Integrale la Bac: subiectele III.2 rezolvate (M1 și M2)

La Bacalaureatul de matematică, integralele apar la Subiectul al III-lea, problema 2 (15 puncte, cerințele a, b, c), atât la M1 (mate-info), cât și la M2 (științele naturii). Aici găsești toate cele 126 cerințe din 42 variante oficiale rezolvate pe site (2020–2027, sesiunile iunie–iulie și august–septembrie, simulări și modele), cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas. De regulă, a) este o integrală directă, b) cere o schimbare de variabilă sau integrarea prin părți, iar c) o arie, un volum, o limită sau o inegalitate cu integrale.

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

Formula Leibniz–Newton: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), unde \(F\) este o primitivă a lui \(f\). Vezi integrale definite și tabelul de integrale.
Primitive: \(F\) este primitivă a lui \(f\) dacă \(F\) este derivabilă și \(F'(x)=f(x)\) pentru orice \(x\) — primitive.
Integrarea prin părți (integrarea prin părți): \[\int_a^b f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)\Big|_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)\,dx\]
Schimbarea de variabilă (schimbarea de variabilă): \[\int_a^b f\big(u(x)\big)u'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\,dt\]
Aria și volumul: aria suprafeței dintre graficul lui \(f\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=a\), \(x=b\) este \(\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx\); volumul corpului obținut prin rotația graficului în jurul axei \(Ox\) este \(V=\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx\) — aplicații ale integralei definite.

Pentru verificarea unui rezultat poți folosi calculatorul de integrale.

Tipuri de cerințe la Subiectul III.2

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Aria unei suprafețe plane	6	M2 2026 aug. c), M2 2026 iun. c), M1 2025 iun. c), M2 2024 aug. c), M1 2024 iun. c), M1 2023 aug. c)
Volumul unui corp de rotație	2	M1 2026 aug. c), M2 2025 aug. c)
Limite cu integrale / șiruri de integrale	8	M1 2026 iun. c), M1 2025 aug. c), M1 2024 aug. c), M1 2023 iun. c), M1 2022 iun. c), M1 2021 iun. c), M1 2020 aug. c), M1 2020 iun. c)
Primitive	11	M2 2026 sim. c), M1 2026 sim. c), M2 2023 iun. c), M2 2023 sim. c), M2 2022 sim. c), M1 2022 sim. b), M1 2021 aug. b), M1 2021 aug. c), M2 2021 iun. c), M1 2021 sim. b), M1 2021 sim. c)
Inegalități și ecuații cu integrale	12	M2 model 2027 c), M2 2025 iun. c), M2 2025 sim. c), M2 2024 iun. c), M1 2024 sim. c), M1 2023 sim. c), M1 2022 aug. c), M2 2022 aug. c), M2 2022 iun. c), M1 2022 sim. c), M2 2021 aug. c), M2 2020 aug. c)
Calculul unei integrale definite	87	în aproape fiecare variantă (vezi lista de mai jos)

Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.

Bac M1 (mate-info) — Subiectul III.2

Model Bac 2027 M1 (oficial)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x+1\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\big(f(x)-x\big)\,dx\)\(=6\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\big(f(x)-x^3\big)e^{-x}\,dx\)\(=2-\frac3e\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru fiecare număr natural nenul \(n\) se consideră numărul \(I_n\)\(=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{f(x)+x^2}\,dx\). Demonstrați că \(I_n-I_{n+4}\)\(=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\), pentru orice număr natural nenul \(n\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_2^4f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\,dx\)\(=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^3f(x)\,dx\)\(=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real nenul \(m\) pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției \(g:[2,3]\to\mathbb{R}\), \(g(x)=f(x)\), în jurul axei \(Ox\) este egal cu \(\pi\left(1-\dfrac{\pi}{m}\right)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2-4}{x\ln x}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_2^3 f(x)\,x\ln x\,dx\)\(=\frac73\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_e^{e^2}\frac{f(x)}{x^2-4}\,dx\)\(=\ln2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{1}{F^2(x)}\int_2^x(t-2)F(t)\,dt\)\(=\frac{\ln2}{4}\), unde \(F:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\) este primitiva funcției \(f\) pentru care \(F(2)=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M1

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\left(4x+\dfrac{6}{x^2}\right)\ln x\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_2^3\frac{f(x)}{\ln x}\,dx\)\(=11\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^ex\big(f(x)-4x\ln x\big)dx\)\(=3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați primitiva \(F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) a funcției \(f\), pentru care axa \(Ox\) este tangentă la graficul funcției \(F\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=3x^2-1+e^{2x}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^3\left(f(x)-e^{2x}\right)dx\)\(=24\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^14x\left(f(x)-3x^2+1\right)dx\)\(=e^2+1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\int_0^x\frac{f(t)}{t+1}\,dt\)\(=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2}{(x+1)^3}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^3 f(x)(x+1)^3\,dx\)\(=9\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\sqrt{f(x)(x+1)}\,dx\)\(=1-\ln2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)\)\(=\dfrac{f(e^x)}{e^x}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=-1\) și \(x=1\) este egală cu \(\dfrac{e-1}{2(e+1)}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M1

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2}{2x^2+1}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_{-1}^2\left(2x^2+1\right)f(x)\,dx\)\(=3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\sqrt{f(x)}\,dx\)\(=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru fiecare număr natural nenul \(n\) se consideră numărul \(I_n\)\(=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{f\left(\sqrt{e^x}\right)}\,dx\). Arătați că \((n+1)I_n-I_{n+1}\)\(=\dfrac{2(n+1)}{n+2}+\dfrac1e\), pentru orice număr natural nenul \(n\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^4+6x^2+1\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(f(x)-6x^2\right)dx\)\(=\frac{12}{5}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_{1}^{6}\frac{x^3}{f(x)-1}\,dx\)\(=\frac{\ln6}{2}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^3}\int_{0}^{x}\big(f(2t)-f(t)\big)dt\right)\)\(=6\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{4x}{3x^2+1}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_3^4 f(x)\left(3x^2+1\right)dx\)\(=14\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx\)\(=\frac43\ln2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)\)\(=\dfrac{4\ln x}{f(x)}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=e\) este egală cu \(\dfrac{3e^2+5}{4}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M1

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x+1}{e^x}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^4e^xf(x)\,dx\)\(=12\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\)\(=\frac{2e-3}{e}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru fiecare număr natural \(n\), \(n\ge2\), se consideră numărul \(I_n\)\(=\displaystyle\int_0^1\frac{x^{n-1}}{f\left(x^n\right)}\,dx\). Demonstrați că \(\dfrac{\ln2}{n}\)\(\le I_n\)\(\le\dfrac{e-1}{n}\), pentru orice număr natural \(n\), \(n\ge2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6x+\ln(x+1)\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_{1}^{2}\big(f(x)-\ln(x+1)\big)dx\)\(=9\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_{0}^{e-1}\frac{f(x)-6x}{x+1}\,dx\)\(=\frac12\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(a\), știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)\)\(=f\left(x^2\right)\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=0\) și \(x=1\) este egală cu \(a\pi+\ln2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\left(x^2+2x\right)e^{-x}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^3f(x)e^x\,dx\)\(=18\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{x+2}\,dx\)\(=\frac{e-2}{e}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}\int_0^xf(t)\,dt\right)\)\(=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M1

Se consideră funcția \(f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^3f(x)\sqrt{x+3}\,dx\)\(=12\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_{-2}^1\frac{f(x)}{x^2+1}\,dx\)\(=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx\)\(\le\frac{\pi}{2}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=x\sqrt{x^2+4}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}\,dx\)\(=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^{\sqrt5}f(x)\,dx\)\(=\frac{19}{3}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru fiecare număr natural \(n\), \(n\ge2\), se consideră numărul \(I_n\)\(=\displaystyle\int_1^2\frac{x^n}{f^2(x)}\,dx\). Determinați numărul natural \(n\), \(n\ge2\), pentru care \(I_{n+2}+4I_n\)\(=\dfrac{3}{n-1}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=3-x+\sqrt{x^2+9}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_1^5\left(f(x)-\sqrt{x^2+9}\right)dx\)\(=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^4\frac{x}{f(x)+x-3}\,dx\)\(=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru fiecare număr natural nenul \(n\) se consideră numărul \(I_n\)\(=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{f(x)}\,dx\). Demonstrați că \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)\(=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M1

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2+1}{e^x}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^3e^xf(x)\,dx\)\(=12\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că orice primitivă \(G\) a funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)\)\(=\dfrac{1}{f(x)}\) este convexă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\displaystyle\int_0^1\frac{x^3}{\sqrt{e^xf(x)}}\,dx\)\(=\frac{a-\sqrt2}{3}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=1+\dfrac{2x}{x^4+1}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\left(x^4+1\right)f(x)\,dx\)\(=\frac{11}{5}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Se consideră \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) o primitivă a funcției \(f\). Știind că graficul funcției \(F\) are asimptotă oblică spre \(+\infty\), determinați panta acestei asimptote. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Se consideră funcția \(G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), primitiva funcției \(f\) pentru care \(G(0)=0\). Arătați că \(\displaystyle\int_0^1xG(x)\,dx\)\(=\frac13+\frac{\pi}{8}-\frac14\ln2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x}{x^2+x+3}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\left(x^2+x+3\right)f(x)\,dx\)\(=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^2g(x)\,dx\)\(=\ln\frac95\), unde \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)\)\(=\dfrac{2x+1}{x}\cdot f(x)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Se consideră numerele reale \(a\) și \(b\), cu \(0\le a\lt b\). Pentru fiecare număr natural nenul \(n\), se consideră numărul \(I_n\)\(=\displaystyle\int_a^bf^n(x)\,dx\). Demonstrați că \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)\(=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M1

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac12\left(\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{x^2+3}\right)\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\left(2f(x)+\frac{1}{x^2+3}\right)dx\)\(=\frac{\pi}{4}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că orice primitivă \(F\) a funcției \(f\) este strict crescătoare. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că, pentru orice numere reale \(a\) și \(b\), cu \(a\lt b\), \(\displaystyle\int_a^bf(x)F^2(x)\,dx\)\(\gt0\), pentru orice primitivă \(F\) a funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=1-\dfrac{2x}{x^2+3}-\dfrac{2}{x^2+3}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_1^2\left(x^2+3\right)f(x)\,dx\)\(=\frac13\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\)\(=1-\ln\frac43-\frac{\pi\sqrt3}{9}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru fiecare număr natural nenul \(n\), se consideră numărul \(I_n\)\(=\displaystyle\int_0^1f^n(x)\,dx\). Arătați că \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)\(=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x}{\sqrt{x^3+1}}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\left(x^3+1\right)f^2(x)\,dx\)\(=\frac13\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1f^2(x)\,dx\)\(=\frac13\ln2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru fiecare număr natural nenul \(n\), se consideră numărul \(I_n\)\(=\displaystyle\int_0^1f\left(x^n\right)dx\). Demonstrați că \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)\(=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M2 (științele naturii) — Subiectul III.2

Model Bac 2027 M2 (oficial)

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{9x^2}{(x+1)^2}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_1^2f(x)(x+1)^2\,dx\)\(=21\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_2^8\frac{f(x)}{x^2}\,dx\)\(=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați \(a\in(0,+\infty)\) pentru care \(\displaystyle\int_0^ax^2\big(3f(x)+xf'(x)\big)\,dx\)\(=a^3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5x^2-3+\ln x\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_1^2\big(f(x)-\ln x\big)\,dx=\frac{26}{3}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^e\frac1x\cdot\big(f(x)-5x^2+3\big)\,dx=\frac12\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(m\) pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f(x)+3}{\sqrt x}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=4\) este egală cu \(58+m\ln2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\left(2x^2+4x\right)\sqrt{x+1}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}\,dx=36\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_3^8\frac{x^2+2x}{f(x)}\,dx=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Se consideră funcția \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{4\sqrt{x+1}}{f(x)}\). Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M2

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\left(x^2+4x\right)e^{-x}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^3 f(x)e^x\,dx=27\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_{-1}^0\frac{f(x)}{x+4}\,dx=-1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Se consideră funcția \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f\left(x^2\right)}{x^2}\). Demonstrați că orice primitivă \(G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) a funcției \(g\) este concavă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt x}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_2^4 f(x)\sqrt x\,dx=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx=\frac83\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției \(g:[2,3]\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{\sqrt2}{f(x)}\), în jurul axei \(Ox\) este egal cu \(\pi\ln(4e)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+3x+3\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\big(f(x)-3x-3\big)\,dx=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\big(f(x)-x^3\big)^2}\,dx=\frac{1}{18}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(m\) pentru care \(\displaystyle\int_1^e\frac{f(x)-3}{x^2}\cdot\ln x\,dx=\frac{e^2+m}{4}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M2

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=4x+1+3x\ln x\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_1^2\big(f(x)-3x\ln x\big)\,dx=7\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^e\frac{f(x)-4x-1}{x}\,dx=3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\displaystyle\int_2^4\frac{f(x)-1}{x^2\ln x}\,dx=a\ln2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+3x+1\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^3\big(f(x)-3x\big)\,dx=12\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\big(f(x)-x^2\big)^2}\,dx=\frac14\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f(x)-x^2-1}{e^x}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=0\) și \(x=1\) este egală cu \(3\left(1-\dfrac2e\right)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2(x+1)f(x)\,dx=8\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=1+2\ln2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\displaystyle\int_1^2\left(x^2-1\right)e^xf(x)\,dx=e(e+a)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M2

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^2-\dfrac{2}{x+1}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_1^2\left(f(x)+\frac{2}{x+1}\right)dx=7\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^5\left(3x^2-f(x)\right)dx=2\ln3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Se consideră funcția \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=f\left(\sqrt x-1\right)\). Arătați că \(\displaystyle\int_1^4\big(a+bg(x)\big)g'(x)\,dx=4a\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x(x-1)^2\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_3^7\frac{f(x)}{(x-1)^2}\,dx=20\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_2^3\frac{x}{f(x)}\,dx=\frac12\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\frac{xf\left(e^x\right)}{e^x}\,dx=\frac{e^2-5}{4}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^2+4\ln x\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_1^2\big(f(x)-4\ln x\big)\,dx=7\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^e x\big(f(x)-3x^2\big)\,dx=e^2+1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e} f(x)F''(x)\,dx=\frac{(3e-1)(3e+5)}{2}\), pentru orice primitivă \(F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) a funcției \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M2

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_3^5\left(f(x)-x^3\right)dx=8\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\frac{x^2}{f(x)-x+2}\,dx=\frac{\ln5}{3}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Se consideră funcția \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f(x)e^{-x}}{x}\). Arătați că orice primitivă \(G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) a funcției \(g\) este concavă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(3-2x)e^x\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx=e^2-5\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați \(a\in(-\infty,1)\) pentru care \(\displaystyle\int_a^1\frac{e^{3x}}{f^3(x)}\,dx=\frac29\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\left(e^x+2x^2\right)\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^4\frac{f(x)}{e^x+2x^2}\,dx=8\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\big(f(x)-2x^3\big)\,dx=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\displaystyle\int_1^2\frac1x\cdot f\left(x^2\right)dx=\frac{e^4-e}{2}+a\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M2

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x+2x}{e^x}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 e^xf(x)\,dx=e\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\,dx=-1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\displaystyle\int_0^1 F(x)f''(x)\,dx=\frac{a(e+1)}{e^2}\), unde \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) este primitiva funcției \(f\) cu proprietatea \(F(0)=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=xe^x\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\frac{f(x)}{e^x}\,dx=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_{-1}^1\big(f(x)+e^x\big)\,dx=\frac{e^2+1}{e}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că \(\displaystyle\int_{-1-a}^{-1+a}f(x)\,dx\ge-\frac{2a}{e}\), pentru orice \(a\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=1+\dfrac{2}{x^2+1}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^3\left(x^2+1\right)f(x)\,dx=18\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^3 xf(x)\,dx=4+\ln5\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că \(F(x+1)\ge F(x)+1\), pentru orice număr real \(x\), unde \(F\) este o primitivă a lui \(f\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M2

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+3-2\ln x\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_1^3\big(f(x)+2\ln x\big)\,dx=14\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Calculați \(\displaystyle\int_1^e\big(2x+3-f(x)\big)\,dx\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 x^2f\left(x^3+1\right)dx=\frac{4(2-\ln2)}{3}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră funcția \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=1-x^3\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\frac34\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 x^2\big(f(x)\big)^3\,dx=\frac1{12}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că \(\displaystyle\int_0^1\big(f(x)\big)^{n+1}dx\le\int_0^1\big(f(x)\big)^n dx\), pentru orice număr natural nenul \(n\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+2x+2}\).

a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\left(x^2+2x+2\right)f(x)\,dx=\frac12\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\left(f(x)+\frac{1}{x^2+2x+2}\right)dx=\frac12\ln5\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că \(\displaystyle\int_1^e\left(\frac{1}{f(x)}-2\right)\ln x\,dx=\frac{e^2+5}{4}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte capitole de examen: Derivate la Bac (III.1) · Matrice și determinanți la Bac (II.1) · Geometrie în spațiu la EN (Subiectul III).

Întrebări frecvente

Ce se cere la Subiectul III.2 la Bacalaureat? Se dă o funcție și se cer trei cerințe de câte 5 puncte: calculul unei integrale definite, o integrală care se rezolvă prin schimbare de variabilă sau prin părți (ori verificarea unei primitive) și o aplicație — aria unei suprafețe plane, volumul unui corp de rotație, o limită cu integrale sau determinarea unui parametru.

Diferă integralele de la M1 față de cele de la M2? Da. La M2 (științele naturii) predomină integralele directe, aria și volumul, cu schimbări de variabilă simple. La M1 (mate-info) apar mai des integrarea prin părți, șirurile de integrale, limitele care conțin integrale și inegalitățile, deci cerința c) este de obicei mai grea.

Cum exersez eficient integralele pentru Bac? Rezolvă singur fiecare enunț de pe această pagină, apoi compară cu rezolvarea pas cu pas de pe pagina variantei. Repetă formulele din tabelul de integrale, integrarea prin părți și schimbarea de variabilă și verifică rezultatele cu calculatorul de integrale.

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2