Subiectul I.1 (5p · numere complexe)
Arătați că \(3(4-i)+3i(1+i)=9\), unde \(i^2=-1\).
Vezi rezolvarea
Desfacem parantezele și folosim \(i^2=-1\):
Răspuns: rezultatul este \(9\).
Vezi și: Numere complexe.
Bacalaureat 2021 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate, sesiunea august–septembrie
Subiectele oficiale de la Bacalaureat 2021, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii) din a doua sesiune, august–septembrie (sesiunea de toamnă), Varianta 4, rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Proba s-a susținut pe 17 august 2021; fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată și răspunsul final evidențiat.
Proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2. Subiectul din sesiunea iunie–iulie a aceluiași an îl găsești la Bac 2021 M2 rezolvat (iunie).
Răspunsuri pe scurt
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(9\) |
| I.2 | \((f\circ f)(2)=-4\) |
| I.3 | \(x=1\) |
| I.4 | \(p=\frac{1}{10}\) |
| I.5 | \(a=6\) |
| I.6 | \(E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0\) |
| II.1 | a) \(0\); b) \(\det A(x,y)=x^2-y^2\); c) \((0,1)\) și \((0,-1)\) |
| II.2 | a) \(2\); b) \(x+\frac1x+3\ge5\); c) \(4^{mn}+m+n-1\) impar |
| III.1 | b) \(y=1\); c) \(f(x)\ge f(1)=1\) |
| III.2 | a) \(2\); b) \(\frac{e^2+1}{e}\); c) \(f(x)\ge f(-1)=-\frac1e\) |
Subiectul I (30 de puncte)
Subiectul I.2 (5p · compunerea funcțiilor)
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-4\). Calculați \((f\circ f)(2)\).
Vezi rezolvarea
\((f\circ f)(2)=f\big(f(2)\big)\). Calculăm din interior spre exterior:
Răspuns: \((f\circ f)(2)=-4\).
Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_3\left(x^2-2x+4\right)=1\).
Vezi rezolvarea
Condiția de existență: \(x^2-2x+4=(x-1)^2+3\gt0\), adevărată pentru orice \(x\) real.
Din definiția logaritmului, \(\log_3 u=1\Leftrightarrow u=3^1=3\):
Verificare: \(\log_3(1-2+4)=\log_3 3=1\). ✓
Răspuns: \(x=1\).
Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.
Subiectul I.4 (5p · probabilitate)
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu \(10\).
Vezi rezolvarea
Cazuri posibile: numerele de două cifre sunt \(10, 11, \dots, 99\), adică \(90\) de numere.
Cazuri favorabile: numerele de două cifre divizibile cu \(10\) sunt \(10, 20, \dots, 90\), adică \(9\) numere.
Răspuns: \(p=\dfrac{1}{10}\).
Vezi și: Probabilități.
Subiectul I.5 (5p · puncte coliniare)
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,4)\) și \(B(3,a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\), știind că punctele \(O\), \(A\) și \(B\) sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
Punctele \(O\), \(A\), \(B\) sunt coliniare dacă dreptele \(OA\) și \(OB\) au aceeași pantă:
\(m_{OA}=m_{OB}\Leftrightarrow \frac a3=2\Leftrightarrow a=6\).
Verificare: \(B(3,6)\) se află pe dreapta \(y=2x\), ca și \(O\) și \(A\). ✓
Răspuns: \(a=6\).
Vezi și: Panta unei drepte, Calculator ecuația dreptei.
Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)
Se consideră \(E(x)=\cos x+\cos2x+\cos3x\), unde \(x\) este număr real. Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x=\frac{\pi}{4}\): \(2x=\frac{\pi}{2}\) și \(3x=\frac{3\pi}{4}\). Valorile necesare (\(\frac{3\pi}{4}\) este în cadranul al II-lea, unde cosinusul este negativ):
Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0\).
Vezi și: Tabel trigonometric.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x,y)=\begin{pmatrix}x+3y&4y\\-2y&x-3y\end{pmatrix}\), unde \(x\) și \(y\) sunt numere reale.
Subiectul II.1 a) (5p · determinant)
Arătați că \(\det\big(A(1,1)\big)=0\).
Vezi rezolvarea
Răspuns: \(\det\big(A(1,1)\big)=0\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Subiectul II.1 b) (5p · matrice inversabilă)
Demonstrați că, dacă matricea \(A(x,y)\) este inversabilă, atunci \(|x|\neq|y|\).
Vezi rezolvarea
Calculăm determinantul:
pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).
O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci, dacă \(A(x,y)\) este inversabilă, atunci \(x^2-y^2\neq0\), adică \(x^2\neq y^2\), de unde \(|x|\neq|y|\).
Răspuns: \(\det A(x,y)=x^2-y^2\neq0\), deci \(|x|\neq|y|\).
Vezi și: Matrice inversabilă.
Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală în numere întregi)
Determinați perechile \((m,n)\), de numere întregi, pentru care \(A(m,n)\cdot A(-m,n)=I_2\).
Vezi rezolvarea
Înmulțim linie cu coloană:
• elementul \((1,1)\): \((m+3n)(-m+3n)-8n^2=9n^2-m^2-8n^2=n^2-m^2\);
• elementul \((1,2)\): \(4n(m+3n)+4n(-m-3n)=0\);
• elementul \((2,1)\): \(-2n(-m+3n)-2n(m-3n)=0\);
• elementul \((2,2)\): \(-8n^2+(m-3n)(-m-3n)=-8n^2+9n^2-m^2=n^2-m^2\).
Egalitatea cu \(I_2\) revine la \(n^2-m^2=1\), adică \((n-m)(n+m)=1\). Factorii sunt numere întregi, deci ambii sunt \(1\) sau ambii sunt \(-1\):
• \(n-m=1\), \(n+m=1\): \(n=1\), \(m=0\);
• \(n-m=-1\), \(n+m=-1\): \(n=-1\), \(m=0\).
Răspuns: \((m,n)\in\{(0,1),\,(0,-1)\}\).
2. Pe mulțimea \(A=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x\circ y=4^{xy}-(1-x-y)\).
Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)
Arătați că \(2\circ0=2\).
Subiectul II.2 b) (5p · inegalitate)
Arătați că \(x\circ\dfrac1x\ge5\), pentru orice \(x\in A\), \(x\neq0\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\gt0\), exponentul este \(x\cdot\frac1x=1\), deci
Aducem la același numitor primii trei termeni:
pentru că numărătorul este un pătrat, iar \(x\gt0\). Așadar
pentru orice \(x\in A\), \(x\neq0\) (cu egalitate pentru \(x=1\)).
Răspuns: \(x\circ\frac1x=\frac{(x-1)^2}{x}+5\ge5\).
Subiectul II.2 c) (5p · paritate)
Demonstrați că, dacă \(m\) și \(n\) sunt numere naturale impare, atunci \(m\circ n\) este număr natural impar.
Vezi rezolvarea
Scriem legea astfel: \(m\circ n=4^{mn}+m+n-1\).
• \(m\) și \(n\) sunt naturale impare, deci \(m\ge1\) și \(n\ge1\), de unde \(mn\ge1\). Atunci \(4^{mn}=4\cdot4^{mn-1}\) este număr natural par.
• Suma a două numere impare este pară, deci \(m+n\) este par și \(m+n\ge2\); atunci \(m+n-1\) este număr natural impar.
Suma dintre un număr natural par și un număr natural impar este un număr natural impar, deci \(m\circ n=4^{mn}+m+n-1\) este număr natural impar.
Exemplu: \(1\circ1=4+1+1-1=5\), impar. ✓
Răspuns: \(m\circ n=4^{mn}+(m+n-1)\) = par + impar, deci este număr natural impar.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-3\ln x\).
Subiectul III.1 a) (5p · derivată)
Arătați că \(f'(x)=\dfrac{3(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x}\), \(x\in(0,+\infty)\).
Vezi rezolvarea
Folosim formula diferenței de cuburi \(x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)\):
Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{3(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x}\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
Subiectul III.1 b) (5p · ecuația tangentei)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=1\), situat pe graficul funcției \(f\).
Vezi rezolvarea
Ecuația tangentei în punctul de abscisă \(1\) este \(y-f(1)=f'(1)(x-1)\):
Tangenta este orizontală (paralelă cu axa \(Ox\)), pentru că \(x=1\) este punct critic al lui \(f\).
Răspuns: \(y=1\).
Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.
Subiectul III.1 c) (5p · inegalitate prin monotonie)
Demonstrați că \(x^3\ge3\ln x+1\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).
Vezi rezolvarea
Pe \((0,+\infty)\), \(x^2+x+1\gt0\) și \(x\gt0\), deci semnul lui \(f'(x)\) este semnul lui \(x-1\); \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\).
• pentru \(x\in(0,1]\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \((0,1]\);
• pentru \(x\in[1,+\infty)\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \([1,+\infty)\).
Prin urmare \(f(x)\ge f(1)=1\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), adică
Răspuns: \(f(x)\ge f(1)=1\), echivalent cu \(x^3\ge3\ln x+1\).
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=xe^x\).
Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\frac{f(x)}{e^x}\,dx=2\).
Vezi rezolvarea
Simplificăm prin \(e^x\gt0\): \(\dfrac{f(x)}{e^x}=x\). Atunci
Răspuns: integrala este egală cu \(2\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Subiectul III.2 b) (5p · integrală definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_{-1}^1\big(f(x)+e^x\big)\,dx=\frac{e^2+1}{e}\).
Vezi rezolvarea
Observăm că integrandul este o derivată: \(\left(xe^x\right)'=e^x+xe^x\). Deci
Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac{e^2+1}{e}\).
Vezi și: Primitive, Integrarea prin părți.
Subiectul III.2 c) (5p · inegalitate cu integrală)
Demonstrați că \(\displaystyle\int_{-1-a}^{-1+a}f(x)\,dx\ge-\frac{2a}{e}\), pentru orice \(a\in(0,+\infty)\).
Vezi rezolvarea
Studiem minimul lui \(f\): \(f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x\), deci \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\).
• pentru \(x\in(-\infty,-1]\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare;
• pentru \(x\in[-1,+\infty)\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare.
Așadar \(f(x)\ge f(-1)=-\frac1e\), pentru orice număr real \(x\).
Pentru \(a\gt0\), \(-1-a\lt-1+a\), iar integrarea păstrează inegalitatea:
iar
pentru orice \(a\in(0,+\infty)\).
Răspuns: din \(f(x)\ge f(-1)=-\frac1e\) rezultă \(\displaystyle\int_{-1-a}^{-1+a}f(x)\,dx\ge-\frac{2a}{e}\).
Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme, Proprietățile integralei definite.
Ce s-a cerut la Bac 2021 M2, sesiunea august–septembrie
Subiectul I a cuprins un calcul cu numere complexe, compunerea funcțiilor, o ecuație logaritmică, o probabilitate, coliniaritatea a trei puncte (prin pante) și valori trigonometrice. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți (inversabilitate, ecuație în numere întregi) și o lege de compoziție cu exponențială, iar Subiectul al III-lea derivate, tangenta la grafic, inegalități demonstrate prin monotonie și integrale definite.
Subiectul și baremul oficial (Varianta 4, proba din 17 august 2021) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE pe subiecte.edu.ro, în arhiva sesiunii august–septembrie 2021.
Întrebări frecvente
Ce variantă s-a dat la Bac 2021 matematică M2 în sesiunea de toamnă? În sesiunea august–septembrie 2021 (proba din 17 august) s-a extras Varianta 4 la toate profilurile de matematică. Toți cei 18 itemi de la M_șt-nat sunt rezolvați mai sus.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la Bac 2021 M2 din august? De obicei III.2 c): ideea este să se găsească minimul funcției, \(f(-1)=-\frac1e\), și apoi să se integreze inegalitatea \(f(x)\ge-\frac1e\) pe un interval de lungime \(2a\).
Bac 2021 M2 rezolvat (iunie–iulie) · Bac 2022 M2 rezolvat (august) · Bac 2020 M2 rezolvat (august)
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.