Bacalaureat 2022 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Desfacem paranteza: \(2i(3-i)=6i-2i^2\). Atunci

\[2i(3-i)-6i=6i-2i^2-6i=-2i^2=-2\cdot(-1)=2.\]

Răspuns: \(2i(3-i)-6i=2\), ceea ce trebuia demonstrat.

Formule utile: Numere complexe

Calculăm valorile funcției: \(f(-1)\)​\(=(-1)^2-m\cdot(-1)\)​\(=1+m\) și \(f(1)=1-m\).

\[f(-1)=f(1)\iff1+m=1-m\iff2m=0\iff m=0.\]

Răspuns: \(m=0\)

Formule utile: Funcția de gradul al II-lea

Scriem ambii membri ca puteri ale lui \(3\): \(27^{x-1}\)​\(=\left(3^3\right)^{x-1}\)​\(=3^{3x-3}\) și \(9^x\)​\(=\left(3^2\right)^x\)​\(=3^{2x}\).

\[3^{3x-3}=3^{2x}\iff3x-3=2x\iff x=3,\]

deoarece funcția exponențială este injectivă. Verificare: \(27^2=729=9^3\) ✓.

Răspuns: \(x=3\)

Formule utile: Ecuații exponențiale, Puteri

Numerele naturale de două cifre sunt \(10,11,\dots,99\), deci sunt \(90\) de cazuri posibile.

Cifra zecilor este nenulă și cel mult \(3\): \(3\) variante (\(1,2,3\)). Cifra unităților este cel mult \(3\): \(4\) variante (\(0,1,2,3\)). Deci sunt \(3\cdot4=12\) cazuri favorabile: \(10,11,12,13,20,\dots,33\).

\[p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}.\]

Răspuns: \(p=\dfrac{2}{15}\)

Formule utile: Probabilități

Vectorii \(\overrightarrow{AC}\) și \(\overrightarrow{BC}\) au același sens, iar \(AC=2BC\); rezultă că \(B\) se află pe segmentul \(AC\), la jumătatea lui: \(B\) este mijlocul segmentului \(AC\).

\[\frac{x_C+3}{2}=1\Rightarrow x_C=-1,\qquad\frac{y_C+2}{2}=-1\Rightarrow y_C=-4.\]

Verificare: \(\overrightarrow{AC}\)​\(=(-4,-6)\), \(\overrightarrow{BC}\)​\(=(-2,-3)\), deci \(\overrightarrow{AC}\)​\(=2\overrightarrow{BC}\) ✓.

Răspuns: \(C(-1,-4)\)

Formule utile: Coordonatele unui vector, Coordonate (mijlocul unui segment)

Pentru \(x=\dfrac{\pi}{4}\): \(2x=\dfrac{\pi}{2}\) și \(\dfrac{2x}{3}\)​\(=\dfrac{\pi}{6}\). Din tabelul valorilor: \(\sin\dfrac{\pi}{2}\)​\(=1\), \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}\)​\(=1\), \(\sin\dfrac{\pi}{6}\)​\(=\dfrac12\).

\[E\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}-2\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\cdot\sin\frac{\pi}{6}=1-2\cdot1\cdot\frac12=1-1=0.\]

Răspuns: \(E\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)​\(=0\)

Formule utile: Tabel trigonometric

\(A(0)\)​\(=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(0)\big)=0\cdot0\cdot0+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1-1\cdot0\cdot1-0\cdot1\cdot1-1\cdot1\cdot0=0+1+1-0-0-0=2.\]

Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=2\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

\(A(1)\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}\). Înmulțim linie cu coloană:

\[A(1)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}x+1&2-x&1\\2-x&x+1&1\\1&1&2\end{pmatrix}.\]

De exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1: \(1\cdot x+0\cdot(1-x)+1\cdot1\)​\(=x+1\); de pe linia 3, coloana 3: \(1\cdot1+1\cdot1+0\cdot0\)​\(=2\).

Pe de altă parte, \(A(x-1)\)​\(=\begin{pmatrix}x-1&2-x&1\\2-x&x-1&1\\1&1&0\end{pmatrix}\), deci

\[A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=2I_3.\]

Răspuns: \(A(1)\cdot A(x)-A(x-1)\)​\(=2I_3\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Formule utile: Matrice și determinanți

Din b), \(A(1)\cdot A(x)\)​\(=A(x-1)+2I_3\) pentru orice \(x\). Aplicăm relația de două ori:

\[A(1)\cdot\big(A(1)\cdot A(x)\big)=A(1)\cdot\big(A(x-1)+2I_3\big)=A(1)\cdot A(x-1)+2A(1)=A(x-2)+2I_3+2A(1).\]

Ecuația devine \(A(x-2)+2I_3+2A(1)\)​\(=3A(1)+2I_3\), adică \(A(x-2)=A(1)\).

Comparând elementele de pe linia 1, coloana 1: \(x-2=1\), deci \(x=3\).

Răspuns: \(x=3\)

Formule utile: Matrice și determinanți

\[1*3=\frac{1\cdot3\cdot(1+3)}{1\cdot3+1}=\frac{3\cdot4}{4}=3.\]

Răspuns: \(1*3=3\)

Formule utile: Legi de compoziție

\(e=1\in M\) și, pentru orice \(x\in M\):

\[x*1=\frac{x\cdot1\cdot(x+1)}{x\cdot1+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x,\qquad1*x=\frac{1\cdot x\cdot(1+x)}{1\cdot x+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x.\]

(Simplificarea este permisă, deoarece \(x+1\ge1\gt0\).)

Răspuns: \(e=1\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.

Formule utile: Legi de compoziție

Calculăm membrul stâng:

\[\frac1m*\frac1n=\frac{\frac{1}{mn}\left(\frac1m+\frac1n\right)}{\frac{1}{mn}+1}=\frac{\frac{m+n}{m^2n^2}}{\frac{mn+1}{mn}}=\frac{m+n}{mn(mn+1)}.\]

Membrul drept: \(\dfrac{1}{16}\cdot(m*n)\)​\(=\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{mn(m+n)}{mn+1}\).

Egalând și simplificând cu \(\dfrac{m+n}{mn+1}\)​\(\gt0\):

\[\frac{1}{mn}=\frac{mn}{16}\iff m^2n^2=16\iff mn=4.\]

Cu \(m,n\) naturale nenule și \(m\le n\): \(m=1,n=4\) sau \(m=2,n=2\).

Răspuns: \((m,n)\in\{(1,4),\,(2,2)\}\)

Formule utile: Legi de compoziție

Cu regula câtului și \(\left(e^x\right)'\)​\(=e^x\):

\[f'(x)=\frac{(2x-3)e^x-\left(x^2-3x+1\right)e^x}{\left(e^x\right)^2}=\frac{2x-3-x^2+3x-1}{e^x}=\frac{-x^2+5x-4}{e^x}.\]

Cum \(-x^2+5x-4\)​\(=-(x-1)(x-4)\)​\(=(x-1)(4-x)\), obținem

\[f'(x)=\frac{(x-1)(4-x)}{e^x},\quad x\in\mathbb{R}.\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{(x-1)(4-x)}{e^x}\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

Limita este de tipul \(\frac{\infty}{\infty}\); aplicăm de două ori regula lui l'Hôpital:

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3x+1}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-3}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}=0.\]

Limita este finită și egală cu \(0\), deci dreapta \(y=0\), adică axa \(Ox\), este asimptotă orizontală spre \(+\infty\).

Răspuns: \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\)​\(=0\), deci \(Ox\) (dreapta \(y=0\)) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\).

Formule utile: Asimptote orizontale, calculator asimptote

Din a), \(f'(x)=0\iff x=1\) sau \(x=4\). Cum \(e^x\gt0\), semnul lui \(f'\) este semnul lui \((x-1)(4-x)\):

• pe \((-\infty,1)\): \(f'(x)\lt0\), deci \(f\) este strict descrescătoare;
• pe \((1,4)\): \(f'(x)\gt0\), deci \(f\) este strict crescătoare;
• pe \((4,+\infty)\): \(f'(x)\lt0\), deci \(f\) este strict descrescătoare.

Valori importante: \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\)​\(=+\infty\) (numărătorul tinde la \(+\infty\), iar \(e^x\to0^+\)), \(f(1)=-\dfrac1e\), \(f(4)\)​\(=\dfrac{16-12+1}{e^4}\)​\(=\dfrac{5}{e^4}\)​\(\lt1\) și, din b), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\)​\(=0\).

Pe \((-\infty,1]\), \(f\) este continuă și strict descrescătoare, cu valori în \(\left[-\frac1e,+\infty\right)\), deci ia exact o dată fiecare valoare \(n\ge1\).

Pe \([1,+\infty)\), valoarea maximă a lui \(f\) este \(f(4)\)​\(=\dfrac{5}{e^4}\)​\(\lt1\)​\(\le n\), deci aici ecuația nu are soluții.

Răspuns: Pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\), ecuația \(f(x)=n\) are exact o soluție (situată în \((-\infty,1)\)).

Formule utile: Aplicații ale derivatelor: monotonie și extreme, Limite de funcții

\(\dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}\)​\(=x\), deci

\[\int_0^2x\,dx=\frac{x^2}{2}\Bigg|_0^2=\frac42-0=2.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(2\).

Formule utile: Integrale definite, calculator integrale

Observăm că \(\left(x^2+4\right)'\)​\(=2x\), deci \(x\sqrt{x^2+4}\)​\(=\dfrac12\left(x^2+4\right)'\sqrt{x^2+4}\). Cum o primitivă a lui \(u'\sqrt{u}\) este \(\dfrac23u\sqrt u\):

\[\int_0^{\sqrt5}f(x)\,dx=\frac12\int_0^{\sqrt5}\left(x^2+4\right)'\sqrt{x^2+4}\,dx=\frac13\left(x^2+4\right)\sqrt{x^2+4}\,\Bigg|_0^{\sqrt5}.\]

\[=\frac13\left(9\cdot3-4\cdot2\right)=\frac13(27-8)=\frac{19}{3}.\]

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^{\sqrt5}f(x)\,dx\)​\(=\frac{19}{3}\)

Formule utile: Tabel de integrale nedefinite, Integrale definite

\(f^2(x)\)​\(=x^2\left(x^2+4\right)\), deci, pentru \(n\ge2\):

\[I_n=\int_1^2\frac{x^n}{x^2\left(x^2+4\right)}\,dx=\int_1^2\frac{x^{n-2}}{x^2+4}\,dx.\]

Adunăm, folosind \(x^n+4x^{n-2}\)​\(=x^{n-2}\left(x^2+4\right)\):

\[I_{n+2}+4I_n=\int_1^2\frac{x^{n-2}\left(x^2+4\right)}{x^2+4}\,dx=\int_1^2x^{n-2}\,dx=\frac{x^{n-1}}{n-1}\Bigg|_1^2=\frac{2^{n-1}-1}{n-1}.\]

Ecuația devine \(\dfrac{2^{n-1}-1}{n-1}\)​\(=\dfrac{3}{n-1}\)​\(\iff2^{n-1}\)​\(=4\)​\(=2^2\)​\(\iff n\)​\(=3\), care convine (\(n\ge2\)).

Răspuns: \(n=3\)

Formule utile: Integrale definite, Puteri