Bacalaureat 2022 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate

Rația progresiei aritmetice este diferența dintre doi termeni consecutivi:

\[ r=a_3-a_2=12-6=6, \]

\[ a_1=a_2-r=6-6=0. \]

Răspuns: \(a_1=0\).

Vezi și: Progresia aritmetică.

\(f(a)=a-5\) și \(f(2a)=2a-5\), deci:

\[ a-5+2a-5=2 \;\Leftrightarrow\; 3a=12 \;\Leftrightarrow\; a=4. \]

Verificare: \(f(4)+f(8)=-1+3=2\). ✓

Răspuns: \(a=4\).

Vezi și: Funcția de gradul I.

Cum \(\frac15=5^{-1}\) și \(25=5^2\), ecuația devine

\[ 5^{x-1}=5^2, \]

deci \(x-1=2\), adică \(x=3\).

Răspuns: \(x=3\).

Vezi și: Ecuații exponențiale, Puteri — reguli de calcul.

Cazuri posibile: numerele de două cifre sunt \(10, 11, \dots, 99\), adică \(90\) de numere.

Cazuri favorabile: multiplii de \(16\) de două cifre sunt \(16, 32, 48, 64, 80, 96\), adică \(6\) numere.

\[ p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}. \]

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{15}\).

Vezi și: Probabilități.

Fie \(C\left(x_C,y_C\right)\). Punctul \(A\) este mijlocul lui \(BC\), deci

\[ 3=\frac{1+x_C}{2}, \]

\[ 2=\frac{4+y_C}{2}. \]

Obținem \(x_C=6-1=5\) și \(y_C=4-4=0\).

Răspuns: \(C(5,0)\).

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment.

Pentru \(x=\frac{\pi}{3}\): \(\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}\) și \(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}\). Valorile necesare:

\[ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}. \]

\[ E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}+1-\frac{\sqrt3}{2}=1. \]

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)=1\).

Vezi și: Tabel trigonometric.

\[ \det A=\begin{vmatrix}1&-1\\-1&1\end{vmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot(-1)=1-1=0. \]

Răspuns: \(\det A=0\).

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

\[ B(0)=\begin{pmatrix}0&3\\2&0\end{pmatrix}. \]

\[ B(x)-B(0)=\begin{pmatrix}x-0&3-x-3\\2-x-2&x-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&-x\\-x&x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=xA, \]

pentru orice număr real \(x\).

Răspuns: \(B(x)-B(0)=xA\).

\[ B(1)=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}, \]

\[ B(a+1)=\begin{pmatrix}a+1&2-a\\1-a&a+1\end{pmatrix}. \]

\[ B(a)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}a+3-a&2a+3-a\\2-a+a&4-2a+a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&a+3\\2&4-a\end{pmatrix}. \]

\[ C(a)=\begin{pmatrix}3-(a+1)&a+3-(2-a)\\2-(1-a)&4-a-(a+1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-a&2a+1\\a+1&3-2a\end{pmatrix}. \]

\[ \det\big(C(a)\big)=(2-a)(3-2a)-(2a+1)(a+1)=\left(2a^2-7a+6\right)-\left(2a^2+3a+1\right)=-10a+5. \]

\(\det\big(C(a)\big)=0\Leftrightarrow -10a+5=0\Leftrightarrow a=\frac12\notin\mathbb{Z}\). Deci, pentru orice număr întreg \(a\), \(\det\big(C(a)\big)\neq0\), adică matricea \(C(a)\) este inversabilă.

Răspuns: \(\det C(a)=5-10a\neq0\) pentru \(a\in\mathbb{Z}\), deci \(C(a)\) este inversabilă.

Vezi și: Matrice inversabilă.

\[ 1*2=(2\cdot1-1)(2\cdot2-1)+1=1\cdot3+1=4. \]

Răspuns: \(1*2=4\).

Vezi și: Legi de compoziție.

\[ x*x=(2x-1)^2+1=4x^2-4x+2, \]

pentru orice număr real \(x\). Ecuația devine \(4x^2-4x+2=2\), adică \(4x^2-4x=0\), deci \(4x(x-1)=0\).

Obținem \(x=0\) sau \(x=1\).

Răspuns: \(x\in\{0,\,1\}\).

Calculăm al doilea factor: \(2\left(1+\frac1m\right)-1=1+\frac2m\). Deci

\[ m*\left(1+\frac1m\right)=(2m-1)\left(1+\frac2m\right)+1, \]

pentru orice număr întreg nenul \(m\). Ecuația devine

\[ (2m-1)\left(1+\frac2m\right)=0 \;\Rightarrow\; m=\frac12 \;\text{ sau }\; m=-2. \]

Cum \(m\) este număr întreg nenul, convine doar \(m=-2\).

Verificare: \(1+\frac1{-2}=\frac12\) și \((-2)*\frac12=(-5)\cdot0+1=1\). ✓

Răspuns: \(m=-2\).

\[ f'(x)=\left(2x^2\right)'+1'+(\ln x)'=4x+0+\frac1x=\frac{4x^2+1}{x}, \]

pentru \(x\in(0,+\infty)\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{4x^2+1}{x}\).

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Termenul \(\ln x\) se reduce: \(f(x)-\ln x=2x^2+1\). Dăm factor comun forțat \(x^2\):

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+1}{x^2+x+4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(2+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac1x+\frac{4}{x^2}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{x^2}}{1+\frac1x+\frac{4}{x^2}}=\frac{2}{1}=2. \]

Răspuns: limita este \(2\).

Vezi și: Limite de funcții, Calculator limite.

Injectivitate. Din a), \(f'(x)=\dfrac{4x^2+1}{x}\gt0\) pentru orice \(x\in(0,+\infty)\) (numărătorul și numitorul sunt pozitive). Deci \(f\) este strict crescătoare, prin urmare injectivă.

Surjectivitate. \(f\) este continuă pe \((0,+\infty)\) și

\[ \lim_{x\to0,\,x\gt0}f(x)=0+1+(-\infty)=-\infty, \]

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

O funcție continuă și strict crescătoare ia toate valorile dintre limitele de la capete, deci \(\operatorname{Im}f=(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}\): \(f\) este surjectivă.

Fiind injectivă și surjectivă, \(f\) este bijectivă.

Răspuns: \(f\) este strict crescătoare (injectivă) și continuă cu limitele \(-\infty\) și \(+\infty\) (surjectivă), deci bijectivă.

Vezi și: Proprietăți ale funcțiilor (injectivă, surjectivă, bijectivă), Aplicații ale derivatelor.

Cum \(e^x+2x^2\gt0\), simplificăm: \(\dfrac{f(x)}{e^x+2x^2}=x\). Atunci

\[ \int_0^4 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^4=\frac{16}{2}-0=8. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(8\).

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

\(f(x)-2x^3=xe^x+2x^3-2x^3=xe^x\). Integrăm prin părți, cu \(u=x\), \(v'=e^x\):

\[ \int_0^1 xe^x\,dx=\left.xe^x\right|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-\left.e^x\right|_0^1=e-(e-1)=1. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(1\).

Vezi și: Integrarea prin părți.

\(f\left(x^2\right)=x^2\left(e^{x^2}+2x^4\right)\), deci, pentru \(x\in[1,2]\),

\[ \frac1x\cdot f\left(x^2\right)=xe^{x^2}+2x^5. \]

Pentru primul termen observăm că \(\left(e^{x^2}\right)'=2xe^{x^2}\), adică \(xe^{x^2}=\frac12\left(x^2\right)'e^{x^2}\):

\[ \int_1^2 xe^{x^2}\,dx=\left.\frac12e^{x^2}\right|_1^2=\frac{e^4-e}{2}, \]

\[ \int_1^2 2x^5\,dx=\left.\frac{x^6}{3}\right|_1^2=\frac{64-1}{3}=21. \]

Deci integrala este \(\dfrac{e^4-e}{2}+21\). Din \(\dfrac{e^4-e}{2}+21=\dfrac{e^4-e}{2}+a\) obținem \(a=21\).

Răspuns: \(a=21\).

Vezi și: Primitive, Tabel de integrale nedefinite.