Bacalaureat 2025 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Desfacem parantezele:

\[3(4-5i)+5i(3+2i)=12-15i+15i+10i^2=12+10\cdot(-1)=12-10=2.\]

Răspuns: \(3(4-5i)+5i(3+2i)\)​\(=2\)

Formule utile: Numere complexe

\(f(1)=1+4=5\), deci

\[(g\circ f)(1)=g\big(f(1)\big)=g(5)=10+a.\]

Din \(10+a=1\) obținem \(a=-9\).

Răspuns: \(a=-9\)

Formule utile: Funcții — noțiuni introductive, Funcția de gradul I

Condiții de existență: \(6x-x^2\)​\(\gt0\)​\(\iff x\in(0,6)\) și \(4+x\)​\(\gt0\)​\(\iff x\)​\(\gt-4\); deci \(x\in(0,6)\).

Funcția logaritmică este injectivă, deci

\[6x-x^2=4+x\iff x^2-5x+4=0\iff(x-1)(x-4)=0.\]

Obținem \(x=1\) sau \(x=4\), ambele în \((0,6)\). Verificare: \(x=1\): \(\log_25=\log_25\) ✓; \(x=4\): \(\log_28=\log_28\) ✓.

Răspuns: \(S=\{1,4\}\)

Formule utile: Logaritmi, calculator logaritmi

Un număr este impar dacă cifra unităților este impară. Cifra unităților se poate alege din \(\{3,5,7,9\}\), deci în \(4\) moduri.

Cifrele trebuie să fie distincte, așa că, pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege dintre celelalte \(4\) cifre ale lui \(A\), deci în câte \(4\) moduri.

Conform regulii produsului, se pot forma \(4\cdot4=16\) numere.

Răspuns: \(16\) numere

Formule utile: Combinatorică

Fie \(C(x_C,y_C)\). Atunci \(\overrightarrow{OB}\)​\(=6\vec i+4\vec j\) și \(\overrightarrow{AC}\)​\(=x_C\vec i+(y_C-2)\vec j\).

\[2x_C\vec i+2(y_C-2)\vec j=6\vec i+4\vec j\Rightarrow2x_C=6,\ 2(y_C-2)=4.\]

Obținem \(x_C=3\) și \(y_C=4\).

Răspuns: \(C(3,4)\)

Formule utile: Coordonatele unui vector, fișă vectori în plan

Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci \(BC=2R=8\).

Cu teorema lui Pitagora:

\[AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt3.\]

\[\mathcal{A}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot4\sqrt3}{2}=8\sqrt3.\]

Răspuns: \(\mathcal{A}_{ABC}\)​\(=8\sqrt3\)

Formule utile: Triunghiul dreptunghic, Aria triunghiului

\(A(2)\)​\(=\begin{pmatrix}2&1&4\\2&1&0\\1&1&-2\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(2)\big)=-4+8+0-4-0+4=4.\]

(Produsele pe diagonale: \(2\cdot1\cdot(-2)\)​\(=-4\), \(4\cdot2\cdot1=8\), \(1\cdot0\cdot1=0\); se scad \(4\cdot1\cdot1=4\), \(2\cdot0\cdot1=0\), \(1\cdot2\cdot(-2)\)​\(=-4\).)

Răspuns: \(\det\big(A(2)\big)\)​\(=4\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Pentru \(a=1\) sistemul devine

\[\begin{cases}x+y+2z=2\\x+y=0\\x+y-z=-1\end{cases},\qquad\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix}1&1&2\\1&1&0\\1&1&-1\end{vmatrix}=0\]

(primele două coloane sunt egale). Minorul \(\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}\)​\(=-1\)​\(\ne0\) (liniile 2, 3 și coloanele 1, 3), deci rangul matricei sistemului este \(2\). Determinantul caracteristic este

\[\Delta_c=\begin{vmatrix}1&2&2\\1&0&0\\1&-1&-1\end{vmatrix}=0\]

(ultimele două coloane sunt egale), deci sistemul este compatibil nedeterminat.

Concret: din a doua ecuație \(x+y=0\); atunci prima dă \(2z=2\), adică \(z=1\), iar a treia \(-z=-1\) ✓. Soluțiile sunt \((-\alpha,\ \alpha,\ 1)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Răspuns: Sistemul are o infinitate de soluții: \((-\alpha,\alpha,1)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Formule utile: Sisteme de ecuații, calculator sisteme de ecuații

Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(a)\big)=\begin{vmatrix}a&1&2a\\a&1&0\\1&1&-a\end{vmatrix}=-a^2+0+2a^2-2a-0+a^2=2a^2-2a=2a(a-1).\]

Sistemul are soluție unică dacă și numai dacă \(\det\big(A(a)\big)\)​\(\ne0\), adică \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\).

Scădem a doua ecuație din prima: \(2az=a+1\), deci \(z_0\)​\(=\dfrac{a+1}{2a}\). Scădem a doua ecuație din a treia: \((1-a)x-az=-1\), deci

\[(1-a)x_0=-1+\frac{a+1}{2}=\frac{a-1}{2}\Rightarrow x_0=-\frac12.\]

Condiția \(x_0=a\) dă \(a=-\dfrac12\), care aparține mulțimii \(\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\), deci convine.

Răspuns: \(a=-\dfrac12\)

Formule utile: Sisteme de ecuații, Determinanți

Pentru \(m=3\), \(f\)​\(=X^4-3X^3+X^2-2X+3\) și

\[f(1)=1^4-3\cdot1^3+1^2-2\cdot1+3=1-3+1-2+3=0.\]

Răspuns: \(f(1)=0\)

Formule utile: Polinoame

Din relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul 4 cu coeficientul dominant \(1\):

\[x_1+x_2+x_3+x_4=3,\qquad x_1x_2x_3x_4=m.\]

Atunci \((x_1x_2x_3x_4)^2-(x_1+x_2+x_3+x_4)\)​\(=m^2-3\).

Din \(m^2-3=1\) obținem \(m^2=4\), deci \(m=-2\) sau \(m=2\).

Răspuns: \(m\in\{-2,2\}\)

Formule utile: Polinoame

Pentru \(m=0\), \(f=X^4-3X^3+X^2-2X\). Restul împărțirii lui \(f\) la \(X-a\) este \(f(a)\) (teorema restului), deci condiția este \(f(a)=a\):

\[a^4-3a^3+a^2-2a=a\iff a^4-3a^3+a^2-3a=0.\]

Descompunem: \(a\left(a^3-3a^2+a-3\right)\)​\(=a\big(a^2(a-3)+(a-3)\big)\)​\(=a(a-3)\left(a^2+1\right)\)​\(=0\).

Cum \(a\) este real, \(a^2+1\gt0\), deci \(a=0\) sau \(a=3\).

Răspuns: \(a\in\{0,3\}\)

Formule utile: Polinoame

Cu regula câtului și \(\left(\sqrt{x^2+1}\right)'\)​\(=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\)​\(=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\):

\[f'(x)=\frac{2x\sqrt{x^2+1}-\left(x^2+6\right)\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}.\]

Amplificăm fracția de la numărător cu \(\sqrt{x^2+1}\):

\[f'(x)=\frac{2x\left(x^2+1\right)-x\left(x^2+6\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^3-4x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}=\frac{x\left(x^2-4\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}.\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{x\left(x^2-4\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

\(f(0)\)​\(=\dfrac{6}{1}\)​\(=6\) și \(f'(0)\)​\(=\dfrac{0\cdot(0-4)}{1\cdot1}\)​\(=0\).

Ecuația tangentei este \(y-f(0)=f'(0)(x-0)\), adică \(y-6=0\).

Răspuns: Tangenta: \(y=6\)

Formule utile: Ecuația tangentei

Pentru \(x\ge0\), semnul lui \(f'(x)\) este semnul lui \(x^2-4\): \(f'(x)\le0\) pe \([0,2]\), deci \(f\) este descrescătoare pe \([0,2]\), și \(f'(x)\ge0\) pe \([2,+\infty)\), deci \(f\) este crescătoare pe \([2,+\infty)\).

Valori: \(f(0)=6\), \(f(1)\)​\(=\dfrac{7}{\sqrt2}\), \(f(7)\)​\(=\dfrac{55}{\sqrt{50}}\)​\(=\dfrac{11}{\sqrt2}\).

• Pentru \(x\in[0,1]\), \(f\) este descrescătoare, deci \(f(x)\)​\(\ge f(1)\)​\(=\dfrac{7}{\sqrt2}\).
• Pentru \(x\in[0,1]\), \(7x\in[0,7]\); pe \([0,7]\) maximul lui \(f\) este \(\max\{f(0),f(7)\}\)​\(=\max\left\{6,\dfrac{11}{\sqrt2}\right\}\)​\(=\dfrac{11}{\sqrt2}\) (căci \(\frac{11}{\sqrt2}\approx7{,}78\)). Deci \(f(7x)\)​\(\le\dfrac{11}{\sqrt2}\).

\[f(7x)-f(x)\le\frac{11}{\sqrt2}-\frac{7}{\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2.\]

Răspuns: \(f(7x)-f(x)\)​\(\le2\sqrt2\) pentru orice \(x\in[0,1]\) (egalitate la \(x=1\)).

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor

\(f(x)-e^{2x}\)​\(=3x^2-1\), deci

\[\int_0^3\left(3x^2-1\right)dx=\left(x^3-x\right)\Bigg|_0^3=27-3-0=24.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(24\).

Formule utile: Integrale definite, calculator integrale

\(f(x)-3x^2+1\)​\(=e^{2x}\), deci integrala este \(\displaystyle\int_0^14xe^{2x}\,dx\)​\(=\int_0^12x\left(e^{2x}\right)'dx\). Integrăm prin părți:

\[\int_0^12x\left(e^{2x}\right)'dx=2xe^{2x}\Big|_0^1-\int_0^12e^{2x}\,dx=2e^2-e^{2x}\Big|_0^1.\]

\[=2e^2-\left(e^2-1\right)=e^2+1.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(e^2+1\).

Formule utile: Integrarea prin părți, Integrale definite

Funcția \(t\mapsto\dfrac{f(t)}{t+1}\) este continuă în jurul lui \(0\), deci \(F(x)\)​\(=\displaystyle\int_0^x\frac{f(t)}{t+1}\,dt\) este derivabilă, cu \(F'(x)\)​\(=\dfrac{f(x)}{x+1}\) și \(F(0)=0\). Avem o nedeterminare \(\frac00\) și aplicăm regula lui l'Hôpital:

\[\lim_{x\to0}\frac{F(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{F'(x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{2x(x+1)}.\]

Cum \(f(0)=-1+1=0\), avem din nou \(\frac00\); aplicăm încă o dată l'Hôpital, cu \(f'(x)=6x+2e^{2x}\) și \(\left(2x^2+2x\right)'\)​\(=4x+2\):

\[\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{4x+2}=\lim_{x\to0}\frac{6x+2e^{2x}}{4x+2}=\frac{2}{2}=1.\]

Răspuns: Limita este egală cu \(1\).

Formule utile: Primitive, Regula lui l'Hôpital, calculator limite