Simulare Bac 2026 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat

Conjugatul lui \(z=2+i\) este \(\overline{z}=2-i\). Atunci

\[z+\overline{z}+z\cdot\overline{z}=2+i+2-i+(2+i)(2-i)=4+\left(4-i^2\right)=4+4+1=9.\]

(Am folosit \((2+i)(2-i)\)​\(=2^2-i^2\) și \(i^2=-1\).)

Răspuns: \(z+\overline{z}+z\cdot\overline{z}\)​\(=9\)

Formule utile: Numere complexe

Abscisele punctelor comune sunt soluțiile ecuației \(f(x)=g(x)\):

\[x^2-4x+m=2x-1\iff x^2-6x+m+1=0.\]

Graficele au exact un punct comun dacă ecuația are soluție unică, adică \(\Delta=0\):

\[\Delta=36-4(m+1)=32-4m=0\Rightarrow m=8.\]

Verificare: pentru \(m=8\), \(x^2-6x+9\)​\(=(x-3)^2\)​\(=0\), deci \(x=3\), iar punctul comun este \((3,5)\).

Răspuns: \(m=8\)

Formule utile: Funcția de gradul al II-lea, calculator ecuația de gradul 2

Condiții de existență: \(x\gt0\) și \(x\ne1\) (baza logaritmului \(\log_x2\)).

Desfacem paranteza și folosim \(\log_x2\cdot\log_2x\)​\(=1\):

\[\log_2x+\log_x2\cdot\log_2x=5\iff\log_2x+1=5\iff\log_2x=4.\]

Deci \(x=2^4=16\), care verifică condițiile \(x\gt0\), \(x\ne1\).

Răspuns: \(x=16\)

Formule utile: Logaritmi, calculator logaritmi

Fiecare dintre cele două cifre se alege din \(\{1,2,\dots,9\}\), deci \(A\) are \(9\cdot9=81\) de elemente: \(81\) de cazuri posibile.

Cifrele sunt nenule și \(5\) este prim, deci produsul cifrelor se divide cu \(5\) exact când una dintre cifre este \(5\):

• cifra zecilor este \(5\): \(51,52,\dots,59\) — \(9\) numere;
• cifra unităților este \(5\): \(15,25,\dots,95\) — \(9\) numere;
• numărul \(55\) a fost numărat de două ori.

Cazuri favorabile: \(9+9-1=17\). Probabilitatea este

\[p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{17}{81}.\]

Răspuns: \(p=\dfrac{17}{81}\)

Formule utile: Probabilități, Combinatorică

Panta dreptei \(OB\), cu \(O(0,0)\):

\[m_{OB}=\frac{2-0}{4-0}=\frac12.\]

Pentru dreapta căutată \(d\), condiția de perpendicularitate este \(m_{OB}\cdot m_d\)​\(=-1\), deci \(m_d=-2\).

Dreapta \(d\) trece prin \(A(0,5)\): \(y-5=-2(x-0)\), adică \(y=-2x+5\).

Răspuns: \(d:\ y=-2x+5\) (sau \(2x+y-5=0\))

Formule utile: Panta unei drepte, Drepte paralele și perpendiculare, calculator ecuația dreptei

Cu teorema lui Pitagora, \(BC\)​\(=\sqrt{81+144}\)​\(=\sqrt{225}\)​\(=15\).

Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: \(AM\)​\(=CM\)​\(=\dfrac{15}{2}\). Fie \(AD\) înălțimea din \(A\) a triunghiului \(ABC\) (\(D\in BC\)). Scriem aria triunghiului \(AMC\) în două moduri:

\[\frac{AM\cdot d(C,AM)}{2}=\frac{CM\cdot AD}{2}\Rightarrow d(C,AM)=AD.\]

Din aria triunghiului \(ABC\):

\[\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{AB\cdot AC}{2}\Rightarrow AD=\frac{9\cdot12}{15}=\frac{108}{15}=7{,}2.\]

Deci \(d(C,AM)=7{,}2\).

Răspuns: \(d(C,AM)=7{,}2\)

Formule utile: Triunghiul dreptunghic, Aria triunghiului

\(A(1)\)​\(=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\3&2&1\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(1)\big)=-1+2+3+3-2-1=4.\]

(Produsele pe diagonale: \(1\cdot(-1)\cdot1\)​\(=-1\), \(1\cdot2\cdot1=2\), \(1\cdot1\cdot3=3\); se scad \(1\cdot(-1)\cdot3\)​\(=-3\), \(1\cdot1\cdot2=2\), \(1\cdot1\cdot1=1\).)

Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=4\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(a)\big)=-a+3a+2+3-2a^2-1=-2a^2+2a+4.\]

\(-2a^2+2a+4\)​\(=-2\left(a^2-a-2\right)\)​\(=-2(a+1)(a-2)\), deci \(\det\big(A(a)\big)\)​\(=0\)​\(\iff a\)​\(=-1\) sau \(a=2\).

O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul, deci \(A(a)\) este inversabilă pentru \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}\).

Răspuns: \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}\)

Formule utile: Matrice inversabilă, Determinanți

Pentru \(a=1\): \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=4\)​\(\ne0\), deci sistemul \(\begin{cases}x+y+z=2\\x-y+z=-4\\3x+2y+z=8\end{cases}\) are soluție unică. Scăzând a doua ecuație din prima: \(2y=6\), deci \(y_1=3\). (Apoi \(x+z=-1\) și \(3x+z=2\), de unde \(x_1=\frac32\), \(z_1=-\frac52\).)

Pentru \(a=2\) sistemul este \(\begin{cases}2x+y+z=4\\x-y+2z=-4\\3x+2y+z=8\end{cases}\), cu \(\det\big(A(2)\big)\)​\(=0\). Scăzând prima ecuație din a treia: \(x+y=4\), deci \(y=4-x\); din prima ecuație, \(z=4-2x-y=-x\). A doua ecuație este verificată: \(x-(4-x)-2x=-4\). Soluțiile sunt

\[(x,y,z)=(\alpha,\ 4-\alpha,\ -\alpha),\quad\alpha\in\mathbb{R}.\]

Condiția \(x_0y_0=y_1\) devine \(\alpha(4-\alpha)\)​\(=3\)​\(\iff\alpha^2-4\alpha+3\)​\(=0\)​\(\iff(\alpha-1)(\alpha-3)\)​\(=0\), deci \(\alpha=1\) sau \(\alpha=3\).

Răspuns: \((1,3,-1)\) și \((3,1,-3)\)

Formule utile: Sisteme de ecuații, calculator sisteme de ecuații

\[0*1=\sqrt{\left(0^2+2\right)\left(1^2+2\right)+3}=\sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt9=3.\]

Răspuns: \(0*1=3\)

Formule utile: Legi de compoziție

Pentru \(m=7\): \(x*(2x)\)​\(=\sqrt{\left(x^2+2\right)\left(4x^2+2\right)+7}\), pentru orice număr real \(x\).

Ecuația \(x*(2x)=5\) devine, prin ridicare la pătrat (ambii membri sunt pozitivi):

\[\left(x^2+2\right)\left(4x^2+2\right)+7=25\iff4x^4+10x^2+4+7=25\iff2x^4+5x^2-7=0.\]

\[2x^4+5x^2-7=\left(x^2-1\right)\left(2x^2+7\right)=0.\]

Cum \(2x^2+7\gt0\), rămâne \(x^2=1\), deci \(x=-1\) sau \(x=1\).

Răspuns: \(x\in\{-1,1\}\)

Formule utile: Legi de compoziție, Ecuația de gradul al II-lea

Pentru orice \(x,y\) reali, \(\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\)​\(\ge4\), deci expresia de sub radical este nenegativă când \(m\ge-4\), iar \((x*y)^2\)​\(=\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)+m\). Atunci

\[(x*y)*z=\sqrt{\big((x*y)^2+2\big)\left(z^2+2\right)+m}=\sqrt{\Big(\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)+m+2\Big)\left(z^2+2\right)+m},\]

\[x*(y*z)=\sqrt{\left(x^2+2\right)\Big(\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)+m+2\Big)+m}.\]

Egalitatea \((x*y)*z=x*(y*z)\) pentru orice \(x,y,z\) reali revine la (termenul \(\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\) apare în ambii membri):

\[(m+2)\left(z^2+2\right)=(m+2)\left(x^2+2\right),\ \text{pentru orice }x,z\in\mathbb{R}.\]

Pentru \(x=0\), \(z=1\) obținem \(3(m+2)=2(m+2)\), deci \(m=-2\). Reciproc, pentru \(m=-2\) egalitatea are loc pentru orice \(x,z\), iar \(-2\in[-4,+\infty)\), deci convine.

Răspuns: \(m=-2\)

Formule utile: Legi de compoziție, legi de compoziție — exerciții rezolvate

Cu regula câtului, \(\left(e^{x-2}\right)'\)​\(=e^{x-2}\) și \(\left(\sqrt{x-1}\right)'\)​\(=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\):

\[f'(x)=\frac{e^{x-2}\sqrt{x-1}-e^{x-2}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}.\]

Amplificăm cu \(2\sqrt{x-1}\) numărătorul și numitorul:

\[f'(x)=\frac{e^{x-2}\big(2(x-1)-1\big)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}=\frac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}},\quad x\in(1,+\infty).\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

\(f(2)\)​\(=\dfrac{e^0}{\sqrt1}\)​\(=1\), deci limita este de tipul \(1^\infty\). Scriem

\[\big(f(x)\big)^{\frac{1}{x-2}}=\Big(\big(1+f(x)-1\big)^{\frac{1}{f(x)-1}}\Big)^{\frac{f(x)-1}{x-2}}.\]

Cum \(f(x)-1\to0\), baza tinde la \(e\) (limita remarcabilă \(\lim_{u\to0}(1+u)^{\frac1u}\)​\(=e\)), iar exponentul este raportul din definiția derivatei:

\[\lim_{x\to2}\frac{f(x)-1}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)=\frac{e^0\cdot1}{2\cdot1\cdot1}=\frac12.\]

Deci \(\displaystyle\lim_{x\to2}\big(f(x)\big)^{\frac{1}{x-2}}\)​\(=e^{f'(2)}\)​\(=e^{\frac12}\)​\(=\sqrt e\).

Răspuns: Limita este \(\sqrt e\).

Formule utile: Limite remarcabile, calculator limite

Pe \((1,+\infty)\) avem \(x\ne0\), deci \(f(x)\)​\(=mx\)​\(\iff\dfrac{f(x)}{x}\)​\(=m\). Considerăm \(g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)\)​\(=\dfrac{f(x)}{x}\), cu \(g'(x)\)​\(=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}\). Calculăm

\[xf'(x)-f(x)=\frac{e^{x-2}\big(x(2x-3)-2(x-1)\big)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}=\frac{e^{x-2}\left(2x^2-5x+2\right)}{2(x-1)\sqrt{x-1}},\]

deci

\[g'(x)=\frac{e^{x-2}(2x-1)(x-2)}{2x^2(x-1)\sqrt{x-1}},\quad x\in(1,+\infty).\]

Pe \((1,+\infty)\), \(2x-1\gt0\), deci semnul lui \(g'\) este semnul lui \(x-2\): \(g'(x)\lt0\) pe \((1,2)\) — \(g\) strict descrescătoare; \(g'(x)\gt0\) pe \((2,+\infty)\) — \(g\) strict crescătoare. Minimul este \(g(2)\)​\(=\dfrac{f(2)}{2}\)​\(=\dfrac12\).

Limitele la capete: \(\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)\)​\(=+\infty\) (numitorul \(\sqrt{x-1}\to0^+\)) și \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\)​\(=+\infty\) (exponențiala domină).

Cum \(g\) este continuă, pe fiecare dintre intervalele \((1,2]\) și \([2,+\infty)\) ia fiecare valoare din \(\left[\frac12,+\infty\right)\) exact o dată. Deci ecuația \(g(x)=m\) are exact două soluții dacă și numai dacă \(m\gt\dfrac12\) (pentru \(m=\frac12\) are o singură soluție, \(x=2\), iar pentru \(m\lt\frac12\) niciuna).

Răspuns: \(m\in\left(\dfrac12,+\infty\right)\)

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, fișă monotonie și puncte de extrem

Pe \([2,3]\), \(\ln x\ne0\) și \(\dfrac{f(x)}{\ln x}\)​\(=4x+\dfrac{6}{x^2}\). Atunci

\[\int_2^3\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)dx=2x^2\Big|_2^3-\frac6x\Big|_2^3=(18-8)+(-2+3)=10+1=11.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(11\).

Formule utile: Integrale definite, Tabel de integrale nedefinite

\(f(x)-4x\ln x\)​\(=\dfrac{6\ln x}{x^2}\), deci \(x\big(f(x)-4x\ln x\big)\)​\(=\dfrac{6\ln x}{x}\)​\(=6\ln x\cdot(\ln x)'\). Atunci

\[\int_1^e\frac{6\ln x}{x}\,dx=3\ln^2x\Big|_1^e=3\ln^2e-3\ln^21=3-0=3.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(3\).

Formule utile: Tabel de integrale nedefinite, Integrale definite

Axa \(Ox\) (dreapta \(y=0\)) este tangentă la graficul lui \(F\) într-un punct \(A\big(a,F(a)\big)\), \(a\gt0\), dacă \(F(a)=0\) și \(F'(a)=0\). Cum \(F'=f\), avem \(f(a)=0\):

\[\left(4a+\frac{6}{a^2}\right)\ln a=0\Rightarrow\ln a=0\Rightarrow a=1\]

(pentru \(a\gt0\), \(4a+\frac{6}{a^2}\)​\(\gt0\)). Deci \(F(1)=0\), adică \(F(x)\)​\(=\displaystyle\int_1^xf(t)\,dt\). Integrăm prin părți, cu \(\left(2t^2-\dfrac6t\right)'\)​\(=4t+\dfrac{6}{t^2}\):

\[F(x)=\int_1^x\left(2t^2-\frac6t\right)'\ln t\,dt=\left(2t^2-\frac6t\right)\ln t\,\Bigg|_1^x-\int_1^x\left(2t-\frac{6}{t^2}\right)dt.\]

\[F(x)=\left(2x^2-\frac6x\right)\ln x-\left(t^2+\frac6t\right)\Bigg|_1^x=\left(2x^2-\frac6x\right)\ln x-x^2-\frac6x+7.\]

Verificare: \(F(1)=0-1-6+7=0\) și \(F'(1)=f(1)=0\) ✓.

Răspuns: \(F(x)\)​\(=\left(2x^2-\dfrac6x\right)\ln x-x^2-\dfrac6x+7\), \(x\in(0,+\infty)\)

Formule utile: Primitive, Integrarea prin părți, Ecuația tangentei