+6=12$, adică $3a=-3$, deci $a=-1$.

Răspuns: $a=-1$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Condiții de existență: $4x-x^2\ge 0$ și $3x\ge 0$, adică $x\in [0,4]$.

Ridicăm la pătrat (ambii membri sunt pozitivi):

$$4x-x^2=3x\Rightarrow x^2-x=0\Rightarrow x(x-1)=0.$$

Obținem $x=0$ sau $x=1$, ambele în $[0,4]$. Verificare: $\sqrt{0}=\sqrt{0}$ și $\sqrt{3}=\sqrt{3}$. ✓

Răspuns: $x\in \{0,1\}$.

Vezi și: Radicali.

Cazuri posibile: mulțimea $A$ are $27$ de elemente.

Cazuri favorabile: pătratele perfecte din $A$ sunt $0,1,4,9,16,25$: $6$ numere.

$$p=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}.$$

Răspuns: $p={\displaystyle \frac{2}{9}}$.

Vezi și: Probabilități.

Calculăm lungimile laturilor cu formula distanței dintre două puncte:

$$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5,$$

$$AC=\sqrt{4^2+3^2}=5,$$

$$BC=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}.$$

Avem $AB=AC$, iar $B{C}^2=50=25+25=A{B}^2+A{C}^2$, deci, conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic în $A$.

Răspuns: $AB=AC=5$ și $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel.

Vezi și: Distanța dintre două puncte, Teorema lui Pitagora.

Din tabelul trigonometric: $\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$$2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}-3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2}=0.$$

Răspuns: expresia este egală cu $0$.

Vezi și: Tabel trigonometric.

$$M(4)=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 2\end{array}\right),$$

$$det(M(4))=8\cdot 2-4\cdot 4=16-16=0.$$

Răspuns: $det(M(4))=0$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$M(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right),$$

$$M(1)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{cc}4+1& 2-1\\ 2-1& 1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

$$M(1)\cdot M(1)-M(1)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=3I_2.$$

Răspuns: $M(1)\cdot M(1)-M(1)=3I_2$.

$det(M(1))=-2-1=-3\ne 0$, deci $M(1)$ este inversabilă:

$$(M(1){)}^{-1}=\frac{1}{-3}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 2\end{array}\right),$$

$$3(M(1){)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right).$$

$$M(n)-3(M(1){)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2n-1& n-1\\ n-1& n\end{array}\right).$$

$$N=(2n-1)n-(n-1{)}^2=2n^2-n-n^2+2n-1=n^2+n-1=n(n+1)-1.$$

$n$ și $n+1$ sunt numere consecutive, deci unul dintre ele este par și $n(n+1)$ este par; atunci $N$ este impar. În plus, pentru $n\ge 1$, $n(n+1)\ge 2$, deci $N\ge 1$ este număr natural.

Răspuns: $N=n(n+1)-1$, număr natural impar pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vezi și: Matrice inversabilă.

$$2\ast 5=2\cdot 5-3\cdot 2-3\cdot 5+12=10-6-15+12=1.$$

Răspuns: $2\ast 5=1$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Verificăm $x\ast 4=x$ și $4\ast x=x$ pentru orice număr real $x$:

$$x\ast 4=4x-3x-12+12=x,$$

$$4\ast x=4x-12-3x+12=x.$$

Răspuns: $x\ast 4=4\ast x=x$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $e=4$ este elementul neutru.

Pentru orice număr real $t$, $t\ast t=t^2-6t+12$. Atunci egalitatea devine

$$(a-x{)}^2-6(a-x)+12=(a+x{)}^2-6(a+x)+12.$$

Cum $(a+x{)}^2-(a-x{)}^2=4ax$ și $-6(a+x)+6(a-x)=-12x$, obținem

$$4ax-12x=0\iff 4x(a-3)=0,$$

pentru orice număr real $x$. Pentru $x\ne 0$ rezultă $a-3=0$, deci $a=3$.

Răspuns: $a=3$.

Folosim ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot x^3-(x^2-3)\cdot 3x^2}{{\left(x^3\right)}^2}=\frac{x^2(2x^2-3x^2+9)}{x^6}=\frac{9-x^2}{x^4},$$

pentru $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{9-x^2}{x^4}}$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$$f(1)=\frac{1-3}{1}=-2,$$

$$f^{\prime }(1)=\frac{9-1}{1}=8.$$

Ecuația tangentei: $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y+2=8(x-1)$.

Răspuns: $y=8x-10$.

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

$f^{\prime }(x)=0\iff x=3$ (pe $(0,+\mathrm{\infty })$), iar semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $9-x^2$:

• pentru $x\in (0,3]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(0,3]$;

• pentru $x\in [3,+\mathrm{\infty })$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[3,+\mathrm{\infty })$.

Pentru $x\in [1,2]$: $f$ este crescătoare pe $[1,2]$, deci $f(x)\ge f(1)=-2$; iar $2x\in [2,4]$, unde $x=3$ este punct de maxim, deci $f(2x)\le f(3)=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$.

$$9f(2x)\le 9\cdot \frac{2}{9}=2,$$

$$-f(x)\le 2.$$

Adunând cele două inegalități: $9f(2x)-f(x)\le 4$, pentru orice $x\in [1,2]$.

Răspuns: $9f(2x)\le 2$ și $-f(x)\le 2$, deci $9f(2x)-f(x)\le 4$ pe $[1,2]$.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

$f(x)-\frac{2}{\sqrt{x+3}}=x+2$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_0^4(x+2)dx={(\frac{x^2}{2}+2x)|}_0^4=8+8=16.$$

Răspuns: integrala este egală cu $16$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

$f(x)-x-2=\frac{2}{\sqrt{x+3}}$, iar ${\left(\sqrt{x+3}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$, deci o primitivă este $4\sqrt{x+3}$:

$${\int }_1^6\frac{2}{\sqrt{x+3}}dx={4\sqrt{x+3}|}_1^6=4\cdot 3-4\cdot 2=12-8=4.$$

Răspuns: integrala este egală cu $4$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.

Pe $[-2,1]$ avem $x+2\ge 0$, deci $f(x)>0$. Despărțim integrala în două:

$${\int }_{-2}^1{f}^{\prime }(x)dx+{\int }_{-2}^1\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx={f(x)|}_{-2}^1+{\ln f(x)|}_{-2}^1.$$

Cu $f(1)=1+2+\frac{2}{2}=4$ și $f(-2)=0+\frac{2}{1}=2$:

$$(4-2)+(\ln 4-\ln 2)=2+\ln 2.$$

Cum $\ln \left(2e^a\right)=\ln 2+a$, egalitatea devine $2+\ln 2=a+\ln 2$, deci $a=2$.

Răspuns: $a=2$.

Vezi și: Primitive, Logaritmi.