Subiectul I.1 (5p · numere complexe)
Se consideră numerele complexe \(z_1=2-3i\) și \(z_2=1-2i\). Arătați că \(iz_1+z_2=4\).
Vezi rezolvarea
Înmulțim \(z_1\) cu \(i\) și folosim \(i^2=-1\):
Răspuns: \(iz_1+z_2=4\).
Vezi și: Numere complexe.
Bacalaureat 2026 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate, sesiunea august–septembrie
Subiectele oficiale de la Bacalaureat 2026, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii) din a doua sesiune (sesiunea august–septembrie, de toamnă), proba scrisă din 11 august 2026, Varianta 4, rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată și răspunsul final evidențiat.
Proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2. Subiectul din prima sesiune îl găsești la Bac 2026 M2, sesiunea iunie–iulie.
Răspunsuri pe scurt
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(iz_1+z_2=4\) |
| I.2 | \(a=2\) |
| I.3 | \(x\in\{1,\,2\}\) |
| I.4 | \(p=\frac25\) |
| I.5 | \(CM=10\) |
| I.6 | \(R=3\sqrt3\) |
| II.1 | a) \(1\); b) \(\det A(x,y)=(x-y)^2\ne0\); c) \(x=0,\ y=1\) |
| II.2 | a) \(6\); b) \(x=-1\); c) \((1,2)\), \((4,1)\), \((5,0)\) |
| III.1 | b) \(y=1\); c) \(-3\le f(x)\le-1\) pe \([-4,0]\) |
| III.2 | a) \(\frac{26}{3}\); b) \(\frac12\); c) \(m=8\) |
Subiectul I (30 de puncte)
Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a+2)=a+f(a)\).
Vezi rezolvarea
Calculăm cele două valori ale funcției:
Ecuația devine \(a+5=a+a+3\), adică \(a+5=2a+3\), de unde \(a=2\).
Verificare: \(f(4)=7\) și \(2+f(2)=2+5=7\). ✓
Răspuns: \(a=2\).
Vezi și: Funcția de gradul I.
Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{2x}=\sqrt{x^2-x+2}\).
Vezi rezolvarea
Condiții de existență: \(2x\ge0\), adică \(x\ge0\); expresia \(x^2-x+2\) este pozitivă pentru orice \(x\) real (discriminantul este \(1-8=-7\lt0\)).
Ridicăm la pătrat (ambii membri sunt nenegativi):
Obținem \(x=1\) sau \(x=2\); ambele verifică \(x\ge0\), deci convin. Verificare: \(\sqrt2=\sqrt{1-1+2}\) și \(\sqrt4=\sqrt{4-2+2}\). ✓
Răspuns: \(x\in\{1,\,2\}\).
Vezi și: Radicali, Ecuația de gradul al II-lea.
Subiectul I.4 (5p · probabilitate)
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea \(3n^2\gt100\).
Vezi rezolvarea
Numerele naturale de o cifră sunt \(0,1,2,\dots,9\), deci sunt \(10\) cazuri posibile.
\(3n^2\gt100\Leftrightarrow n^2\gt\frac{100}{3}\approx33{,}3\). Cum \(5^2=25\) și \(6^2=36\), inegalitatea este verificată de \(n\in\{6,7,8,9\}\): \(4\) cazuri favorabile.
Răspuns: \(p=\frac25\).
Vezi și: Probabilități.
Subiectul I.5 (5p · geometrie analitică)
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(6,0)\), \(B(8,2)\) și \(C(1,9)\). Determinați distanța dintre punctul \(C\) și mijlocul segmentului \(AB\).
Vezi rezolvarea
Mijlocul \(M\) al segmentului \(AB\): \(x_M=\frac{6+8}{2}=7\), \(y_M=\frac{0+2}{2}=1\), deci \(M(7,1)\).
Răspuns: \(CM=10\).
Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.
Subiectul I.6 (5p · teorema sinusurilor)
Se consideră triunghiul \(ABC\), cu \(AC=9\) și \(B=\frac{\pi}{3}\). Arătați că raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) este egală cu \(3\sqrt3\).
Vezi rezolvarea
Din teorema sinusurilor, \(\frac{AC}{\sin B}=2R\), unde \(R\) este raza cercului circumscris. Cum \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\):
Răspuns: \(R=3\sqrt3\).
Vezi și: Teorema sinusurilor.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea \(A(x,y)=\begin{pmatrix}x+y&xy\\4&x+y\end{pmatrix}\), unde \(x\) și \(y\) sunt numere reale.
Subiectul II.1 a) (5p · determinant)
Arătați că \(\det\big(A(1,2)\big)=1\).
Vezi rezolvarea
Răspuns: \(\det\big(A(1,2)\big)=1\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Subiectul II.1 b) (5p · matrice inversabilă)
Arătați că matricea \(A(x,y)\) este inversabilă, pentru orice numere reale distincte \(x\) și \(y\).
Vezi rezolvarea
Dacă \(x\ne y\), atunci \(x-y\ne0\), deci \(\det\big(A(x,y)\big)=(x-y)^2\ne0\). O matrice pătratică cu determinantul nenul este inversabilă.
Răspuns: \(\det\big(A(x,y)\big)=(x-y)^2\ne0\) pentru \(x\ne y\), deci \(A(x,y)\) este inversabilă.
Vezi și: Matrice inversabilă.
Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)
Determinați numerele reale \(x\) și \(y\) pentru care \(A(x,2)\cdot A(x,2)=4A(y,0)\).
Vezi rezolvarea
Înmulțim (linie cu coloană):
Egalăm elementele corespunzătoare:
• din linia 2, coloana 1: \(8x+16=16\Rightarrow x=0\); atunci și \(4x^2+8x=0\) ✓;
• de pe diagonală: \(x^2+12x+4=4y\Rightarrow 4=4y\Rightarrow y=1\).
Răspuns: \(x=0\) și \(y=1\).
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=5-\dfrac{x+y}{2}+xy\).
Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)
Arătați că \(1*3=6\).
Subiectul II.2 b) (5p · ecuație cu lege de compoziție)
Determinați numărul real \(x\) pentru care \(x*5=2x\).
Vezi rezolvarea
Ecuația devine \(\frac{9x+5}{2}=2x\Rightarrow 9x+5=4x\Rightarrow 5x=-5\Rightarrow x=-1\).
Verificare: \((-1)*5=5-2-5=-2=2\cdot(-1)\). ✓
Răspuns: \(x=-1\).
Subiectul II.2 c) (5p · ecuație în numere naturale)
Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale pentru care \((m-n)*(m+n)=m^2\).
Vezi rezolvarea
Suma celor doi termeni este \((m-n)+(m+n)=2m\), iar produsul lor este \(m^2-n^2\):
Ecuația devine \(5-m+m^2-n^2=m^2\), adică \(m+n^2=5\).
Cum \(m\) și \(n\) sunt naturale, \(n^2\le5\), deci \(n\in\{0,1,2\}\):
• \(n=0\Rightarrow m=5\); • \(n=1\Rightarrow m=4\); • \(n=2\Rightarrow m=1\).
Răspuns: \((m,n)\in\{(1,2),\,(4,1),\,(5,0)\}\).
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2}\).
Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)
Arătați că \(f'(x)=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{\left(x^2+2\right)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\).
Vezi rezolvarea
Folosim \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\):
Numărătorul: \(2x^3+8x^2+4x+16-2x^3-16x^2+4x=-8x^2+8x+16=-8\left(x^2-x-2\right)=-8(x+1)(x-2)\). Deci
Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{\left(x^2+2\right)^2}\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
Subiectul III.1 b) (5p · asimptotă orizontală)
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).
Vezi rezolvarea
Dăm factor comun forțat \(x^2\) la numărător și la numitor:
Limita este finită, deci dreapta de ecuație \(y=1\) este asimptota orizontală spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\).
Răspuns: \(y=1\).
Vezi și: Asimptote orizontale, Calculator asimptote.
Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)
Demonstrați că \(-2\le f(x)-f(y)\le2\), pentru orice \(x,\,y\in[-4,0]\).
Vezi rezolvarea
Din a), \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\) sau \(x=2\). Pe \([-4,0]\) avem \(2-x\gt0\), deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \(x+1\):
• pentru \(x\in[-4,-1]\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \([-4,-1]\);
• pentru \(x\in[-1,0]\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \([-1,0]\).
Prin urmare minimul lui \(f\) pe \([-4,0]\) este \(-3\), iar maximul este \(-1\): \(-3\le f(x)\le-1\) și \(-3\le f(y)\le-1\), pentru orice \(x,\,y\in[-4,0]\). Scăzând (\(-1\le -f(y)\le 3\)) obținem
Răspuns: \(-3\le f\le-1\) pe \([-4,0]\), deci \(-2\le f(x)-f(y)\le2\).
2. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5x^2-3+\ln x\).
Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_1^2\big(f(x)-\ln x\big)\,dx=\frac{26}{3}\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\in[1,2]\), \(f(x)-\ln x=5x^2-3\). Cu formula Leibniz–Newton:
Răspuns: integrala este egală cu \(\frac{26}{3}\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Subiectul III.2 b) (5p · integrală de forma u·u')
Arătați că \(\displaystyle\int_1^e\frac1x\cdot\big(f(x)-5x^2+3\big)\,dx=\frac12\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\in[1,e]\), \(f(x)-5x^2+3=\ln x\). Cum \((\ln x)'=\frac1x\):
Răspuns: integrala este egală cu \(\frac12\).
Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.
Subiectul III.2 c) (5p · aria unei suprafețe plane)
Determinați numărul real \(m\) pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f(x)+3}{\sqrt x}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=4\) este egală cu \(58+m\ln2\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\in[1,4]\), \(\ln x\ge0\), deci \(g(x)\gt0\) și aria este \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_1^4 g(x)\,dx\).
Primul termen:
Al doilea termen, prin părți, cu \(\frac{1}{\sqrt x}=\left(2\sqrt x\right)'\):
Din \(58+m\ln2=58+8\ln2\) obținem \(m=8\).
Răspuns: \(m=8\).
Vezi și: Aplicații ale integralei definite — arii, volume, Integrarea prin părți.
Ce s-a cerut la Bac 2026 M2, sesiunea de toamnă
Subiectul I a cuprins numere complexe, funcția de gradul I, o ecuație cu radicali, o probabilitate, geometrie analitică și teorema sinusurilor. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți și o lege de compoziție cu o ecuație în numere naturale, iar Subiectul al III-lea derivate, asimptote, monotonie, integrale definite și o arie calculată cu integrarea prin părți.
Varianta 4 este subiectul principal al probei; pentru situațiile speciale, Ministerul a folosit la profilul științele naturii și o variantă de rezervă (Varianta 5). Subiectul și baremul oficial (Varianta 4, proba din 11 august 2026) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE pe subiecte.edu.ro, în arhiva sesiunii august–septembrie 2026.
Întrebări frecvente
Ce variantă s-a dat la Bac 2026 matematică M2 în sesiunea de toamnă? La proba scrisă de matematică M_șt-nat din 11 august 2026 (a doua sesiune a Bacalaureatului) s-a dat Varianta 4, varianta principală. Ministerul a folosit la științele naturii și o variantă de rezervă (Varianta 5), destinată situațiilor speciale prevăzute de procedura de examen, deci o parte dintre candidați au putut primi acel subiect. Toți cei 18 itemi ai Variantei 4 sunt rezolvați mai sus.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la Bac 2026 M2 din august? De obicei III.2 c): funcția \(g\) se scrie ca \(5x\sqrt x+\frac{\ln x}{\sqrt x}\), iar al doilea termen se integrează prin părți, observând că \(\frac{1}{\sqrt x}=\left(2\sqrt x\right)'\).
Alte subiecte
Bac 2026 M2 rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Bac 2025 M2 rezolvat — sesiunea august · Bac 2025 M2 rezolvat · Bac 2024 M2 rezolvat
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.