Simulare Bac 2021 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate

Amplificăm fracția cu conjugatul \(3-2i\) al numitorului:

\[ \frac{13}{3+2i}=\frac{13(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\frac{13(3-2i)}{9-4i^2}=\frac{13(3-2i)}{13}=3-2i. \]

\[ z+\frac{13}{z}=3+2i+3-2i=6. \]

Răspuns: \(z+\frac{13}{z}=6\).

Vezi și: Numere complexe.

\[ f\big(g(a)\big)=f\big(g(-a)\big)\;\Leftrightarrow\;3g(a)-5=3g(-a)-5\;\Leftrightarrow\;g(a)=g(-a). \]

\[ a^2+a=a^2-a \;\Leftrightarrow\; 2a=0 \;\Leftrightarrow\; a=0. \]

Răspuns: \(a=0\).

Vezi și: Funcția de gradul I.

Scriem \(9=3^2\) și aducem membrul drept la o singură putere a lui \(3\):

\[ 3^{3x+5}=3^2\cdot3^{x+1} \;\Leftrightarrow\; 3^{3x+5}=3^{x+3}. \]

Funcția exponențială este injectivă, deci \(3x+5=x+3\), adică \(2x=-2\), \(x=-1\). Verificare: \(3^2=9\cdot3^0=9\). ✓

Răspuns: \(x=-1\).

Vezi și: Ecuații exponențiale.

O mulțime cu \(4\) elemente are \(2^4=16\) submulțimi, deci sunt \(16\) cazuri posibile.

Submulțimile cu număr impar de elemente au \(1\) sau \(3\) elemente:

\[ C_4^1+C_4^3=4+4=8 \text{ cazuri favorabile}. \]

\[ p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{8}{16}=\frac12. \]

Răspuns: \(p=\frac12\).

Vezi și: Combinatorică, Probabilități.

Mediana din \(C\) unește \(C\) cu mijlocul \(M\) al laturii \(AB\): \(M\left(\frac{1+3}{2},\frac{3+5}{2}\right)=M(2,4)\).

\[ m_{CM}=\frac{4-6}{2-0}=-1. \]

Cum \(d\parallel CM\), \(m_d=-1\), iar \(d\) trece prin \(A(1,3)\):

\[ y-3=-1\cdot(x-1) \;\Leftrightarrow\; y=-x+4. \]

Răspuns: \(d:\ y=-x+4\).

Vezi și: Drepte paralele și perpendiculare, Coordonatele mijlocului unui segment.

Aplicăm teorema cosinusului pentru latura \(AC\), opusă unghiului \(B\), cu \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\):

\[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B \;\Rightarrow\; 12=4+BC^2-2\cdot2\cdot BC\cdot\frac12. \]

\[ BC^2-2BC-8=0 \;\Rightarrow\; (BC-4)(BC+2)=0. \]

Lungimea este pozitivă, deci \(BC=4\).

Răspuns: \(BC=4\).

Vezi și: Teorema cosinusului.

Dezvoltăm după linia a doua (singurul element nenul este \(a\), pe poziția \((2,2)\)) sau aplicăm regula lui Sarrus:

\[ \det\big(A(x)\big)=a(1+2x)(1-2x)-(-4x)\cdot a\cdot x=a\left(1-4x^2\right)+4ax^2=a, \]

pentru orice număr real \(x\).

Răspuns: \(\det\big(A(x)\big)=a\).

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Calculăm produsul linie cu coloană. De exemplu, elementele \((1,1)\) și \((1,3)\) sunt:

\[ (1+2x)(1+2y)+(-4x)\cdot y=1+2x+2y, \]

\[ (1+2x)(-4y)+(-4x)(1-2y)=-4(x+y). \]

Obținem:

\[ A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1+2(x+y)&0&-4(x+y)\\0&a^2&0\\x+y&0&1-2(x+y)\end{pmatrix}, \]

\[ A(x+y)=\begin{pmatrix}1+2(x+y)&0&-4(x+y)\\0&a&0\\x+y&0&1-2(x+y)\end{pmatrix}. \]

Matricele coincid pentru orice \(x,y\) dacă și numai dacă \(a^2=a\), adică \(a(a-1)=0\). Cum \(a\) este nenul, \(a=1\).

Răspuns: \(a=1\).

Pentru \(a=1\), din b) avem \(A(x)\cdot A(y)=A(x+y)\). În particular:

\[ A(-2)\cdot A(2)=A(0)=I_3, \]

și, la fel, \(A(2)\cdot A(-2)=I_3\), deci \(A(-2)\) este inversa matricei \(A(2)\). Înmulțim ecuația la stânga cu \(A(-2)\):

\[ X=A(-2)\cdot A(3)=A(1)=\begin{pmatrix}3&0&-4\\0&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}. \]

Verificare: \(A(2)\cdot A(1)=A(3)\), conform b). ✓

Răspuns: \(X=A(1)=\begin{pmatrix}3&0&-4\\0&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}\).

Vezi și: Matrice inversabilă.

\[ 0*2021=\log_2\left(2^0+2^{2021}-1\right)=\log_2\left(1+2^{2021}-1\right)=\log_2 2^{2021}=2021. \]

Răspuns: \(0*2021=2021\).

Vezi și: Legi de compoziție, Logaritmi.

Căutăm \(e\in M\) cu \(x*e=x\), pentru orice \(x\in[0,+\infty)\):

\[ \log_2\left(2^x+2^e-1\right)=x \;\Leftrightarrow\; 2^x+2^e-1=2^x \;\Leftrightarrow\; 2^e=1, \]

de unde \(e=0\in M\). Verificăm și în ordinea inversă (legea este, de altfel, comutativă):

\[ 0*x=\log_2\left(1+2^x-1\right)=\log_2 2^x=x, \]

pentru orice \(x\in[0,+\infty)\). Deci \(e=0\) este elementul neutru.

Răspuns: \(e=0\).

Vezi și: Structuri algebrice.

Legea este asociativă, deci calculăm de la stânga la dreapta. Mai întâi \(x*(x+1)=\log_2\left(2^x+2^{x+1}-1\right)\), iar \(2^{\log_2 u}=u\):

\[ x*(x+1)*(x+2)=\log_2\left(2^x+2^{x+1}-1+2^{x+2}-1\right)=\log_2\left(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}-2\right). \]

Cum \(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}=7\cdot2^x\), ecuația devine:

\[ \log_2\left(7\cdot2^x-2\right)=\log_2 54 \;\Rightarrow\; 7\cdot2^x-2=54 \;\Rightarrow\; 2^x=8 \;\Rightarrow\; x=3. \]

\(x=3\in M\), deci convine.

Răspuns: \(x=3\).

Vezi și: Logaritmi, Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Folosim \(\left(\sqrt u\right)'=\frac{u'}{2\sqrt u}=\frac12\sqrt{\frac1u}\cdot u'\), cu \(u=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}\) (pozitivă pe \(\mathbb{R}\)):

\[ f'(x)=\frac12\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+x+1}}\cdot\left(\frac{x^2+x+1}{x^2+1}\right)'. \]

Derivata câtului:

\[ \left(\frac{x^2+x+1}{x^2+1}\right)'=\frac{(2x+1)\left(x^2+1\right)-\left(x^2+x+1\right)\cdot2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}. \]

(În numărător, termenii \(2x^3\) și \(2x\) se reduc, iar \(x^2-2x^2+1=1-x^2\).) Înlocuim și folosim \(\sqrt{x^2+1}=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}\):

\[ f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x^2+x+1}}\cdot\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{1-x^2}{2\left(x^2+1\right)\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)}},\quad x\in\mathbb{R}. \]

Răspuns: formula derivatei este demonstrată (numărătorul se reduce la \(1-x^2\)).

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Dăm factor comun forțat \(x^2\) sub radical:

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}=\lim_{x\to-\infty}\sqrt{\frac{1+\frac1x+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}}=1. \]

Limita este finită, deci dreapta \(y=1\) este asimptota orizontală spre \(-\infty\) la graficul lui \(f\).

Răspuns: \(y=1\).

Vezi și: Asimptote orizontale, Calculator asimptote.

Observăm că al doilea radical este \(f(-x)\), deci trebuie să arătăm că \(\sqrt2\le f(x)+f(-x)\le\sqrt6\).

Semnul lui \(f'\) este semnul lui \(1-x^2\):

• pe \((-\infty,-1]\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare;

• pe \([-1,1]\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare;

• pe \([1,+\infty)\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare.

\[ f(-1)=\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}, \]

\[ f(1)=\sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt6}{2}, \]

iar \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1\). Pe \((-\infty,-1]\) valorile lui \(f\) sunt între \(\frac{\sqrt2}{2}\) și \(1\), pe \([-1,1]\) între \(\frac{\sqrt2}{2}\) și \(\frac{\sqrt6}{2}\), iar pe \([1,+\infty)\) între \(1\) și \(\frac{\sqrt6}{2}\). Cum \(\frac{\sqrt2}{2}\lt1\lt\frac{\sqrt6}{2}\):

\[ \frac{\sqrt2}{2}\le f(x)\le\frac{\sqrt6}{2}, \]

pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Inegalitatea are loc și pentru \(-x\); adunând cele două inegalități:

\[ \sqrt2\le f(x)+f(-x)\le\sqrt6 \;\Rightarrow\; \sqrt2\le\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}\le\sqrt6. \]

Răspuns: \(\frac{\sqrt2}{2}\le f(x)\le\frac{\sqrt6}{2}\) pentru orice \(x\), iar suma cerută este \(f(x)+f(-x)\in\left[\sqrt2,\sqrt6\right]\).

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

\(f(x)+2\ln x=2x+3\), deci, cu formula Leibniz–Newton:

\[ \int_1^3(2x+3)\,dx=\left.\left(x^2+3x\right)\right|_1^3=(9+9)-(1+3)=14. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(14\).

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

\(2x+3-f(x)=2\ln x\). Integrăm prin părți, cu \(\ln x=x'\cdot\ln x\):

\[ \int_1^e2\ln x\,dx=\left.2x\ln x\right|_1^e-2\int_1^e x\cdot\frac1x\,dx=2e\ln e-2\cdot1\cdot\ln1-2(e-1). \]

\[ =2e-0-2e+2=2. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(2\).

Vezi și: Integrarea prin părți.

Notăm \(t=x^3+1\); atunci \(dt=3x^2\,dx\), iar pentru \(x=0\) avem \(t=1\), pentru \(x=1\) avem \(t=2\):

\[ \int_0^1x^2f\left(x^3+1\right)dx=\frac13\int_1^2f(t)\,dt=\frac13\left(\int_1^2(2t+3)\,dt-2\int_1^2\ln t\,dt\right). \]

O primitivă a lui \(\ln t\) este \(t\ln t-t\) (prin părți), deci:

\[ \frac13\left.\left(t^2+3t-2t\ln t+2t\right)\right|_1^2=\frac13\big((4+6-4\ln2+4)-(1+3-0+2)\big). \]

\[ =\frac13(14-4\ln2-6)=\frac{8-4\ln2}{3}=\frac{4(2-\ln2)}{3}. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(\frac{4(2-\ln2)}{3}\).

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Integrala definită.