Bacalaureat 2020 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Folosim formula $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$$(10+\frac{1}{2})(10-\frac{1}{2})=100-\frac{1}{4}=\frac{400-1}{4}=\frac{399}{4}.$$

Răspuns: $(10+\frac{1}{2})(10-\frac{1}{2})=\frac{399}{4}$.

Vezi și: Fracții.

Abscisa punctului de intersecție verifică $f(x)=g(x)$:

$$2x+1=10-x\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3.$$

Răspuns: abscisa este $x=3$ (punctul de intersecție este $(3,7)$).

Vezi și: Funcția de gradul I.

Din definiția logaritmului:

$$x^2+13=7^2=49\Rightarrow x^2-36=0\Rightarrow x=-6\text{ sau }x=6.$$

Pentru ambele valori $x^2+13=49>0$, deci convin.

Răspuns: $x=-6$ sau $x=6$.

Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.

Notăm cu $p$ prețul înainte de ieftinire. După ieftinire, prețul devine:

$$p-\frac{20}{100}\cdot p=800\iff \frac{4p}{5}=800\Rightarrow p=1000.$$

Răspuns: prețul înainte de ieftinire era $1000$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

$$AB=\sqrt{(2-2{)}^2+(7-1{)}^2}=\sqrt{36}=6.$$

Cum $M$ este mijlocul segmentului $AB$:

$$AM=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

(Altfel: $M(2,4)$ și $AM=\sqrt{0^2+3^2}=3$.)

Răspuns: $AM=3$.

Vezi și: Distanța dintre două puncte, Coordonatele mijlocului unui segment.

$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci:

$$2{\sin }^2{30}^{\circ }-{\sin }^2{45}^{\circ }=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=2\cdot \frac{1}{4}-\frac{2}{4}=0.$$

Răspuns: $2{\sin }^2{30}^{\circ }-{\sin }^2{45}^{\circ }=0$.

Vezi și: Tabel trigonometric, Calculator trigonometric.

$$A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),$$

$$det(A(0))=1\cdot (-1)-1\cdot 1=-1-1=-2.$$

Răspuns: $det(A(0))=-2$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$A(a)\cdot A(-a)=\left(\begin{array}{cc}a+1& 1\\ 1& a-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-a+1& 1\\ 1& -a-1\end{array}\right).$$

Elementele produsului: $(a+1)(1-a)+1=2-a^2$; $(a+1)-(a+1)=0$; $(1-a)+(a-1)=0$; $1+(a-1)(-a-1)$ $=1-(a^2-1)=2-a^2$. Deci:

$$A(a)\cdot A(-a)=\left(\begin{array}{cc}2-a^2& 0\\ 0& 2-a^2\end{array}\right)=(2-a^2)I_2.$$

Răspuns: $A(a)\cdot A(-a)=(2-a^2)I_2$, pentru orice $a\in \mathbb{R}$.

Vezi și: Matrice și determinanți.

$$A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$$

$$det(A(1))=0-1=-1\ne 0,$$

deci $A(1)$ este inversabilă și $X=(A(1){)}^{-1}\cdot A(2)$, cu

$$(A(1){)}^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right).$$

$$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

Verificare:

$$A(1)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=A(2).$$

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$.

Vezi și: Matrice inversabilă, Calculator matrice inversă.

$$3\ast 2=3^2+3\cdot 2-3-2+1=9+6-3-2+1=11.$$

Răspuns: $3\ast 2=11$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$x\ast (-x)=x^2+x\cdot (-x)-x-(-x)+1=x^2-x^2-x+x+1=1.$$

Răspuns: $x\ast (-x)=1$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$2^x\ast 4=2^{2x}+4\cdot 2^x-2^x-4+1=2^{2x}+3\cdot 2^x-3.$$

$$2^{2x}+3\cdot 2^x-3=1\iff 2^{2x}+3\cdot 2^x-4=0\iff (2^x+4)(2^x-1)=0.$$

Cum $2^x+4>0$, rămâne $2^x=1=2^0$, deci $x=0$.

Răspuns: $x=0$.

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Regula câtului, cu ${(x^2+2x+3)}^{\prime }={(x^2+2x+2)}^{\prime }=2x+2$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+2)(x^2+2x+2)-(x^2+2x+3)(2x+2)}{{(x^2+2x+2)}^2}.$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+2)\cdot (-1)}{{(x^2+2x+2)}^2}=\frac{-2(x+1)}{{(x^2+2x+2)}^2},x\in \mathbb{R}.$$

Răspuns: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-2(x+1)}{{(x^2+2x+2)}^2}}$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Numărătorul și numitorul au același grad, iar coeficienții dominanți sunt egali:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2})}{x^2(1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2})}=1.$$

Limita este finită, deci dreapta $y=1$ este asimptotă orizontală spre $+\mathrm{\infty }$.

Răspuns: $y=1$.

Vezi și: Asimptote, Calculator asimptote.

Numitorul derivatei este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $-2(x+1)$: $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$; $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe $(-\mathrm{\infty },-1]$ ($f$ crescătoare) și $f^{\prime }(x)\le 0$ pe $[-1,+\mathrm{\infty })$ ($f$ descrescătoare).

$$f(-1)=\frac{1-2+3}{1-2+2}=2,$$

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=1.$$

În plus, $f(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{x^2+2x+2}}>1$ pentru orice $x$, deci valoarea $1$ nu este atinsă. Cum $f$ este continuă, ia toate valorile din $(1,2]$ pe fiecare dintre cele două intervale de monotonie.

Răspuns: $\mathrm{Im}f=(1,2]$.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

$f(x)\sqrt{x^2+4}=x+2$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_0^1(x+2)dx={(\frac{x^2}{2}+2x)|}_0^1=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}.$$

Răspuns: integrala este egală cu ${\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

$$f^2(x)-1=\frac{x^2+4x+4}{x^2+4}-1=\frac{4x}{x^2+4}=2\cdot \frac{{(x^2+4)}^{\prime }}{x^2+4}.$$

$${\int }_0^1\frac{4x}{x^2+4}dx=2{\ln (x^2+4)|}_0^1=2\ln 5-2\ln 4=2\ln \frac{5}{4}.$$

Răspuns: integrala este egală cu $2\ln {\displaystyle \frac{5}{4}}$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Logaritmi.

Primitiva cu $F(0)=0$ este $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$. Despărțim fracția și folosim integralele din tabel $\int \frac{t}{\sqrt{t^2+a^2}}dt=\sqrt{t^2+a^2}$ și $\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+a^2}}=\ln (t+\sqrt{t^2+a^2})$:

$$F(x)={\int }_0^x\frac{t}{\sqrt{t^2+4}}dt+{\int }_0^x\frac{2}{\sqrt{t^2+4}}dt.$$

$$F(x)={(\sqrt{t^2+4}+2\ln (t+\sqrt{t^2+4}))|}_0^x.$$

La $t=0$ se obține $\sqrt{4}+2\ln 2=2+2\ln 2$, deci:

$$F(x)=\sqrt{x^2+4}+2\ln (x+\sqrt{x^2+4})-2-2\ln 2,x\in \mathbb{R}.$$

Răspuns: $F(x)=\sqrt{x^2+4}$ $+2\ln (x+\sqrt{x^2+4})-2-2\ln 2$.

Vezi și: Primitive, Tabel de integrale nedefinite.