Bac 2024 M3 tehnologic august

Q: Care a fost cel mai dificil item la Bac 2024 M3, sesiunea august?

De obicei III.2 c): după simplificare, integrandul devine 2xe^x²=e^x²≤ft(x²)', iar ecuația e^a²=e^4 dă a=2, singura soluție mai mare decât 1.

Subiectul oficial de la Bacalaureat 2024, proba E.c) Matematică M_tehnologic (M3), sesiunea a doua (de toamnă), august–septembrie, Varianta 3, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba s-a susținut pe 20 august 2024, în a doua sesiune a Bacalaureatului, de candidații din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse naturale și protecția mediului și tehnic, toate calificările profesionale). Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$7 + 1 = 8$ (adevărat)
I.2	$1 + 3 = 4$ (adevărat)
I.3	$x = 2$
I.4	$p = \frac{1}{3}$
I.5	$m = 4$
I.6	$P = 12 + 16 + 20 = 48$
II.1	a) $2$ ; b) adevărat; c) $X = (\begin{matrix} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{matrix})$
II.2	a) $- 5$ ; b) $m = 2$ ; c) $m = 3$
III.1	b) $y = 1$ ; c) descrescătoare pe $(- \infty, 0]$ , crescătoare pe $[0, + \infty)$
III.2	a) $e - 1$ ; b) $e$ ; c) $a = 2$

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu zecimale)

Arătați că

(0, 3 + 0, 4) \cdot 10 + 2 \cdot 0, 5 = 8

Vezi rezolvarea

$(0, 3 + 0, 4) \cdot 10 + 2 \cdot 0, 5 = 0, 7 \cdot 10 + 1 = 7 + 1 = 8.$

Răspuns: $(0, 3 + 0, 4) \cdot 10 + 2 \cdot 0, 5 = 8$ .

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 2 x - 1

. Arătați că

f (1) + f (2) = 4

Vezi rezolvarea

$f (1) = 2 - 1 = 1,$

$f (2) = 4 - 1 = 3,$

de unde obținem $f (1) + f (2) = 1 + 3 = 4$ .

Răspuns: $f (1) + f (2) = 4$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\log_{5} (2 x + 1) = \log_{5} 5

Vezi rezolvarea

Condiția de existență: $2 x + 1 > 0$ , adică $x > - \frac{1}{2}$ . Funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele sunt egale:

$2 x + 1 = 5 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2,$

care convine, deoarece $2 > - \frac{1}{2}$ .

Răspuns: $x = 2$ .

Vezi și: Logaritmi, Ecuații logaritmice — fișă de lucru.

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

A = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91}

, acesta să fie divizibil cu

3

Vezi rezolvarea

Cazuri posibile: mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci sunt $9$ cazuri posibile.

Cazuri favorabile: un număr se divide cu $3$ dacă suma cifrelor sale se divide cu $3$ . Din mulțimea $A$ , numerele divizibile cu $3$ sunt $21$ , $51$ și $81$ : $3$ cazuri favorabile.

$p = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} .$

Răspuns: $p = \frac{1}{3}$ .

Vezi și: Probabilități.

Subiectul I.5 (5p · mijlocul unui segment)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (3, 1)

B (m, 2)

și

C (5, 3)

, unde

m

este număr real. Determinați numărul real

m

, știind că punctul

B

este mijlocul segmentului

A C

Vezi rezolvarea

Abscisa mijlocului este media absciselor capetelor:

$m = \frac{3 + 5}{2} = 4.$

Ordonata se potrivește: $\frac{1 + 3}{2} = 2$ . ✓

Răspuns: $m = 4$ .

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment.

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)

Se consideră triunghiul

A B C

, dreptunghic în

A

, cu

B C = 20

și

A C = 16

. Arătați că perimetrul triunghiului

A B C

este egal cu

48

Vezi rezolvarea

Din teorema lui Pitagora aflăm cateta $A B$ :

$A B = \sqrt{B C^{2} - A C^{2}} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12.$

$P_{A B C} = A B + A C + B C = 12 + 16 + 20 = 48.$

Răspuns: $P_{A B C} = 48$ .

Vezi și: Teorema lui Pitagora.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ și $A (x) = (\begin{matrix} 2 x + 1 & 1 \\ 1 & x \end{matrix})$ , unde $x$ este număr real.

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Arătați că

det (A (1)) = 2

Vezi rezolvarea

$A (1) = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}),$

$det (A (1)) = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 3 - 1 = 2.$

Răspuns: $det (A (1)) = 2$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Arătați că

A (1) + A (5) = 2 A (3)

Vezi rezolvarea

$A (5) = (\begin{matrix} 11 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix}),$

$A (3) = (\begin{matrix} 7 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) .$

$A (1) + A (5) = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 11 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 14 & 2 \\ 2 & 6 \end{matrix}) = 2 (\begin{matrix} 7 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) = 2 A (3) .$

Răspuns: $A (1) + A (5) = 2 A (3)$ .

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)

Determinați matricea

X \in M_{2} (R)

pentru care

X \cdot A (1) = A (3)

Vezi rezolvarea

Cum $det (A (1)) = 2 \neq 0$ , matricea $A (1)$ este inversabilă și $X = A (3) \cdot (A (1))^{- 1}$ .

$(A (1))^{- 1} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{matrix}) .$

$X = (\begin{matrix} 7 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{matrix}) .$

Verificare: $(\begin{matrix} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) = A (3)$ . ✓

Răspuns: $X = (\begin{matrix} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{matrix})$ .

Vezi și: Matrice inversabilă.

2. Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} + 2 X - 5$ , unde $m$ este număr real.

Subiectul II.2 a) (5p · valoarea unui polinom)

Arătați că

f (0) = - 5

, pentru orice număr real

m

Vezi rezolvarea

$f (0) = 0^{3} + m \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 5 = - 5,$

pentru orice număr real $m$ .

Răspuns: $f (0) = - 5$ pentru orice $m \in R$ .

Vezi și: Polinoame.

Subiectul II.2 b) (5p · rădăcină a unui polinom)

Determinați numărul real

m

, știind că

1

este rădăcină a polinomului

f

Vezi rezolvarea

$1$ este rădăcină dacă $f (1) = 0$ :

$1^{3} + m \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 5 = 0 \Rightarrow m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2.$

Răspuns: $m = 2$ .

Subiectul II.2 c) (5p · relațiile lui Viète)

Determinați numărul natural

m

pentru care

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 5

, unde

x_{1}

x_{2}

și

x_{3}

sunt rădăcinile polinomului

f

Vezi rezolvarea

Din relațiile lui Viète: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - m$ și $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 2$ . Atunci

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) = m^{2} - 4.$

Din $m^{2} - 4 = 5$ obținem $m^{2} = 9$ , deci $m = - 3$ sau $m = 3$ . Cum $m$ este număr natural, $m = 3$ .

Răspuns: $m = 3$ .

Vezi și: François Viète.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ .

Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)

Arătați că

f^{'} (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

x \in R

Vezi rezolvarea

Aplicăm regula de derivare a câtului:

$f^{'} (x) = \frac{{(x^{2})}^{'} (x^{2} + 1) - x^{2} {(x^{2} + 1)}^{'}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{2} \cdot 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}},$

pentru orice $x \in R$ .

Răspuns: $f^{'} (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Subiectul III.1 b) (5p · asimptotă orizontală)

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

+ \infty

la graficul funcției

f

Vezi rezolvarea

$lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} (1 + \frac{1}{x^{2}})} = 1.$

Limita este finită, deci dreapta de ecuație $y = 1$ este asimptota orizontală spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .

Răspuns: $y = 1$ .

Vezi și: Asimptote orizontale, Calculator asimptote.

Subiectul III.1 c) (5p · intervale de monotonie)

Determinați intervalele de monotonie a funcției

f

Vezi rezolvarea

Numitorul ${(x^{2} + 1)}^{2}$ este strict pozitiv, deci semnul lui $f^{'} (x)$ este semnul lui $2 x$ ; $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ :

• pentru $x \in (- \infty, 0]$ , $f^{'} (x) \leq 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $(- \infty, 0]$ ;

• pentru $x \in [0, + \infty)$ , $f^{'} (x) \geq 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[0, + \infty)$ .

Răspuns: $f$ este descrescătoare pe $(- \infty, 0]$ și crescătoare pe $[0, + \infty)$ .

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

2. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x} (x + 1)$ .

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Arătați că

\int_{0}^{1} \frac{f (x)}{x + 1} d x = e - 1

Vezi rezolvarea

Pe $[0, 1]$ , $\frac{f (x)}{x + 1} = e^{x}$ . Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$\int_{0}^{1} e^{x} d x = {e^{x} |}_{0}^{1} = e - 1.$

Răspuns: integrala este egală cu $e - 1$ .

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Subiectul III.2 b) (5p · integrare prin părți)

Arătați că

\int_{0}^{1} f (x) d x = e

Vezi rezolvarea

Scriem $e^{x} = {(e^{x})}^{'}$ și integrăm prin părți:

$\int_{0}^{1} e^{x} (x + 1) d x = {e^{x} (x + 1) |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = {e^{x} (x + 1) |}_{0}^{1} - {e^{x} |}_{0}^{1} .$

$\int_{0}^{1} f (x) d x = (2 e - 1) - (e - 1) = e .$

Răspuns: integrala este egală cu $e$ .

Vezi și: Integrarea prin părți.

Subiectul III.2 c) (5p · ecuație cu integrală)

Determinați numărul real

a

a > 1

, pentru care

\int_{1}^{a} \frac{2 x f (x^{2})}{x^{2} + 1} d x = e (e^{3} - 1)

Vezi rezolvarea

$f (x^{2}) = e^{x^{2}} (x^{2} + 1)$ , deci $\frac{2 x f (x^{2})}{x^{2} + 1} = 2 x e^{x^{2}} = e^{x^{2}} {(x^{2})}^{'}$ . Atunci

$\int_{1}^{a} 2 x e^{x^{2}} d x = {e^{x^{2}} |}_{1}^{a} = e^{a^{2}} - e .$

Din $e^{a^{2}} - e = e (e^{3} - 1) = e^{4} - e$ obținem $e^{a^{2}} = e^{4}$ , deci $a^{2} = 4$ . Cum $a > 1$ , $a = 2$ .

Răspuns: $a = 2$ .

Vezi și: Schimbarea de variabilă.

Ce s-a cerut la Bac 2024 M3, sesiunea august

Subiectul I a cuprins un calcul cu zecimale, funcția de gradul I, o ecuație logaritmică, o probabilitate, mijlocul unui segment și perimetrul unui triunghi dreptunghic. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți, cu o ecuație matriceală rezolvată cu inversa, și un polinom de gradul al treilea cu relațiile lui Viète, iar Subiectul al III-lea derivata unui cât, asimptota orizontală, monotonia și integrale definite, inclusiv o integrare prin părți.

Subiectul și baremul oficial (Varianta 3, proba din 20 august 2024) au fost publicate de Ministerul Educației (Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație) în ziua probei, pe subiecte.edu.ro, în arhiva sesiunii august–septembrie 2024.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2024 matematică M3 în sesiunea de toamnă? La proba de matematică M_tehnologic din 20 august 2024 (a doua sesiune a Bacalaureatului) s-a extras Varianta 3, aceeași pentru toate profilurile filierei tehnologice. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M3 și cum se punctează? Proba durează 3 ore, la fel ca în sesiunea din iunie–iulie. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2024 M3, sesiunea august? De obicei III.2 c): după simplificare, integrandul devine $2 x e^{x^{2}} = e^{x^{2}} {(x^{2})}^{'}$ , iar ecuația $e^{a^{2}} = e^{4}$ dă $a = 2$ , singura soluție mai mare decât $1$ .

Alte subiecte

Bac 2024 M3 tehnologic rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Bac 2026 M3 tehnologic rezolvat — sesiunea august · Bac 2025 M3 tehnologic rezolvat — sesiunea august

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Bacalaureat 2024 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Răspunsuri pe scurt

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu zecimale)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Subiectul I.5 (5p · mijlocul unui segment)

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)

Subiectul II.2 a) (5p · valoarea unui polinom)

Subiectul II.2 b) (5p · rădăcină a unui polinom)

Subiectul II.2 c) (5p · relațiile lui Viète)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)

Subiectul III.1 b) (5p · asimptotă orizontală)

Subiectul III.1 c) (5p · intervale de monotonie)

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Subiectul III.2 b) (5p · integrare prin părți)

Subiectul III.2 c) (5p · ecuație cu integrală)

Ce s-a cerut la Bac 2024 M3, sesiunea august

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe