Subiectul I.1 (5p · numere complexe)
Se consideră numerele complexe \(z_1=3-i\) și \(z_2=1+i\). Arătați că \(z_1+iz_2=2\).
Simulare Bac 2024 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate
Publicitate
Subiectul oficial de la simularea națională a Bacalaureatului 2024, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii), susținută de elevii de clasa a XII-a pe 5 martie 2024, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată și răspunsul final evidențiat.
Simularea este organizată de Ministerul Educației cu un singur subiect pe profil, are exact structura examenului din iunie și nu contează la nota finală de la Bacalaureat. Proba durează 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2.
Răspunsuri pe scurt
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(z_1+iz_2=2\) |
| I.2 | \(a=1\) |
| I.3 | \(x\in\{1,\,3\}\) |
| I.4 | \(12\) numere |
| I.5 | \(AC=5\) |
| I.6 | \(\mathcal{A}_{ABC}=8\sqrt3\) |
| II.1 | a) \(3\); b) \(m=8\); c) \(x\in\left\{-\frac12,\,\frac12\right\}\) |
| II.2 | a) \(7\); b) \(x=3\); c) \(n\in\{1,\,2,\,3\}\) |
| III.1 | b) \(y=0\); c) \(-\frac{32}{e^4}\le f(x)\le\frac1e\) pe \([-4,0]\) |
| III.2 | a) \(7\); b) \(2\ln3\); c) \(4a\) |
Subiectul I (30 de puncte)
Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)
Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5-x\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x+2\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)=g(a+1)\).
Vezi rezolvarea
Ecuația devine \(5-a=a+3\), adică \(2a=2\), de unde \(a=1\).
Verificare: \(f(1)=4\) și \(g(2)=4\). ✓
Răspuns: \(a=1\).
Vezi și: Funcția de gradul I.
Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_3\left(4x-x^2\right)=1\).
Vezi rezolvarea
Condiția de existență: \(4x-x^2\gt0\), adică \(x\in(0,4)\). Din definiția logaritmului:
Obținem \(x=1\) sau \(x=3\); ambele aparțin intervalului \((0,4)\) (pentru ele \(4x-x^2=3\gt0\)), deci convin.
Răspuns: \(x\in\{1,\,3\}\).
Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.
Subiectul I.4 (5p · numărare)
Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu elementele mulțimii \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\).
Vezi rezolvarea
Numărul este impar, deci cifra unităților este impară: se alege din \(\{1,3,5,7\}\), în \(4\) moduri.
Cifra zecilor este pară: se alege din \(\{2,4,6\}\), în \(3\) moduri, pentru fiecare alegere a cifrei unităților.
Răspuns: se pot forma \(12\) numere.
Vezi și: Combinatorică.
Subiectul I.5 (5p · geometrie analitică)
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,3)\), \(B(2,0)\) și \(C\). Știind că punctul \(B\) este mijlocul segmentului \(OC\), determinați distanța dintre punctele \(A\) și \(C\).
Vezi rezolvarea
\(B\) este mijlocul lui \(OC\), cu \(O(0,0)\):
Răspuns: \(AC=5\).
Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.
Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic, arie)
Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(B=\frac{\pi}{6}\) și mediana \(AM=4\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(8\sqrt3\).
Vezi rezolvarea
Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză, deci \(BC=2AM=8\).
Răspuns: \(\mathcal{A}_{ABC}=8\sqrt3\).
Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Aria triunghiului.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x&3x-3\\1-x&3x-2\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
Subiectul II.1 a) (5p · determinant)
Arătați că \(\det\big(A(0)\big)=3\).
Vezi rezolvarea
Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)=3\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)
Determinați numărul real \(m\) pentru care \(A(2)\cdot A(0)+A(5)=mI_2\).
Vezi rezolvarea
Din \(8I_2=mI_2\) obținem \(m=8\).
Răspuns: \(m=8\).
Subiectul II.1 c) (5p · ecuație cu determinant)
Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(\det\big(A(x)-A(0)\cdot A(1-x)\big)=3\).
Vezi rezolvarea
Ecuația devine \(12x^2=3\), adică \(x^2=\frac14\), deci \(x=-\frac12\) sau \(x=\frac12\).
Răspuns: \(x\in\left\{-\frac12,\,\frac12\right\}\).
2. Pe mulțimea \(M=(0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x\circ y=x+y+1-\sqrt{xy+1}\).
Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)
Arătați că \(1\circ8=7\).
Subiectul II.2 b) (5p · ecuație cu lege de compoziție)
Determinați \(x\in M\) pentru care \(x\circ\dfrac3x=x\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\in M\), \(x\cdot\frac3x=3\), deci radicalul devine \(\sqrt{3+1}=2\):
Ecuația devine \(x+\frac3x-1=x\), adică \(\frac3x=1\), deci \(x=3\), care aparține lui \(M\).
Răspuns: \(x=3\).
Subiectul II.2 c) (5p · inecuație în numere naturale)
Determinați numerele naturale nenule \(n\) pentru care \(\big(n\circ(n+2)\big)\circ(n+4)\gt\dfrac{n^2}{2}\).
Vezi rezolvarea
Observăm că sub radical apar pătrate perfecte: \(n(n+2)+1=(n+1)^2\) și \((n+2)(n+4)+1=(n+3)^2\). Atunci
Inecuația devine \(n+4\gt\frac{n^2}{2}\Leftrightarrow n^2-2n-8\lt0\Leftrightarrow(n-4)(n+2)\lt0\Leftrightarrow n\in(-2,4)\).
Cum \(n\) este natural nenul, \(n\in\{1,2,3\}\).
Răspuns: \(n\in\{1,\,2,\,3\}\).
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\left(x^3+2x^2\right)e^x\).
Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui produs)
Arătați că \(f'(x)=x\left(x^2+5x+4\right)e^x\), \(x\in\mathbb{R}\).
Vezi rezolvarea
Folosim \((uv)'=u'v+uv'\) și \(\left(e^x\right)'=e^x\):
Răspuns: \(f'(x)=x\left(x^2+5x+4\right)e^x\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
Subiectul III.1 b) (5p · ecuația tangentei)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\).
Vezi rezolvarea
Ecuația tangentei: \(y-f(0)=f'(0)(x-0)\), adică \(y-0=0\cdot x\), deci \(y=0\).
Răspuns: \(y=0\).
Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.
Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)
Arătați că \(-\dfrac{32}{e^{x+4}}\le x^2(x+2)\le\dfrac{1}{e^{x+1}}\), pentru orice \(x\in[-4,0]\).
Vezi rezolvarea
Din a), \(f'(x)=x(x+1)(x+4)e^x\), deci \(f'(x)=0\Leftrightarrow x\in\{-4,-1,0\}\):
• pentru \(x\in[-4,-1]\): \(x\le0\), \(x+1\le0\), \(x+4\ge0\), deci \(f'(x)\ge0\) și \(f\) este crescătoare pe \([-4,-1]\);
• pentru \(x\in[-1,0]\): \(x\le0\), \(x+1\ge0\), \(x+4\gt0\), deci \(f'(x)\le0\) și \(f\) este descrescătoare pe \([-1,0]\).
Prin urmare, pe \([-4,0]\), minimul lui \(f\) este \(\min\left\{-\frac{32}{e^4},0\right\}=-\frac{32}{e^4}\), iar maximul este \(\frac1e\):
Înmulțim cu \(e^{-x}\gt0\) (sensul inegalităților se păstrează):
Răspuns: \(-\frac{32}{e^4}\le f(x)\le\frac1e\) pe \([-4,0]\); împărțind la \(e^x\) se obține inegalitatea cerută.
2. Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^2-\dfrac{2}{x+1}\).
Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_1^2\left(f(x)+\frac{2}{x+1}\right)dx=7\).
Vezi rezolvarea
\(f(x)+\frac{2}{x+1}=3x^2\). Cu formula Leibniz–Newton:
Răspuns: integrala este egală cu \(7\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Subiectul III.2 b) (5p · integrală de forma u'/u)
Arătați că \(\displaystyle\int_1^5\left(3x^2-f(x)\right)dx=2\ln3\).
Vezi rezolvarea
\(3x^2-f(x)=\frac{2}{x+1}=2\cdot\frac{(x+1)'}{x+1}\):
Răspuns: integrala este egală cu \(2\ln3\).
Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.
Subiectul III.2 c) (5p · integrală cu funcție compusă)
Se consideră funcția \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=f\left(\sqrt x-1\right)\). Arătați că \(\displaystyle\int_1^4\big(a+bg(x)\big)g'(x)\,dx=4a\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\gt0\), \(\sqrt x-1\gt-1\), deci \(g\) este bine definită și derivabilă. Despărțim integrala; \(g'\) are primitiva \(g\), iar \(g\cdot g'\) are primitiva \(\frac{g^2}{2}\):
Calculăm valorile lui \(g\):
Atunci \(g(4)-g(1)=4\) și \(g^2(4)-g^2(1)=4-4=0\), deci integrala este \(4a+0=4a\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).
Răspuns: integrala este egală cu \(4a\) (termenul cu \(b\) se anulează, deoarece \(g^2(4)=g^2(1)=4\)).
Vezi și: Primitive, Schimbarea de variabilă.
Ce s-a cerut la simularea Bac 2024 M2
Subiectul I a cuprins numere complexe, funcția de gradul I, o ecuație cu logaritmi, o problemă de numărare, geometrie analitică și aria unui triunghi dreptunghic. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți și o lege de compoziție cu radical, iar Subiectul al III-lea derivate, ecuația tangentei, monotonie și integrale definite.
Subiectul și baremul oficial au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE pe subiecte.edu.ro, în secțiunea simulării Bacalaureatului 2024 pentru clasa a XII-a.
Întrebări frecvente
Contează simularea Bac 2024 la nota finală? Nu. Simularea din 4–7 martie 2024 este un exercițiu de pregătire și diagnostic pentru elevii de clasa a XII-a; nota obținută nu intră în media de la Bacalaureat. Ea arată însă foarte bine ce nivel ai înainte de examenul din iunie, pentru că structura și baremul sunt identice cu cele de la examen.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2024 M2? De obicei II.2 c): cheia este să observi că \(n(n+2)+1=(n+1)^2\) și \((n+2)(n+4)+1=(n+3)^2\), astfel încât radicalii dispar și expresia devine \(n+4\).
Alte subiecte
Bac 2024 M2 rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Simulare Bac 2026 M2 rezolvată · Simulare Bac 2025 M2 rezolvată
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.