Bacalaureat 2024 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi:

\[a_2=\frac{a_1+a_3}{2}\Rightarrow 14=\frac{a_1+18}{2}\]

\[a_1+18=28\iff a_1=10.\]

Verificare: rația este \(r=a_3-a_2=4\), iar \(a_1=a_2-r=14-4=10\) ✓.

Răspuns: \(a_1=10\)

Formule utile: Progresia aritmetică

Calculăm întâi \(f(5)=5+2=7\). Atunci

\[(f\circ f)(5)=f\big(f(5)\big)=f(7)=7+2=9.\]

Răspuns: \((f\circ f)(5)=9\)

Formule utile: Funcții — noțiuni introductive (compunere)

Radicalul de ordin 3 este definit pe tot \(\mathbb{R}\) și este injectiv, deci putem ridica la puterea a treia fără condiții de existență:

\[x^2+2x+1=1-x\iff x^2+3x=0\]

\[x(x+3)=0.\]

Obținem \(x=-3\) sau \(x=0\). Verificare: pentru \(x=0\): \(\sqrt[3]{1}\)​\(=\sqrt[3]{1}\) ✓; pentru \(x=-3\): \(\sqrt[3]{9-6+1}\)​\(=\sqrt[3]{4}\)​\(=\sqrt[3]{1+3}\) ✓.

Răspuns: \(x\in\{-3,\,0\}\)

Formule utile: Radicali

Un număr este impar dacă cifra unităților este impară. Cifra unităților se poate alege din \(\{1,3,7,9\}\): 4 moduri.

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se alege dintre celelalte \(4\) elemente ale lui \(A\) (cifrele trebuie să fie distincte, iar \(0\notin A\)): 4 moduri.

\[4\cdot4=16\ \text{numere}.\]

Răspuns: \(16\) numere

Formule utile: Combinatorică (regula produsului)

Fie \(B(x_B,y_B)\). Avem \(\overrightarrow{OA}\)​\(=2\vec i+\vec j\) și \(\overrightarrow{AB}\)​\(=(x_B-2)\vec i+(y_B-1)\vec j\).

Din \(\overrightarrow{AB}\)​\(=2\overrightarrow{OA}\)​\(=4\vec i+2\vec j\) obținem

\[x_B-2=4,\quad y_B-1=2\ \Rightarrow\ x_B=6,\quad y_B=3.\]

Răspuns: \(B(6,3)\)

Formule utile: Coordonatele vectorilor

\(AB\)​\(=\dfrac{12}{2}\)​\(=6\). Cu teorema lui Pitagora (ipotenuza este \(BC\)):

\[AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt3.\]

Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor:

\[\mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot6\sqrt3}{2}=18\sqrt3.\]

Răspuns: \(\mathcal{A}_{\triangle ABC}\)​\(=18\sqrt3\)

Formule utile: Teorema lui Pitagora, Aria triunghiului

\(B(1)\)​\(=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(B(1)\big)=2+0+0-0-2-0=0.\]

(Se vede și direct: liniile a doua și a treia sunt egale, deci determinantul este nul.)

Răspuns: \(\det\big(B(1)\big)\)​\(=0\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Înmulțim linie cu coloană (\(2^x\cdot2^y\)​\(=2^{x+y}\)):

\[B(x)\cdot B(y)=\begin{pmatrix}2^{x+y}&0&0\\0&1+xy&x+y\\0&x+y&xy+1\end{pmatrix}.\]

Scădem \(B(x+y)\):

\[B(x)B(y)-B(x+y)=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&xy&0\\0&0&xy\end{pmatrix}=xyA,\]

pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).

Răspuns: \(B(x)B(y)-B(x+y)\)​\(=xyA\), ceea ce trebuia demonstrat.

Formule utile: Matrice și determinanți

Aplicăm relația de la punctul b) de două ori:

\[B(x)\cdot B(x+1)=B(2x+1)+x(x+1)A,\]

\[B(2x)\cdot B(1)=B(2x+1)+2xA.\]

Prin scădere: \(B(x)B(x+1)-B(2x)B(1)\)​\(=\left(x^2+x-2x\right)A\)​\(=\left(x^2-x\right)A\), pentru orice număr real \(x\).

Ecuația devine \(\left(x^2-x\right)A\)​\(=xA\). Cum \(A\ne O_3\) (are elemente egale cu 1), egalăm coeficienții:

\[x^2-x=x\iff x^2-2x=0\iff x(x-2)=0.\]

Răspuns: \(x\in\{0,\,2\}\)

Formule utile: Matrice și determinanți

\[f(1)=1^3+a\cdot1^2+1+2-a=1+a+1+2-a=4,\]

pentru orice număr real \(a\).

Răspuns: \(f(1)=4\)

Formule utile: Polinoame

Pentru \(a=2\): \(f=X^3+2X^2+X\). Dăm factor comun pe \(X\) și recunoaștem un pătrat perfect:

\[f=X\left(X^2+2X+1\right)=X(X+1)^2.\]

Rădăcinile sunt \(x_1=x_2=-1\) (rădăcină dublă) și \(x_3=0\).

Răspuns: \(x_1=x_2=-1\), \(x_3=0\)

Formule utile: Polinoame

Din relațiile lui Viète, \(x_1x_2x_3\)​\(=-\dfrac{2-a}{1}\)​\(=a-2\).

Scriem \(x_k-x_k^2\)​\(=x_k(1-x_k)\). Cum \(f\) este monic, \(f\)​\(=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)\), deci \(f(1)\)​\(=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\). Atunci

\[\left(x_1-x_1^2\right)\left(x_2-x_2^2\right)\left(x_3-x_3^2\right)\]

\[=x_1x_2x_3\,(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=(a-2)\,f(1).\]

Cu \(f(1)=4\) (punctul a)), condiția devine

\[4(a-2)=4\iff a-2=1\iff a=3.\]

Răspuns: \(a=3\)

Formule utile: Polinoame — relațiile lui Viète

Folosim regula produsului și \(\left(e^{2x}\right)'\)​\(=2e^{2x}\):

\[f'(x)=\left(x^2-2\right)'e^{2x}+\left(x^2-2\right)\left(e^{2x}\right)'\]

\[f'(x)=2xe^{2x}+\left(x^2-2\right)\cdot2e^{2x}\]

\[f'(x)=2e^{2x}\left(x^2+x-2\right),\quad x\in\mathbb{R}.\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=2e^{2x}\left(x^2+x-2\right)\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

Simplificăm cu \(e^{2x}\ne0\):

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-2}{2\left(x^2+x-2\right)}\]

\[=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{2x^2\left(1+\frac1x-\frac{2}{x^2}\right)}\]

\[=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{2}{x^2}}{2\left(1+\frac1x-\frac{2}{x^2}\right)}=\frac12.\]

Răspuns: \(\dfrac12\)

Formule utile: Limite de funcții, calculator limite

\(f'(x)\)​\(=2e^{2x}\left(x^2+x-2\right)\)​\(=2e^{2x}(x+2)(x-1)\), deci \(f'(x)=0\iff x=-2\) sau \(x=1\). Semnul lui \(f'\) este semnul trinomului \((x+2)(x-1)\):

• pe \((-\infty,-2]\): \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare;
• pe \([-2,1]\): \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare;
• pe \([1,+\infty)\): \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare.

Valori și limite: \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(x^2-2\right)e^{2x}\)​\(=0\) (exponențiala „câștigă” în fața polinomului), \(f(-2)=2e^{-4}\), \(f(1)=-e^2\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)​\(=+\infty\).

Pe \((-\infty,-2]\) funcția ia valorile din \(\left(0,2e^{-4}\right]\), pe \([-2,1]\) valorile din \(\left[-e^2,2e^{-4}\right]\), iar pe \([1,+\infty)\), fiind continuă, toate valorile din \(\left[-e^2,+\infty\right)\). Reunind:

\[\operatorname{Im}f=\left[-e^2,+\infty\right).\]

Răspuns: \(\operatorname{Im}f\)​\(=\left[-e^2,+\infty\right)\)

Formule utile: Aplicații ale derivatelor: monotonie și extreme

\(f(x)-6x^2=x^4+1\), deci

\[\int_{-1}^{1}\left(x^4+1\right)dx=\left(\frac{x^5}{5}+x\right)\Big|_{-1}^{1}\]

\[=\frac15+1+\frac15+1=\frac{12}{5}.\]

Răspuns: \(\dfrac{12}{5}\)

Formule utile: Integrala definită — Leibniz–Newton, calculator integrale

\(f(x)-1\)​\(=x^4+6x^2\)​\(=x^2\left(x^2+6\right)\), deci \(\dfrac{x^3}{f(x)-1}\)​\(=\dfrac{x}{x^2+6}\). Observăm că \(\left(x^2+6\right)'\)​\(=2x\):

\[\int_{1}^{6}\frac{x}{x^2+6}\,dx=\frac12\int_{1}^{6}\frac{\left(x^2+6\right)'}{x^2+6}\,dx\]

\[=\frac12\ln\left(x^2+6\right)\Big|_{1}^{6}\]

\[=\frac{\ln42}{2}-\frac{\ln7}{2}=\frac12\ln\frac{42}{7}=\frac{\ln6}{2}.\]

Răspuns: \(\dfrac{\ln6}{2}\)

Formule utile: Tabel de integrale (formula \(\int\frac{u'}{u}\)​\(=\ln|u|\))

Funcția \(F(x)\)​\(=\displaystyle\int_0^x\big(f(2t)-f(t)\big)dt\) este derivabilă, \(F(0)=0\) și \(F'(x)=f(2x)-f(x)\). Limita este de tipul \(\frac00\), deci aplicăm regula lui l'Hôpital:

\[\lim_{x\to0}\frac{F(x)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{F'(x)}{\left(x^3\right)'}=\lim_{x\to0}\frac{f(2x)-f(x)}{3x^2}.\]

\(f(2x)-f(x)\)​\(=16x^4+24x^2+1-x^4-6x^2-1\)​\(=15x^4+18x^2\), deci

\[\lim_{x\to0}\frac{15x^4+18x^2}{3x^2}=\lim_{x\to0}\left(5x^2+6\right)=6.\]

Răspuns: Limita este egală cu \(6\).

Formule utile: Integrale definite, Limite de funcții, Guillaume de l'Hôpital