Bacalaureat 2020 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Folosim formula \((a-b)(a+b)\)​\(=a^2-b^2\):

\[z=1-\left(i\sqrt2\right)^2=1-2i^2=1-2\cdot(-1)=1+2=3.\]

\(3\in\mathbb{N}\), deci \(z\) este număr natural.

Răspuns: \(z=3\in\mathbb{N}\)

Formule utile: Numere complexe

Pentru orice număr real \(x\):

\[f(x)+f(1-x)=3x+a+3(1-x)+a\]

\[f(x)+f(1-x)=3x+a+3-3x+a=2a+3.\]

Condiția devine \(2a+3=7\), deci \(a=2\).

Răspuns: \(a=2\)

Formule utile: Funcția de gradul I

Înmulțim ecuația cu \(5^x\gt0\): \(\left(5^x\right)^2+1\)​\(=2\cdot5^x\), adică

\[\left(5^x\right)^2-2\cdot5^x+1=0\iff\left(5^x-1\right)^2=0.\]

Deci \(5^x=1=5^0\), de unde \(x=0\). Verificare: \(5^0+5^0=2\) ✓.

Răspuns: \(x=0\)

Formule utile: Ecuații exponențiale, Puteri

O astfel de submulțime conține sigur elementul \(1\); celelalte două elemente se aleg din \(\{2,3,4,5\}\), care are 4 elemente. Numărul lor este egal cu numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii \(\{2,3,4,5\}\):

\[C_4^2=\frac{4!}{2!\cdot(4-2)!}=6.\]

Concret: \(\{1,2,3\},\)​\(\{1,2,4\},\)​\(\{1,2,5\},\)​\(\{1,3,4\},\)​\(\{1,3,5\},\)​\(\{1,4,5\}\).

Răspuns: 6 submulțimi

Formule utile: Combinatorică, calculator combinări

Panta dreptei \(OM\): \(m_{OM}\)​\(=\dfrac{4-0}{-4-0}\)​\(=-1\).

Dreptele perpendiculare au produsul pantelor \(-1\): \(m_{OM}\cdot m_d\)​\(=-1\)​\(\Rightarrow m_d\)​\(=1\).

Dreapta \(d\) trece prin \(M(-4,4)\):

\[y-y_M=m_d(x-x_M)\iff y-4=x+4\iff y=x+8.\]

Răspuns: \(d:\ y=x+8\) (sau \(x-y+8=0\))

Formule utile: Panta unei drepte, Drepte paralele și perpendiculare, calculator ecuația dreptei

În triunghiul dreptunghic în \(A\), ipotenuza este \(BC\), iar

\[\sin B=\frac{AC}{BC},\qquad\cos B=\frac{AB}{BC}.\]

Din \(\sin B=\cos B\) obținem \(\dfrac{AC}{BC}\)​\(=\dfrac{AB}{BC}\), deci \(AB=AC\): triunghiul \(ABC\) este isoscel (dreptunghic isoscel).

Răspuns: \(AB=AC\), deci triunghiul \(ABC\) este isoscel.

Formule utile: Triunghiul dreptunghic, Tabel trigonometric

\(A(0)\)​\(=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&2&3\\1&2&4\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(0)\big)=0+3+4-4-0-4=-1.\]

Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=-1\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Calculăm \(\det\big(A(a)\big)\) cu proprietățile determinanților. Scădem coloana întâi din coloanele a doua și a treia (\(C_2-C_1\), \(C_3-C_1\)):

\[\det\big(A(a)\big)=\begin{vmatrix}a&1&2\\a^2+1&1&2\\1&1&3\end{vmatrix}.\]

Scădem linia a doua din prima (\(L_1-L_2\)): prima linie devine \(\left(a-a^2-1,\,0,\,0\right)\). Dezvoltăm după prima linie:

\[\det\big(A(a)\big)=\left(a-a^2-1\right)\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}=-\left(a^2-a+1\right).\]

Trinomul \(a^2-a+1\) are \(\Delta=1-4=-3\lt0\), deci \(a^2-a+1\gt0\) pentru orice \(a\) real. Prin urmare \(\det\big(A(a)\big)\)​\(\ne0\), iar matricea \(A(a)\) este inversabilă pentru orice număr real \(a\).

Răspuns: \(\det\big(A(a)\big)\)​\(=-\left(a^2-a+1\right)\)​\(\lt0\), deci \(A(a)\) este inversabilă.

Formule utile: Matrice inversabilă, Funcția de gradul al II-lea (semnul trinomului)

Pentru \(a\in\mathbb{Z}\), matricea \(A(a)\) are toate elementele întregi, deci \(\det\big(A(a)\big)\in\mathbb{Z}\).

Dacă și \(A(a)^{-1}\) are elemente întregi, atunci \(\det\big(A(a)^{-1}\big)\in\mathbb{Z}\), iar din \(\det\big(A(a)\big)\cdot\det\big(A(a)^{-1}\big)\)​\(=\det I_3\)​\(=1\) rezultă că \(\det\big(A(a)\big)\) este un divizor al lui \(1\). Cum, din b), \(\det\big(A(a)\big)\)​\(\lt0\), obținem \(\det\big(A(a)\big)\)​\(=-1\):

\[-\left(a^2-a+1\right)=-1\iff a^2-a=0\]

\[a(a-1)=0\iff a\in\{0,1\}.\]

Reciproc, dacă \(\det\big(A(a)\big)\)​\(=-1\), atunci \(A(a)^{-1}=-A(a)^*\) are elemente întregi. Concret:

\[A(0)^{-1}=\begin{pmatrix}-2&0&1\\1&2&-2\\0&-1&1\end{pmatrix},\]

\[A(1)^{-1}=\begin{pmatrix}-4&2&1\\4&-1&-2\\-1&0&1\end{pmatrix}.\]

Răspuns: \(a\in\{0,1\}\)

Formule utile: Matrice inversabilă, calculator matrice inversă

\[1*2020=\frac12\sqrt[3]{1\cdot2020^3-1-2020^3+9}=\frac12\sqrt[3]{8}=\frac12\cdot2=1.\]

Răspuns: \(1*2020=1\)

Formule utile: Legi de compoziție, Radicali

Scriem \(9=1+8\) și grupăm termenii sub radical:

\[x^3y^3-x^3-y^3+1+8=x^3\left(y^3-1\right)-\left(y^3-1\right)+8\]

\[x^3y^3-x^3-y^3+9=\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+8.\]

Introducem factorul \(\frac12\)​\(=\sqrt[3]{\frac18}\) sub radical:

\[x*y=\sqrt[3]{\frac18\left[\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+8\right]}\]

\[x*y=\sqrt[3]{\frac18\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)+1},\]

pentru orice \(x,y\in A\).

Răspuns: Relația este demonstrată.

Formule utile: Legi de compoziție, Radicali

Din b), \(x*x\)​\(=\sqrt[3]{\frac18\left(x^3-1\right)^2+1}\). Ecuația \(x*x=x\) devine, ridicând la puterea a treia,

\[\frac18\left(x^3-1\right)^2+1=x^3\iff\left(x^3-1\right)^2=8\left(x^3-1\right)\]

\[\left(x^3-1\right)\left(x^3-9\right)=0.\]

Deci \(x^3=1\), adică \(x=1\), sau \(x^3=9\), adică \(x=\sqrt[3]9\). Ambele valori aparțin lui \(A=[1,+\infty)\), deci convin.

Răspuns: \(x\in\left\{1,\sqrt[3]9\right\}\)

Formule utile: Legi de compoziție

Pentru \(x\gt2\), \(\ln\dfrac{x-1}{x}\)​\(=\ln(x-1)-\ln x\), deci

\[f'(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}+\frac{1}{x-1}-\frac1x=-\frac{1}{(x-2)^2}+\frac{1}{x(x-1)}.\]

Aducem la același numitor:

\[f'(x)=\frac{-x(x-1)+(x-2)^2}{x(x-1)(x-2)^2}=\frac{-x^2+x+x^2-4x+4}{x(x-1)(x-2)^2}\]

\[f'(x)=\frac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^2}.\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^2}\)

Formule utile: Tabel derivate și reguli de derivare, calculator derivate

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-2}\)​\(=0\) și \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x-1}{x}\)​\(=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac1x\right)\)​\(=1\), deci \(\ln\dfrac{x-1}{x}\to\ln1\)​\(=0\). Atunci

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x-2}+\ln\left(1-\frac1x\right)\right)=0+0=0.\]

Dreapta de ecuație \(y=0\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Răspuns: \(y=0\)

Formule utile: Asimptote orizontale, calculator asimptote

Monotonia. Pentru \(x\gt2\): \(-3x+4\lt-2\lt0\), iar numitorul \(x(x-1)(x-2)^2\gt0\), deci \(f'(x)\lt0\). Funcția \(f\) este strict descrescătoare pe \((2,+\infty)\).

Semnul lui \(f\). O funcție strict descrescătoare cu \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)​\(=0\) (din b) ia doar valori mai mari decât \(0\): dacă ar exista \(x_0\gt2\) cu \(f(x_0)\le0\), atunci pentru \(x\gt x_0\) am avea \(f(x)\)​\(\lt f(x_0)\)​\(\le0\), iar limita ar fi strict negativă. Deci \(f(x)\gt0\) pentru orice \(x\in(2,+\infty)\).

Concluzia. \(\dfrac{1}{x-2}+\ln\dfrac{x-1}{x}\)​\(\gt0\)​\(\iff\dfrac{1}{x-2}\)​\(\gt-\ln\dfrac{x-1}{x}\)​\(=\ln\dfrac{x}{x-1}\), pentru orice \(x\in(2,+\infty)\).

Răspuns: \(\dfrac{1}{x-2}\)​\(\gt\ln\dfrac{x}{x-1}\) pentru orice \(x\gt2\).

Formule utile: Monotonie cu derivata, Logaritmi

\(f^2(x)\)​\(=\dfrac{x^2}{x^3+1}\), deci \(\left(x^3+1\right)f^2(x)\)​\(=x^2\) și

\[\int_0^1x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^1=\frac13.\]

Răspuns: \(\dfrac13\)

Formule utile: Integrala definită — Leibniz–Newton

\(f^2(x)\)​\(=\dfrac{x^2}{x^3+1}\), iar \(\left(x^3+1\right)'\)​\(=3x^2\), deci \(\dfrac{x^2}{x^3+1}\)​\(=\dfrac13\cdot\dfrac{\left(x^3+1\right)'}{x^3+1}\):

\[\int_0^1\frac{x^2}{x^3+1}\,dx=\frac13\ln\left(x^3+1\right)\Big|_0^1=\frac13\ln2-\frac13\ln1=\frac13\ln2.\]

Răspuns: \(\dfrac13\ln2\)

Formule utile: Tabel de integrale (formula \(\int\frac{u'}{u}\)​\(=\ln|u|\)), calculator integrale

\(f\left(x^n\right)\)​\(=\dfrac{x^n}{\sqrt{x^{3n}+1}}\), deci \(I_n\)​\(=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{x^{3n}+1}}\,dx\).

Pentru \(x\in[0,1]\): \(x^n\ge0\) și \(\sqrt{x^{3n}+1}\)​\(\ge1\), deci

\[0\le\frac{x^n}{\sqrt{x^{3n}+1}}\le x^n.\]

Integrând pe \([0,1]\):

\[0\le I_n\le\int_0^1x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\frac{1}{n+1}.\]

Cum \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+1}\)​\(=0\), din criteriul cleștelui obținem \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)​\(=0\).

Răspuns: \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)​\(=0\)

Formule utile: Integrale definite (proprietatea de monotonie), Șiruri