Bacalaureat 2021 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

În paranteză facem întâi împărțirea: $\frac{3}{4}:\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\cdot 2=\frac{3}{2}$. Apoi:

$$2\cdot (2-\frac{3}{4}:\frac{1}{2})=2\cdot (2-\frac{3}{2})=2\cdot \frac{1}{2}=1.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $1$.

Vezi și: Fracții — operații.

$$f(1)=1+2=3,$$

$$g(1)=1-4=-3.$$

Deci $f(1)+g(1)=3+(-3)=0$.

Răspuns: $f(1)+g(1)=0$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Scriem $4=2^2$. Funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali:

$$2^{4-x}=2^2\iff 4-x=2\iff x=2.$$

Răspuns: $x=2$.

Vezi și: Ecuații exponențiale, Puteri — reguli de calcul.

Scumpirea reprezintă $30\mathrm{\%}$ din prețul inițial:

$$\frac{30}{100}\cdot 70=21\text{ de lei}.$$

Prețul după scumpire este $70+21=91$ de lei. (Echivalent: $70\cdot 1,3=91$.)

Răspuns: prețul după scumpire este $91$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Folosim formula distanței $PQ=\sqrt{(x_Q-x_P{)}^2+(y_Q-y_P{)}^2}$:

$$AB=\sqrt{0^2+(0-4{)}^2}=4,$$

$$AC=\sqrt{(0+3{)}^2+0^2}=3.$$

$$BC=\sqrt{(0+3{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

($AB$ este verticală și $AC$ orizontală, deci triunghiul este dreptunghic în $A$, cu laturile $3,4,5$.)

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=4+5+3=12.$$

Răspuns: perimetrul triunghiului $ABC$ este $12$.

Vezi și: Distanța dintre două puncte.

Latura $AC$ se opune unghiului $B$, iar latura $BC$ se opune unghiului $A$. Din teorema sinusurilor:

$$\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}\iff \frac{2}{\sin B}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8\Rightarrow \sin B=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$

Răspuns: $\sin B={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Vezi și: Teorema sinusurilor.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right|=3\cdot 1-(-2)\cdot 2=3+4=7.$$

Răspuns: $detA=7$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$2B+I_2=\left(\begin{array}{cc}8& -6\\ 6& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& -6\\ 6& 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right)=3A.$$

Răspuns: $2B+I_2=3A$.

Trecem $-X$ în membrul stâng și dăm factor comun $X$ la dreapta ($X=I_2\cdot X$):

$$A\cdot X-B\cdot X+X=I_2\iff (A-B+I_2)\cdot X=I_2.$$

$$A-B+I_2=\left(\begin{array}{cc}3-4+1& -2+3+0\\ 2-3+0& 1-1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right),$$

$$det(A-B+I_2)=0+1=1\ne 0.$$

Matricea este inversabilă, deci $X={(A-B+I_2)}^{-1}$:

$$X=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

Verificare (✓):

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2.$$

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Vezi și: Matrice inversabilă.

$$1\ast 3=3-(1-3)(3-3)=3-(-2)\cdot 0=3-0=3.$$

Răspuns: $1\ast 3=3$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Trebuie verificat că $x\ast 2=2\ast x=x$ pentru orice număr real $x$:

$$x\ast 2=3-(x-3)(2-3)=3+(x-3)=x,$$

$$2\ast x=3-(2-3)(x-3)=3+(x-3)=x.$$

Deci $e=2$ este elementul neutru al legii „$\ast$”.

Răspuns: $x\ast 2=2\ast x=x$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $e=2$ este element neutru.

$$x\ast (x+6)=3-(x-3)(x+6-3)=3-(x-3)(x+3),$$

pentru orice număr real $x$. Inecuația devine

$$3-(x-3)(x+3)\ge 3\iff (x-3)(x+3)\le 0.$$

Trinomul $x^2-9$ are rădăcinile $-3$ și $3$ și este negativ sau zero între rădăcini, deci $x\in [-3,3]$.

Răspuns: $x\in [-3,3]$.

Vezi și: Inecuații.

Folosim ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$:

$$f^{\prime }(x)=-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x}-0=\frac{-4+x}{x^2}=\frac{x-4}{x^2},$$

pentru $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x-4}{x^2}}$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$f^{\prime }(x)=0\iff x=4$. Numitorul $x^2$ este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x-4$:

• $f^{\prime }(x)\le 0$ pentru $x\in (0,4]$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,4]$;

• $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru $x\in [4,+\mathrm{\infty })$, deci $f$ este crescătoare pe $[4,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f$ este descrescătoare pe $(0,4]$ și crescătoare pe $[4,+\mathrm{\infty })$.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

Spre $+\mathrm{\infty }$ graficul poate avea asimptotă orizontală sau oblică.

Orizontală:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{4}{x}+\ln x-5)=0+\mathrm{\infty }-5=+\mathrm{\infty },$$

deci nu există asimptotă orizontală spre $+\mathrm{\infty }$.

Oblică: panta ar fi

$$m=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{4}{x^2}+\frac{\ln x}{x}-\frac{5}{x})=0,$$

(deoarece $\frac{\ln x}{x}\to 0$), dar atunci $n={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-0\cdot x)=+\mathrm{\infty }}$ nu este finit, deci nu există nici asimptotă oblică.

Prin urmare graficul lui $f$ nu are asimptotă spre $+\mathrm{\infty }$.

Răspuns: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$ și $m=0$, deci nu există asimptotă spre $+\mathrm{\infty }$.

Vezi și: Asimptote, Calculator asimptote.

Pentru $x\in [1,2]$, $f(x)-e^x-3=3x^2$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_1^{2}3x^{2}dx={x^3|}_1^2=8-1=7.$$

Răspuns: integrala este egală cu $7$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Pentru $x\in [0,1]$, $x(f(x)-3x^2)=x(e^x+3)$, adică $x{e}^x+3x$.

Prin părți, cu $u=x$, $v^{\prime }=e^x$:

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C.$$

Atunci

$${\int }_0^1(x{e}^x+3x)dx={(x{e}^x-e^x)|}_0^1+{\frac{3x^2}{2}|}_0^1=(0-(-1))+\frac{3}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}.$$

Răspuns: integrala este egală cu ${\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Vezi și: Integrarea prin părți.

$f^{\prime }(x)=e^x+6x$, deci

$$f(x)-f^{\prime }(x)=e^x+3x^2+3-e^x-6x=3(x^2-2x+1)=3(x-1{)}^2.$$

Pe $[0,a]\subset [0,1)$, $x-1\ne 0$. Cum ${(-\frac{1}{x-1})}^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}$:

$${\int }_0^a\frac{1}{3(x-1{)}^2}dx={-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-1}|}_0^a=-\frac{1}{3}(\frac{1}{a-1}+1).$$

Din $-\frac{1}{3}(\frac{1}{a-1}+1)=\frac{1}{6}$ rezultă $\frac{1}{a-1}+1=-\frac{1}{2}$, adică $\frac{1}{a-1}=-\frac{3}{2}$, deci $a-1=-\frac{2}{3}$ și $a=\frac{1}{3}\in (0,1)$, care convine.

Răspuns: $a={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Primitive.