Subiectele oficiale de la Bacalaureat 2022, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii) din a doua sesiune, august–septembrie (sesiunea de toamnă), Varianta 7, rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Proba s-a susținut pe 17 august 2022; fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată și răspunsul final evidențiat.
Proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2. Subiectul din sesiunea iunie–iulie a aceluiași an îl găsești la Bac 2022 M2 rezolvat (iunie).
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(m_a=21\) |
| I.2 | \(f(a)+g(a)=2\) |
| I.3 | \(x\in\{1,\,6\}\) |
| I.4 | \(8\) numere |
| I.5 | \(OM=AM=3\sqrt2\) |
| I.6 | \(AD=2\) |
| II.1 | a) \(3\); b) \(2I_2\); c) \(x\in\{-2,\,1\}\) |
| II.2 | a) \(3\); b) \(a=1\); c) \(x\in\left[-\frac12,\,2\right]\) |
| III.1 | b) \(-2\); c) \(f(x)\ge f(1)=6\) |
| III.2 | a) \(2\); b) \(e^2-5\); c) \(a=0\) |
Media aritmetică a două numere este semisuma lor; radicalii se reduc:
Răspuns: media aritmetică este \(21\).
Vezi și: Media aritmetică, Radicali — reguli de calcul.
Pentru orice număr real \(a\): \(f(a)=a-1\) și \(g(a)=3-a\). Adunăm:
Răspuns: \(f(a)+g(a)=2\), pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).
Vezi și: Funcția de gradul I.
Ridicăm la pătrat ambii membri (apoi verificăm soluțiile, pentru că ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine):
deci \(x=1\) sau \(x=6\).
Verificare: \(\sqrt{7-6}=1\) ✓ și \(\sqrt{42-6}=\sqrt{36}=6\) ✓. Ambele valori convin.
Răspuns: \(x\in\{1,\,6\}\).
Vezi și: Ecuații iraționale — fișă de lucru, Ecuația de gradul al II-lea.
Un număr este par dacă cifra unităților este pară. Din mulțime, cifra unităților poate fi \(2\) sau \(4\): 2 moduri.
Cifrele nu trebuie să fie distincte, deci, pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în 4 moduri (\(1,2,3\) sau \(4\)). Conform regulii produsului:
Acestea sunt: \(12, 14, 22, 24, 32, 34, 42, 44\).
Răspuns: se pot forma \(8\) numere.
Vezi și: Combinatorică — regula produsului.
Mijlocul segmentului \(OB\), cu \(O(0,0)\): \(x_M=\frac{0+6}{2}=3\), \(y_M=\frac{0+6}{2}=3\), deci \(M(3,3)\).
Laturile \(OM\) și \(AM\) sunt egale, deci triunghiul \(AOM\) este isoscel (cu baza \(OA\)).
Răspuns: \(OM=AM=3\sqrt2\), deci triunghiul \(AOM\) este isoscel.
Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.
Suma unghiurilor triunghiului este \(180^\circ\), deci \(m(\angle ACB)=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\).
Fie \(AD\) înălțimea din \(A\) (\(D\in BC\)). Triunghiul \(ACD\) este dreptunghic în \(D\), cu ipotenuza \(AC=4\) și \(m(\angle ACD)=30^\circ\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză:
(Echivalent: \(AD=AC\cdot\sin30^\circ=4\cdot\frac12=2\).)
Răspuns: \(AD=2\).
Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Tabel trigonometric.
1. Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)=3\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Înmulțim (linie cu coloană):
Răspuns: \(A(-1)\cdot A(2)-A(-1)=2I_2\).
Adunând, elementele de pe diagonala secundară se reduc:
pentru orice număr real \(x\). Ecuația devine \(\left(x^2+x+1\right)I_2=3I_2\), adică
Răspuns: \(x\in\{-2,\,1\}\).
Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y=4(xy+1)-3(x+y)\).
Din \(a\circ3=4\) obținem \(9a-5=4\), deci \(a=1\). Atunci
Răspuns: \(a=1\) și \(a\circ(-a)=1\circ(-1)=0\).
Calculăm întâi \(x\circ1\):
Apoi, cu \(u=x+1\) și \(v=x-1\): \(uv=x^2-1\) și \(u+v=2x\), deci
pentru orice număr real \(x\). Inecuația devine
Rădăcinile trinomului sunt \(-\frac12\) și \(2\); coeficientul lui \(x^2\) fiind pozitiv, trinomul este \(\le0\) între rădăcini.
Răspuns: \(x\in\left[-\dfrac12,\,2\right]\).
Vezi și: Inecuații, Funcția de gradul al II-lea — semnul trinomului.
1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x^2+x+3-5\ln x\).
Trinomul \(4x^2+x-5\) are rădăcinile \(1\) și \(-\frac54\), deci \(4x^2+x-5=(x-1)(4x+5)\). Așadar
Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(4x+5)}{x}\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
Termenul cu logaritm se reduce: \(f(x)+5\ln x=2x^2+x+3\). Dăm factor comun forțat \(x^2\):
Răspuns: limita este \(-2\).
Vezi și: Limite de funcții, Calculator limite.
Din a), \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\) (pe \((0,+\infty)\), \(4x+5\gt0\) și \(x\gt0\), deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \(x-1\)):
• pentru \(x\in(0,1]\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \((0,1]\);
• pentru \(x\in[1,+\infty)\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \([1,+\infty)\).
Așadar \(x=1\) este punct de minim global: \(f(x)\ge f(1)\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), unde
Deci \(2x^2+x+3-5\ln x\ge6\), adică \(2x^2+x\ge3+5\ln x\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).
Răspuns: \(f(x)\ge f(1)=6\), echivalent cu \(2x^2+x\ge3+5\ln x\).
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(3-2x)e^x\).
Simplificăm prin \(e^x\gt0\): \(\dfrac{f(x)}{e^x}=3-2x\). Aplicăm formula Leibniz–Newton:
Răspuns: integrala este egală cu \(2\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Integrăm prin părți, cu \(u=3-2x\) (\(u'=-2\)) și \(v'=e^x\) (\(v=e^x\)):
Răspuns: integrala este egală cu \(e^2-5\).
Vezi și: Integrarea prin părți.
\(f^3(x)=(3-2x)^3e^{3x}\), deci \(\dfrac{e^{3x}}{f^3(x)}=\dfrac{1}{(3-2x)^3}\) (pe \([a,1]\) avem \(3-2x\ge1\gt0\)). Cum \((3-2x)'=-2\):
deci
pentru orice \(a\in(-\infty,1)\). (Verificare prin derivare: \(\left(\frac{1}{4(3-2x)^2}\right)'=\frac{-2\cdot(-2)}{4(3-2x)^3}=\frac{1}{(3-2x)^3}\).)
Punem condiția:
Pentru \(a\lt1\) avem \(3-2a\gt1\gt0\), deci \(3-2a=3\), adică \(a=0\). (Soluția \(3-2a=-3\), adică \(a=3\), nu convine.)
Răspuns: \(a=0\).
Vezi și: Primitive, Tabel de integrale nedefinite.
Subiectul I a cuprins o medie aritmetică cu radicali, funcții de gradul I, o ecuație irațională, o problemă de numărare, geometrie analitică și un triunghi dreptunghic. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți (cu o ecuație matriceală) și o lege de compoziție care duce la o inecuație de gradul al II-lea, iar Subiectul al III-lea derivate, o limită, o inegalitate demonstrată prin monotonie și integrale definite.
Subiectul și baremul oficial (Varianta 7, proba din 17 august 2022) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE pe subiecte.edu.ro, în arhiva sesiunii august–septembrie 2022.
Ce variantă s-a dat la Bac 2022 matematică M2 în sesiunea de toamnă? În sesiunea august–septembrie 2022 (proba din 17 august) s-a extras Varianta 7 la toate profilurile de matematică. Toți cei 18 itemi de la M_șt-nat sunt rezolvați mai sus.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la Bac 2022 M2 din august? De obicei III.2 c): trebuie observat că \(\frac{e^{3x}}{f^3(x)}=\frac{1}{(3-2x)^3}\), găsită o primitivă a acestei funcții și apoi aleasă, din condiția \(a\lt1\), singura soluție \(a=0\).
Bac 2022 M2 rezolvat (iunie–iulie) · Bac 2021 M2 rezolvat (august) · Bac 2020 M2 rezolvat (august)
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.