Bac 2026 M3 tehnologic august

Q: Care a fost cel mai dificil item la Bac 2026 M3, sesiunea august?

De obicei III.2 c): (1)/(f(x))=(x+2)e^-x, iar integrala se calculează prin părți, scriind e^-x=≤ft(-e^-x)'.

Subiectul oficial de la Bacalaureat 2026, proba E.c) Matematică M_tehnologic (M3), sesiunea a doua (de toamnă), august–septembrie, Varianta 4, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba s-a susținut pe 11 august 2026, în a doua sesiune a Bacalaureatului, de candidații din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse naturale și protecția mediului și tehnic, toate calificările profesionale). Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ (adevărat)
I.2	$a = 6$
I.3	$x = - 1$
I.4	$40$ de lei
I.5	$O B = 10 = 2 \cdot 5 = 2 A B$
I.6	$A = 4 \sqrt{5}$
II.1	a) $1$ ; b) adevărat; c) $X = (\begin{matrix} - 5 & 2 \\ 6 & 1 \end{matrix})$
II.2	a) $7$ ; b) $m = 8$ ; c) $3, - \sqrt{2}, \sqrt{2}$
III.1	b) $y = - 2$ ; c) $y = x - 3$
III.2	a) $e - 1$ ; b) $2 \ln 2$ ; c) $a = 3$

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu fracții)

Arătați că

\frac{1}{5} \cdot (3 + \frac{1}{3}) + \frac{4}{3} = 2

Vezi rezolvarea

Calculăm întâi paranteza, apoi produsul:

$3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3},$

$\frac{1}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{2}{3} .$

$\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2.$

Răspuns: $\frac{1}{5} \cdot (3 + \frac{1}{3}) + \frac{4}{3} = 2$ .

Vezi și: Operații cu fracții.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 2 x - 3

. Determinați numărul real

a

pentru care

f (a) - f (4) = 4

Vezi rezolvarea

$f (4) = 8 - 3 = 5,$

$f (a) = 2 a - 3.$

Ecuația devine $2 a - 3 - 5 = 4$ , adică $2 a = 12$ , deci $a = 6$ .

Răspuns: $a = 6$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

2^{1 - x} = 2^{3 + x}

Vezi rezolvarea

Puterile au aceeași bază, iar funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali:

$1 - x = 3 + x \Rightarrow - 2 = 2 x \Rightarrow x = - 1.$

Răspuns: $x = - 1$ .

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Subiectul I.4 (5p · procente)

După o scumpire cu

20 %

, un obiect costă

48

de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $x$ prețul înainte de scumpire. După scumpire, prețul este $x$ plus $20 %$ din $x$ :

$x + \frac{20}{100} \cdot x = 48 \Rightarrow \frac{6 x}{5} = 48 \Rightarrow x = 40.$

Verificare: $20 %$ din $40$ înseamnă $8$ lei, iar $40 + 8 = 48$ . ✓

Răspuns: prețul înainte de scumpire era $40$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Subiectul I.5 (5p · distanța dintre două puncte)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (2, 5)

și

B (6, 8)

. Arătați că

O B = 2 A B

Vezi rezolvarea

Folosim formula distanței dintre două puncte, cu $O (0, 0)$ :

$O B = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10,$

$A B = \sqrt{(6 - 2)^{2} + (8 - 5)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5.$

Prin urmare $O B = 10 = 2 \cdot 5 = 2 A B$ .

Răspuns: $O B = 10$ și $A B = 5$ , deci $O B = 2 A B$ .

Vezi și: Distanța dintre două puncte.

Subiectul I.6 (5p · aria triunghiului dreptunghic)

Se consideră triunghiul

A B C

, dreptunghic în

A

, cu

A B = 4

și

B C = 6

. Arătați că aria triunghiului

A B C

este egală cu

4 \sqrt{5}

Vezi rezolvarea

Din teorema lui Pitagora aflăm cealaltă catetă:

$A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} .$

Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor:

$A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{4 \cdot 2 \sqrt{5}}{2} = 4 \sqrt{5} .$

Răspuns: $A_{A B C} = 4 \sqrt{5}$ .

Vezi și: Teorema lui Pitagora, Aria triunghiului.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A (a) = (\begin{matrix} 1 & a - 1 \\ 3 a - 3 & 3 a - 2 \end{matrix})$ , unde $a$ este număr real.

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Arătați că

det (A (2)) = 1

Vezi rezolvarea

$A (2) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}),$

$det (A (2)) = 1 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 4 - 3 = 1.$

Răspuns: $det (A (2)) = 1$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Arătați că

2 A (2) + A (5) = 3 A (3)

Vezi rezolvarea

$A (5) = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 12 & 13 \end{matrix}),$

$A (3) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 6 & 7 \end{matrix}) .$

$2 A (2) + A (5) = (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 6 & 8 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 12 & 13 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 6 \\ 18 & 21 \end{matrix}) = 3 (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 6 & 7 \end{matrix}) = 3 A (3) .$

Răspuns: $2 A (2) + A (5) = 3 A (3)$ .

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)

Determinați matricea

X \in M_{2} (R)

pentru care

2 X \cdot A (2) - A (2) = A (6)

Vezi rezolvarea

Ecuația se scrie $2 X \cdot A (2) = A (6) + A (2)$ . Cum $det (A (2)) = 1 \neq 0$ , matricea $A (2)$ este inversabilă și

$X = \frac{1}{2} (A (6) + A (2)) \cdot (A (2))^{- 1} .$

$(A (2))^{- 1} = (\begin{matrix} 4 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{matrix}),$

$A (6) + A (2) = (\begin{matrix} 1 & 5 \\ 15 & 16 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 6 \\ 18 & 20 \end{matrix}) .$

$X = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 2 & 6 \\ 18 & 20 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} - 10 & 4 \\ 12 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 & 2 \\ 6 & 1 \end{matrix}) .$

Verificare: $X \cdot A (2) = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 9 & 10 \end{matrix})$ , deci $2 X \cdot A (2) - A (2) = (\begin{matrix} 1 & 5 \\ 15 & 16 \end{matrix}) = A (6)$ . ✓

Răspuns: $X = (\begin{matrix} - 5 & 2 \\ 6 & 1 \end{matrix})$ .

Vezi și: Matrice inversabilă.

2. Se consideră polinomul $f = X^{3} - 3 X^{2} - 2 X + m$ , unde $m$ este număr real.

Subiectul II.2 a) (5p · valoarea unui polinom)

Pentru

m = 9

, arătați că

f (- 1) = 7

Vezi rezolvarea

Pentru $m = 9$ , $f = X^{3} - 3 X^{2} - 2 X + 9$ , deci

$f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 \cdot (- 1)^{2} - 2 \cdot (- 1) + 9 = - 1 - 3 + 2 + 9 = 7.$

Răspuns: $f (- 1) = 7$ .

Vezi și: Polinoame.

Subiectul II.2 b) (5p · rădăcină a unui polinom)

Determinați numărul real

m

pentru care

2

este rădăcină a polinomului

f

Vezi rezolvarea

$2$ este rădăcină dacă $f (2) = 0$ :

$f (2) = 8 - 12 - 4 + m = m - 8.$

Din $m - 8 = 0$ obținem $m = 8$ .

Răspuns: $m = 8$ .

Subiectul II.2 c) (5p · teorema restului)

Știind că restul împărțirii polinomului

f

la polinomul

g = X - 4

este egal cu

14

, determinați rădăcinile polinomului

f

Vezi rezolvarea

Conform teoremei restului, restul împărțirii lui $f$ la $X - 4$ este $f (4)$ :

$f (4) = 64 - 48 - 8 + m = 8 + m = 14 \Rightarrow m = 6.$

Descompunem prin grupare:

$f = X^{3} - 3 X^{2} - 2 X + 6 = X^{2} (X - 3) - 2 (X - 3) = (X - 3) (X^{2} - 2) .$

Rădăcinile sunt $x_{1} = 3$ și, din $X^{2} = 2$ , $x_{2} = - \sqrt{2}$ , $x_{3} = \sqrt{2}$ .

Răspuns: $m = 6$ , iar rădăcinile lui $f$ sunt $3$ , $- \sqrt{2}$ și $\sqrt{2}$ .

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (- 3, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x + 3}$ .

Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)

Arătați că

f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 5}{(x + 3)^{2}}

x \in (- 3, + \infty)

Vezi rezolvarea

Aplicăm regula de derivare a câtului, ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ :

$f^{'} (x) = \frac{{(x^{2} - 5)}^{'} (x + 3) - (x^{2} - 5) (x + 3)^{'}}{(x + 3)^{2}} = \frac{2 x (x + 3) - (x^{2} - 5)}{(x + 3)^{2}} .$

$f^{'} (x) = \frac{2 x^{2} + 6 x - x^{2} + 5}{(x + 3)^{2}} = \frac{x^{2} + 6 x + 5}{(x + 3)^{2}}, x \in (- 3, + \infty) .$

Răspuns: $f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 5}{(x + 3)^{2}}$ .

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Subiectul III.1 b) (5p · ecuația tangentei)

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

f

în punctul de abscisă

x = - 1

, situat pe graficul funcției

f

Vezi rezolvarea

$f (- 1) = \frac{1 - 5}{2} = - 2,$

$f^{'} (- 1) = \frac{1 - 6 + 5}{4} = 0.$

Ecuația tangentei: $y - f (- 1) = f^{'} (- 1) (x + 1)$ , adică $y + 2 = 0$ .

Răspuns: $y = - 2$ .

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Subiectul III.1 c) (5p · asimptota oblică)

Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției

f

Vezi rezolvarea

Domeniul este $(- 3, + \infty)$ , deci căutăm asimptota oblică spre $+ \infty$ , de forma $y = m x + n$ :

$m = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 5}{x (x + 3)} = lim_{x \to + \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x}} = 1.$

$n = lim_{x \to + \infty} (f (x) - x) = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 5 - x^{2} - 3 x}{x + 3} = lim_{x \to + \infty} \frac{- 3 x - 5}{x + 3} = - 3.$

Prin urmare dreapta de ecuație $y = x - 3$ este asimptota oblică spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .

Răspuns: $y = x - 3$ .

Vezi și: Asimptote oblice, Calculator asimptote.

2. Se consideră funcția $f : (- 2, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{e^{x}}{x + 2}$ .

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Arătați că

\int_{0}^{1} (x + 2) \cdot f (x) d x = e - 1

Vezi rezolvarea

$(x + 2) \cdot f (x) = e^{x}$ . Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$\int_{0}^{1} e^{x} d x = {e^{x} |}_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1.$

Răspuns: integrala este egală cu $e - 1$ .

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Subiectul III.2 b) (5p · integrală cu logaritm)

Arătați că

\int_{0}^{6} \frac{f (x)}{e^{x}} d x = 2 \ln 2

Vezi rezolvarea

$\frac{f (x)}{e^{x}} = \frac{1}{x + 2} = \frac{(x + 2)^{'}}{x + 2}$ , deci

$\int_{0}^{6} \frac{(x + 2)^{'}}{x + 2} d x = {\ln (x + 2) |}_{0}^{6} = \ln 8 - \ln 2 = \ln 4 = 2 \ln 2.$

Răspuns: integrala este egală cu $2 \ln 2$ .

Vezi și: Tabel integrale nedefinite, Logaritmi.

Subiectul III.2 c) (5p · integrare prin părți)

Determinați numărul real

a

pentru care

\int_{0}^{1} (a - \frac{1}{f (x)}) d x = \frac{4}{e}

Vezi rezolvarea

$\frac{1}{f (x)} = (x + 2) e^{- x}$ , deci

$\int_{0}^{1} (a - \frac{1}{f (x)}) d x = {a x |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (x + 2) e^{- x} d x$

$= a - \int_{0}^{1} (x + 2) {(- e^{- x})}^{'} d x .$

Integrăm prin părți:

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(- e^{- x})}^{'} d x = {- (x + 2) e^{- x} |}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

$= (- \frac{3}{e} + 2) + (1 - \frac{1}{e}) = 3 - \frac{4}{e} .$

Integrala inițială este $a - 3 + \frac{4}{e}$ . Din $a - 3 + \frac{4}{e} = \frac{4}{e}$ obținem $a = 3$ .

Răspuns: $a = 3$ .

Vezi și: Integrarea prin părți.

Ce s-a cerut la Bac 2026 M3, sesiunea august

Subiectul I a cuprins un calcul cu fracții, funcția de gradul I, o ecuație exponențială, o problemă cu procente, distanța dintre două puncte și aria unui triunghi dreptunghic. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți, cu o ecuație matriceală rezolvată cu inversa, și un polinom de gradul al treilea (teorema restului, descompunere în factori), iar Subiectul al III-lea derivata unui cât, tangenta, asimptota oblică și integrale definite, inclusiv o integrare prin părți.

Varianta 4 este subiectul principal al probei; pentru situațiile speciale, Ministerul a folosit la profilul tehnologic și o variantă de rezervă (Varianta 5). Subiectul și baremul oficial (Varianta 4, proba din 11 august 2026) au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare) în ziua probei, pe subiecte.edu.ro, în arhiva sesiunii august–septembrie 2026.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2026 matematică M3 în sesiunea de toamnă? La proba de matematică M_tehnologic din 11 august 2026 (a doua sesiune a Bacalaureatului) s-a dat Varianta 4, varianta principală, aceeași pentru toate profilurile filierei tehnologice. Ministerul a folosit și o variantă de rezervă (Varianta 5), destinată situațiilor speciale prevăzute de procedura de examen. Toți cei 18 itemi ai Variantei 4 sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M3 și cum se punctează? Proba durează 3 ore, la fel ca în sesiunea din iunie–iulie. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2026 M3, sesiunea august? De obicei III.2 c): $\frac{1}{f (x)} = (x + 2) e^{- x}$ , iar integrala se calculează prin părți, scriind $e^{- x} = {(- e^{- x})}^{'}$ .

Alte subiecte

Bac 2026 M3 tehnologic rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Bac 2025 M3 tehnologic rezolvat — sesiunea august · Bac 2024 M3 tehnologic rezolvat — sesiunea august

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Bacalaureat 2026 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Răspunsuri pe scurt

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu fracții)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Subiectul I.4 (5p · procente)

Subiectul I.5 (5p · distanța dintre două puncte)

Subiectul I.6 (5p · aria triunghiului dreptunghic)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)

Subiectul II.2 a) (5p · valoarea unui polinom)

Subiectul II.2 b) (5p · rădăcină a unui polinom)

Subiectul II.2 c) (5p · teorema restului)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)

Subiectul III.1 b) (5p · ecuația tangentei)

Subiectul III.1 c) (5p · asimptota oblică)

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Subiectul III.2 b) (5p · integrală cu logaritm)

Subiectul III.2 c) (5p · integrare prin părți)

Ce s-a cerut la Bac 2026 M3, sesiunea august

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe