Bacalaureat 2025 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate

Subiectele oficiale de la Bacalaureat 2025, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii), sesiunea iunie–iulie, Varianta 1, rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2.

Răspunsuri pe scurt

ItemRăspuns
I.1\(a_3=26\)
I.2\(a=-2\)
I.3\(x\in\{0,\,4\}\)
I.4\(10\) numere
I.5\(AO=AC=5\)
I.6\(BC=6\)
II.1a) \(\det A=2\); b) \(AB=BA=I_2\); c) \(X=\begin{pmatrix}4&-8\\1&-1\end{pmatrix}\)
II.2a) \(1*4=3\); b) \(x\in\{0,\,7\}\); c) \(x=1\)
III.1b) \(y=0\); c) \(a=\frac23\)
III.2a) \(4\); b) \(\frac1{18}\); c) \(m=7\)

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Determinați termenul \(a_3\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n\ge1}\), în care \(a_1=4\) și \(a_2=15\).
Vezi rezolvarea

Rația progresiei aritmetice este \(r=a_2-a_1=15-4=11\).

\[ a_3=a_2+r=15+11=26. \]

Răspuns: \(a_3=26\).

Vezi și: Progresia aritmetică.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-2\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)+f(2)=2a\).
Vezi rezolvarea

\(f(2)=3\cdot2-2=4\) și \(f(a)=3a-2\). Ecuația devine

\[ 3a-2+4=2a \;\Rightarrow\; 3a+2=2a \;\Rightarrow\; a=-2. \]

Verificare: \(f(-2)+f(2)=-8+4=-4=2\cdot(-2)\). ✓

Răspuns: \(a=-2\).

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_2\left(x^2-3x+2\right)=\log_2(2+x)\).
Vezi rezolvarea

Condiții de existență: \(x^2-3x+2>0\) și \(2+x>0\).

Egalăm argumentele (logaritmul este injectiv):

\[ x^2-3x+2=2+x \;\Rightarrow\; x^2-4x=0 \;\Rightarrow\; x(x-4)=0, \]

deci \(x=0\) sau \(x=4\).

Verificare: pentru \(x=0\): \(x^2-3x+2=2>0\) și \(2+x=2>0\); pentru \(x=4\): \(16-12+2=6>0\) și \(2+4=6>0\). Ambele convin.

Răspuns: \(S=\{0,\,4\}\).

Vezi și: Logaritmi — proprietăți și ecuații.

Subiectul I.4 (5p · numărare, regula produsului)

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii \(A=\{1,2,3,5,7,8\}\).
Vezi rezolvarea

Un număr este par dacă cifra unităților este pară. În \(A\) cifrele pare sunt \(2\) și \(8\), deci cifra unităților se poate alege în \(2\) moduri.

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi oricare dintre celelalte \(5\) elemente ale lui \(A\) (cifrele sunt distincte, iar \(0\notin A\)). Conform regulii produsului:

\[ 2\cdot5=10 \text{ numere}. \]

Ele sunt: \(12, 32, 52, 72, 82, 18, 28, 38, 58, 78\).

Răspuns: se pot forma \(10\) numere.

Vezi și: Combinatorică, Calculator combinări, aranjamente, permutări.

Subiectul I.5 (5p · geometrie analitică)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,5)\), \(B(8,4)\) și \(C\), mijlocul segmentului \(OB\). Arătați că \(AO=AC\).
Vezi rezolvarea

Mijlocul segmentului \(OB\), cu \(O(0,0)\): \(C\left(\frac{0+8}{2},\frac{0+4}{2}\right)=C(4,2)\).

\[ AO=\sqrt{0^2+5^2}=5, \]

\[ AC=\sqrt{(4-0)^2+(2-5)^2}=\sqrt{16+9}=5. \]

Răspuns: \(AO=AC=5\).

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB=4\) și \(\cos B=\frac23\). Arătați că \(BC=6\).
Vezi rezolvarea

În triunghiul dreptunghic în \(A\), \(\cos B=\dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}=\dfrac{AB}{BC}\). Deci

\[ \frac23=\frac{4}{BC} \;\Rightarrow\; BC=\frac{3\cdot4}{2}=6. \]

Răspuns: \(BC=6\).

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Tabel trigonometric.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A=\begin{pmatrix}-2&8\\-1&3\end{pmatrix}\).

Subiectul II.1 b) (5p · inversa unei matrice)

Arătați că matricea \(B=\frac12\left(I_2-A\right)\) este inversa matricei \(A\).
Vezi rezolvarea

\[ I_2-A=\begin{pmatrix}3&-8\\1&-2\end{pmatrix}, \]

\[ B=\begin{pmatrix}\frac32&-4\\\frac12&-1\end{pmatrix}. \]

\[ A\cdot B=\begin{pmatrix}-3+4&8-8\\-\frac32+\frac32&4-3\end{pmatrix}=I_2, \]

\[ B\cdot A=\begin{pmatrix}-3+4&12-12\\-1+1&4-3\end{pmatrix}=I_2. \]

Cum \(A\cdot B=B\cdot A=I_2\), matricea \(B\) este inversa matricei \(A\).

Răspuns: \(B=A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac32&-4\\\frac12&-1\end{pmatrix}\).

Vezi și: Matrice inversabilă.

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)

Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \(\left(A-I_2\right)\cdot X=2A\).
Vezi rezolvarea

Din punctul b), \(A^{-1}=\frac12(I_2-A)\), deci \(A-I_2=-2A^{-1}\). Ecuația devine

\[ -2A^{-1}\cdot X=2A \;\Rightarrow\; A^{-1}X=-A \;\Rightarrow\; X=-A\cdot A. \]

\[ A\cdot A=\begin{pmatrix}4-8&-16+24\\2-3&-8+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&8\\-1&1\end{pmatrix}, \]

\[ X=\begin{pmatrix}4&-8\\1&-1\end{pmatrix}. \]

Verificare:

\[ (A-I_2)X=\begin{pmatrix}-3&8\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-8\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&16\\-2&6\end{pmatrix}=2A. \]

Răspuns: \(X=\begin{pmatrix}4&-8\\1&-1\end{pmatrix}\).

2. Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=x+y-\sqrt{xy}\).

Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)

Arătați că \(1*4=3\).
Vezi rezolvarea

\[ 1*4=1+4-\sqrt{1\cdot4}=5-2=3. \]

Răspuns: \(1*4=3\).

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 b) (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Determinați \(x\in M\) pentru care \(x*(9x)=x^2\).
Vezi rezolvarea

Pentru \(x\ge0\), \(\sqrt{9x^2}=3x\), deci

\[ x*(9x)=x+9x-\sqrt{9x^2}=10x-3x=7x. \]

Ecuația \(7x=x^2\) devine \(x(x-7)=0\), deci \(x=0\) sau \(x=7\); ambele aparțin lui \(M\).

Răspuns: \(x\in\{0,\,7\}\).

Subiectul II.2 c) (5p · ecuație exponențială)

Determinați numărul real \(x\) pentru care \(2^x*2^{x+2}=6^x\).
Vezi rezolvarea

Cum \(2^{x+2}=4\cdot2^x\) și \(\sqrt{2^x\cdot2^{x+2}}=\sqrt{2^{2x+2}}=2^{x+1}=2\cdot2^x\):

\[ 2^x*2^{x+2}=2^x+4\cdot2^x-2\cdot2^x=3\cdot2^x. \]

Ecuația devine \(3\cdot2^x=6^x=2^x\cdot3^x\). Împărțind la \(2^x>0\): \(3^x=3\), deci \(x=1\).

Răspuns: \(x=1\).

Vezi și: Ecuații exponențiale, Puteri.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2\sqrt x}{x^2+x+2}\).

Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)

Arătați că \(f'(x)=\dfrac{-3x^2-x+2}{\left(x^2+x+2\right)^2\sqrt x}\), \(x\in(0,+\infty)\).
Vezi rezolvarea

Folosim \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=2\sqrt x\), \(u'=\frac{1}{\sqrt x}\), \(v=x^2+x+2\), \(v'=2x+1\):

\[ f'(x)=\frac{\frac{1}{\sqrt x}\left(x^2+x+2\right)-2\sqrt x\,(2x+1)}{\left(x^2+x+2\right)^2}. \]

Amplificăm fracția cu \(\sqrt x\) (folosind \(\sqrt x\cdot\sqrt x=x\)):

\[ f'(x)=\frac{x^2+x+2-4x^2-2x}{\left(x^2+x+2\right)^2\sqrt x}=\frac{-3x^2-x+2}{\left(x^2+x+2\right)^2\sqrt x}. \]

Răspuns: formula derivatei este demonstrată.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Subiectul III.1 b) (5p · asimptotă orizontală)

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).
Vezi rezolvarea

Împărțim numărătorul și numitorul la \(\sqrt x\):

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\sqrt x}{x^2+x+2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x\sqrt x+\sqrt x+\frac{2}{\sqrt x}}=0. \]

Limita este finită, deci dreapta \(y=0\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\).

Răspuns: \(y=0\).

Vezi și: Asimptote orizontale, Calculator asimptote.

Subiectul III.1 c) (5p · tangentă paralelă cu Ox)

Determinați \(a\in(0,+\infty)\) pentru care tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul \(A\big(a,f(a)\big)\) este paralelă cu axa \(Ox\).
Vezi rezolvarea

Tangenta este paralelă cu \(Ox\) dacă și numai dacă panta ei este \(0\), adică \(f'(a)=0\):

\[ \frac{-3a^2-a+2}{\left(a^2+a+2\right)^2\sqrt a}=0 \;\Rightarrow\; 3a^2+a-2=0 \;\Rightarrow\; (3a-2)(a+1)=0. \]

Obținem \(a=-1\), care nu convine (\(a>0\)), sau \(a=\frac23\), care convine.

Răspuns: \(a=\dfrac23\).

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic, Calculator ecuația de gradul 2.

2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+3x+3\).

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\big(f(x)-3x-3\big)\,dx=4\).
Vezi rezolvarea

\(f(x)-3x-3=x^3\), deci

\[ \int_0^2x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^2=\frac{16}{4}-0=4. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(4\).

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Subiectul III.2 b) (5p · integrală de tip u'/u²)

Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\big(f(x)-x^3\big)^2}\,dx=\frac{1}{18}\).
Vezi rezolvarea

\(f(x)-x^3=3x+3\). Cum \((3x+3)'=3\), scriem

\[ \int_0^1\frac{dx}{(3x+3)^2}=\frac13\int_0^1\frac{(3x+3)'}{(3x+3)^2}\,dx=\left.-\frac13\cdot\frac{1}{3x+3}\right|_0^1. \]

\[ =-\frac13\cdot\frac16+\frac13\cdot\frac13=-\frac1{18}+\frac19=\frac1{18}. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac{1}{18}\).

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.

Subiectul III.2 c) (5p · integrare prin părți)

Determinați numărul real \(m\) pentru care \(\displaystyle\int_1^e\frac{f(x)-3}{x^2}\cdot\ln x\,dx=\frac{e^2+m}{4}\).
Vezi rezolvarea

\(\dfrac{f(x)-3}{x^2}=\dfrac{x^3+3x}{x^2}=x+\dfrac3x\), deci integrala este

\[ I=\int_1^e x\ln x\,dx+\int_1^e\frac{3\ln x}{x}\,dx. \]

Prima integrală (prin părți, cu \(\left(\frac{x^2}{2}\right)'=x\)):

\[ \int_1^e x\ln x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\ln x\right|_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx=\frac{e^2}{2}-\left.\frac{x^2}{4}\right|_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac14=\frac{e^2+1}{4}. \]

A doua integrală (cu \((\ln x)'=\frac1x\)):

\[ \int_1^e\frac{3\ln x}{x}\,dx=\left.\frac{3\ln^2x}{2}\right|_1^e=\frac32=\frac64. \]

Deci \(I=\dfrac{e^2+1}{4}+\dfrac64=\dfrac{e^2+7}{4}\). Din \(\dfrac{e^2+m}{4}=\dfrac{e^2+7}{4}\) obținem \(m=7\).

Răspuns: \(m=7\).

Vezi și: Primitive și integrare prin părți.

Ce s-a cerut la Bac 2025 M2

Subiectul I a verificat progresiile aritmetice, funcția de gradul I, o ecuație logaritmică, numărarea cu regula produsului, geometria analitică și trigonometria în triunghiul dreptunghic. Subiectul al II-lea a avut matrice inversabile și o lege de compoziție cu radical, iar Subiectul al III-lea derivate, asimptote și integrale definite (inclusiv integrare prin părți).

Subiectul și baremul oficial (arhiva ZIP a sesiunii iunie 2025) se găsesc pe subiecte2025.edu.ro.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2025 la matematică M_șt-nat? În sesiunea iunie–iulie 2025 s-a extras Varianta 1. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus, cu răspunsurile verificate.

Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Cum mă pregătesc pentru Subiectul al III-lea la M2? Exersează derivatele (produs, cât, radical), limitele și asimptotele, apoi integralele: tabelul de primitive, formula Leibniz–Newton, integrarea prin părți și calculul ariilor.

← Bac 2026 M2 rezolvat · Bac 2024 M2 rezolvat →

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.