Ecuația unei drepte — prin 2 puncte, punct și pantă

Q: Cum scriu ecuația dreptei care trece prin două puncte?

Folosești (y-y_A)/(y_B-y_A) = (x-x_A)/(x_B-x_A) sau calculezi panta m = (y_B-y_A)/(x_B-x_A) și scrii y - y_A = m(x - x_A) . Dacă x_A = x_B , dreapta este verticală: x = x_A .

Q: Când sunt două drepte perpendiculare?

Când produsul pantelor este -1 : m_1 · m_2 = -1 . În forma generală, condiția este a_1a_2 + b_1b_2 = 0 , valabilă și când una dintre drepte este verticală.

Formule

Ecuația dreptei care trece prin punctele $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ este $\frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ , iar dreapta prin $M (x_{0}, y_{0})$ cu panta $m$ are ecuația $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ . Orice dreaptă se poate scrie în forma generală $a x + b y + c = 0$ (cu $a, b$ nu simultan nuli), iar orice dreaptă neverticală și în forma explicită $y = m x + n$ . Tabelul de mai jos rezumă toate formele, urmate de paralelism, perpendicularitate, intersecție și distanța de la un punct la o dreaptă.

Ecuația dreptei prin două puncte, ecuația dreptei prin punct și pantă și panta dreptei m = tg α, cu desen în reperul xOy

Formele ecuației dreptei

Forma	Ecuația	Când o folosești
Generală	$a x + b y + c = 0$ , $a^{2} + b^{2} \neq 0$	forma finală cerută de obicei
Explicită	$y = m x + n$	știi panta $m$ și ordonata la origine $n$
Punct și pantă	$y - y_{0} = m (x - x_{0})$	știi un punct și panta (sau unghiul cu $O x$ )
Prin două puncte	$\frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}}$	știi două puncte, $x_{A} \neq x_{B}$ , $y_{A} \neq y_{B}$
Prin tăieturi	$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$	dreapta taie axele în $(p, 0)$ și $(0, q)$
Paralelă cu $O x$	$y = y_{0}$	panta 0 (dreaptă orizontală)
Paralelă cu $O y$	$x = x_{0}$	dreaptă verticală, fără pantă

Ecuația dreptei prin două puncte

A B : \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}}

Formula cere $x_{A} \neq x_{B}$ și $y_{A} \neq y_{B}$ . Dacă $x_{A} = x_{B}$ , dreapta este $x = x_{A}$ ; dacă $y_{A} = y_{B}$ , dreapta este $y = y_{A}$ . O formă valabilă în toate cazurile folosește un determinant:

| \begin{matrix} x & y & 1 \\ x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \end{matrix} | = 0

Aceeași condiție, cu un punct $C$ în locul lui $(x, y)$ , arată că $A, B, C$ sunt coliniare (vezi coordonate, distanța, mijlocul, coliniaritatea).

Ecuația dreptei prin punct și pantă. Forma explicită

y - y_{0} = m (x - x_{0})

Desfăcând parantezele obții forma explicită $y = m x + n$ : $m$ este panta, iar $n$ este ordonata punctului în care dreapta taie axa $O y$ , adică $(0, n)$ . Dreptele prin origine au $n = 0$ : $y = m x$ . Bisectoarele: $y = x$ (prima, $m = 1$ ) și $y = - x$ (a doua, $m = - 1$ ).

Coeficientul unghiular (panta), pe scurt

În $y = m x + n$ , panta $m = tg α$ este coeficientul lui $x$ ; prin două puncte $m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ , iar din forma generală $m = - \frac{a}{b}$ ( $b \neq 0$ ). Dreptele verticale nu au pantă.

Detalii, toate formulele și exemple rezolvate: Panta unei drepte

Ecuația prin tăieturi

Dacă dreapta intersectează axele în $P (p, 0)$ și $Q (0, q)$ , cu $p, q \neq 0$ , ecuația ei este $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ . Invers, din $a x + b y + c = 0$ afli tăieturile punând pe rând $y = 0$ și $x = 0$ .

Drepte paralele, perpendiculare și unghiul a două drepte

Pentru $d_{1} : y = m_{1} x + n_{1}$ și $d_{2} : y = m_{2} x + n_{2}$ :

d_{1} ∥ d_{2} ⟺ m_{1} = m_{2}, n_{1} \neq n_{2}

d_{1} ⊥ d_{2} ⟺ m_{1} \cdot m_{2} = - 1

În forma generală $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ , $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ : paralele dacă $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ , perpendiculare dacă $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ . Unghiul ascuțit $φ$ dintre două drepte neperpendiculare se află din:

tg φ = | \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} m_{2}} |

Mai multe cazuri: drepte paralele și perpendiculare, intersecția a două drepte.

Intersecția a două drepte

Punctul comun al dreptelor $d_{1}$ și $d_{2}$ are coordonatele egale cu soluția sistemului format din cele două ecuații. Sistemul are soluție unică dacă dreptele sunt concurente ( $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq 0$ ), nicio soluție dacă sunt paralele și o infinitate dacă sunt confundate.

Distanța de la un punct la o dreaptă

Distanța de la $M (x_{0}, y_{0})$ la dreapta $d : a x + b y + c = 0$ este:

d (M, d) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Ecuația trebuie adusă întâi la forma generală. Aplicații (înălțimi, arii): distanța de la un punct la o dreaptă și arii. Coordonatele vectorului director $\vec{A B}$ sunt pe pagina vectori în plan.

Probleme tipice Bac

Mediatoarea segmentului $A B$ : trece prin mijlocul lui $A B$ și are panta $- \frac{1}{m_{A B}}$ .
Înălțimea din $A$ a triunghiului $A B C$ : trece prin $A$ și are panta $- \frac{1}{m_{B C}}$ ; lungimea ei este distanța de la $A$ la dreapta $B C$ .
Mediana din $A$ : dreapta prin $A$ și mijlocul laturii $B C$ , scrisă cu formula prin două puncte.
Parametru pentru paralelism sau perpendicularitate: egalezi pantele, respectiv pui condiția $m_{1} m_{2} = - 1$ sau $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ , apoi rezolvi ecuația în parametru.

Greșeli frecvente

Panta din forma generală: pentru $2 x + 3 y - 1 = 0$ , panta este $- \frac{2}{3}$ , nu 2 sau $\frac{2}{3}$ ; scrie întâi $y = - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$ .
Formula prin două puncte cu numitor zero: dacă $x_{A} = x_{B}$ , dreapta este verticală, $x = x_{A}$ .
Perpendiculara: panta ei este $- \frac{1}{m}$ (inversă și cu semn schimbat), nu $- m$ și nici $\frac{1}{m}$ .
Distanța fără modul sau fără radical: numărătorul este $| a x_{0} + b y_{0} + c |$ , numitorul $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Calculează rapid: calculator ecuația dreptei prin două puncte — pantă, ecuație, distanță și mijloc, cu toți pașii.

Întrebări frecvente

Cum scriu ecuația dreptei care trece prin două puncte? Folosești $\frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ sau calculezi panta $m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ și scrii $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ . Dacă $x_{A} = x_{B}$ , dreapta este verticală: $x = x_{A}$ .

Cum scriu ecuația dreptei paralele cu o dreaptă dată, printr-un punct? Dreapta paralelă are aceeași pantă. De exemplu, paralela la $y = 2 x + 1$ prin $M (1, 4)$ este $y - 4 = 2 (x - 1)$ , adică $y = 2 x + 2$ .

Când sunt două drepte perpendiculare? Când produsul pantelor este $- 1$ : $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ . În forma generală, condiția este $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ , valabilă și când una dintre drepte este verticală.

Exersează: fișă de lucru printabilă — ecuația dreptei, clasa a 10-a, cu 19 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

Panta dreptei care trece prin $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ , cu $x_{1} \neq x_{2}$ , este:

$\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
$\frac{x_{2} - x_{1}}{y_{2} - y_{1}}$
$\frac{y_{2} + y_{1}}{x_{2} + x_{1}}$

Ecuația dreptei care trece prin $A (1, 2)$ și $B (3, 8)$ este:

$y = 3 x + 2$
$y = 3 x - 1$
$y = 2 x + 2$

Ce pantă are o dreaptă perpendiculară pe $d : y = 2 x + 1$ ?

$- 2$
$2$
$- \frac{1}{2}$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (prin două puncte, Bac M2). Scrieți ecuația dreptei $A B$ , unde $A (1, 3)$ și $B (3, 7)$ .

Rezolvare: $\frac{y - 3}{7 - 3} = \frac{x - 1}{3 - 1} \Rightarrow y - 3 = 2 (x - 1)$ . Deci $A B : y = 2 x + 1$ , adică $2 x - y + 1 = 0$ .

Exemplul 2 (unghi cu Ox și un punct). Determinați ecuația dreptei care formează cu axa $O x$ un unghi de $45^{\circ}$ și trece prin $A (2, - 1)$ .

Rezolvare: $m = tg 45^{\circ} = 1$ . Din $y + 1 = 1 \cdot (x - 2)$ obținem $y = x - 3$ , adică $x - y - 3 = 0$ .

Exemplul 3 (prin tăieturi). Scrieți ecuația dreptei care taie axele în $P (3, 0)$ și $Q (0, - 2)$ .

Rezolvare: $\frac{x}{3} + \frac{y}{- 2} = 1$ . Înmulțind cu 6: $2 x - 3 y = 6$ , adică $2 x - 3 y - 6 = 0$ .

Exemplul 4 (paralela și perpendiculara, Bac M2). Fie $d : y = 2 x + 1$ și $P (1, 4)$ . Scrieți ecuațiile dreptelor prin $P$ paralelă, respectiv perpendiculară pe $d$ .

Rezolvare: Paralela are $m = 2$ : $y - 4 = 2 (x - 1) \Rightarrow y = 2 x + 2$ . Perpendiculara are $m = - \frac{1}{2}$ : $y - 4 = - \frac{1}{2} (x - 1) \Rightarrow x + 2 y - 9 = 0$ .

Exemplul 5 (intersecția a două drepte). Aflați punctul de intersecție al dreptelor $d_{1} : x + y - 5 = 0$ și $d_{2} : 2 x - y - 1 = 0$ .

Rezolvare: Adunând ecuațiile: $3 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ , apoi $y = 5 - 2 = 3$ . Punctul de intersecție este $(2, 3)$ .

Exemplul 6 (distanța punct–dreaptă, Bac M1). Calculați distanța de la $A (1, 2)$ la dreapta $d : 3 x + 4 y - 1 = 0$ .

Rezolvare: $d (A, d) = \frac{| 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 1 |}{\sqrt{9 + 16}}$ $= \frac{10}{5} = 2$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Determinați ecuația dreptei $d$ care formează cu axa $O x$ un unghi de $60^{\circ}$ și trece prin origine.
Determinați ecuația dreptei de pantă $- 3$ care trece prin punctul $A (2, - 4)$ .
Determinați ecuația dreptei care formează cu axa $O x$ un unghi de $30^{\circ}$ și trece prin $A (6, 0)$ .
Determinați ecuația dreptei care trece prin punctele $A (6, - 4)$ și $B (7, - 7)$ .
Fie punctele $A (5, - 2)$ și $B (- 1, 4)$ . Determinați mijlocul segmentului $A B$ , panta dreptei $A B$ și ecuația mediatoarei segmentului $A B$ .
Se consideră punctele $A (2, - 1)$ , $B (- 3, 0)$ , $C (4, - 5)$ . Determinați ecuația înălțimii din $A$ a triunghiului $A B C$ .
Determinați $a \in R$ pentru care dreptele $d_{1} : a x + 2 y + 1 = 0$ și $d_{2} : 3 x - y + 4 = 0$ sunt: a) paralele; b) perpendiculare.
Aflați punctul de intersecție al dreptelor $x - 2 y + 3 = 0$ și $3 x + y - 5 = 0$ și distanța de la acest punct la dreapta $3 x - 4 y + 10 = 0$ .

Răspunsuri

$m = \sqrt{3}$ : $y = \sqrt{3} x$
$y + 4 = - 3 (x - 2) \Rightarrow y = - 3 x + 2$
$m = \frac{\sqrt{3}}{3}$ : $x - \sqrt{3} y - 6 = 0$
$m = - 3$ : $y = - 3 x + 14$
$M (2, 1)$ , $m_{A B} = - 1$ ; mediatoarea are panta 1: $y = x - 1$
$m_{B C} = - \frac{5}{7}$ , înălțimea are panta $\frac{7}{5}$ : $7 x - 5 y - 19 = 0$
a) $\frac{a}{3} = \frac{2}{- 1} \Rightarrow a = - 6$ ; b) $3 a - 2 = 0 \Rightarrow a = \frac{2}{3}$
Intersecția $(1, 2)$ ; distanța $\frac{| 3 - 8 + 10 |}{5} = 1$

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Ecuația unei drepte — prin 2 puncte, cu pantă, forma generală