Bacalaureat 2021 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Media aritmetică a două numere este semisuma lor:

\[m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{2021-\sqrt2+2021+\sqrt2}{2}=\frac{2\cdot2021}{2}=2021.\]

Răspuns: \(m_a=2021\)

Formule utile: Media aritmetică, Radicali

Punctul \(A(1,m)\) aparține graficului lui \(f\) dacă și numai dacă \(f(1)=m\).

\[f(1)=1^2-3\cdot1+1=1-3+1=-1\Rightarrow m=-1.\]

Răspuns: \(m=-1\)

Formule utile: Funcția de gradul al II-lea

Condiții de existență: \(x\ge0\) (pentru radical) și \(\sqrt x-3\gt0\), adică \(x\gt9\) (atunci și \(\sqrt x+3\gt0\)).

Folosim \(\log_3u+\log_3v\)​\(=\log_3(uv)\):

\[\log_3\Big(\left(\sqrt x+3\right)\left(\sqrt x-3\right)\Big)=2\iff\left(\sqrt x\right)^2-9=3^2\iff x-9=9\iff x=18.\]

Cum \(18\gt9\), soluția convine.

Răspuns: \(x=18\)

Formule utile: Logaritmi, calculator logaritmi

O mulțime cu \(n\) elemente are \(2^n\) submulțimi (inclusiv mulțimea vidă și mulțimea însăși).

\[2^n=16=2^4\iff n=4.\]

Răspuns: Mulțimea are \(4\) elemente.

Formule utile: Mulțimi, Combinatorică

Din regula paralelogramului, \(MNQP\) este paralelogram, deci diagonalele \(MQ\) și \(PN\) au același mijloc.

Calcul direct cu coordonate: \(\overrightarrow{MN}\)​\(=(5,3)\), \(\overrightarrow{MP}\)​\(=(3,3)\), deci \(\overrightarrow{MQ}\)​\(=(8,6)\).

\[x_Q=x_M+8=3+8=11,\qquad y_Q=y_M+6=0+6=6.\]

Verificare: mijlocul lui \(PN\) este \((7,3)\), iar mijlocul lui \(MQ\) este \(\left(\frac{3+11}{2},\frac{0+6}{2}\right)\)​\(=(7,3)\) ✓.

Răspuns: \(Q(11,6)\)

Formule utile: Coordonatele unui vector, Coordonate (mijlocul unui segment)

Folosim \(\sin2A\)​\(=2\sin A\cos A\):

\[2\sin A\cdot\cos A\cdot\cos A=\sin A.\]

Într-un triunghi \(\sin A\gt0\), deci putem împărți: \(2\cos^2A=1\), adică \(\cos^2A=\dfrac12\).

Unghiul \(A\) este ascuțit, deci \(\cos A\gt0\) și \(\cos A\)​\(=\dfrac{1}{\sqrt2}\)​\(=\dfrac{\sqrt2}{2}\), de unde \(A=\dfrac{\pi}{4}\).

Răspuns: \(A=\dfrac{\pi}{4}\)

Formule utile: Formule trigonometrice, Tabel trigonometric

Cum \(\log_21=0\), \(A(1)\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(1)\big)=1\cdot1\cdot1+0+0-1\cdot1\cdot0-0-0=1.\]

Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=1\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Cu regula lui Sarrus (singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală):

\[\det\big(A(a)\big)=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&a&0\\1+\log_2a&0&1\end{vmatrix}=1\cdot a\cdot1=a.\]

Pentru \(a\in(0,+\infty)\), \(\det\big(A(a)\big)\)​\(=a\)​\(\ne0\), deci matricea \(A(a)\) este inversabilă.

Răspuns: \(\det\big(A(a)\big)\)​\(=a\)​\(\ne0\), deci \(A(a)\) este inversabilă pentru orice \(a\gt0\).

Formule utile: Matrice inversabilă, Determinanți

Inversa este (se verifică ușor că produsul cu \(A(a)\) dă \(I_3\)):

\[\big(A(a)\big)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac1a&0\\-1-\log_2a&0&1\end{pmatrix}.\]

Verificare pentru elementul de pe linia 3, coloana 1 al produsului \(A(a)\cdot\big(A(a)\big)^{-1}\): \((1+\log_2a)\cdot1+0+1\cdot(-1-\log_2a)\)​\(=0\) ✓.

Adunând, elementele de pe linia 3, coloana 1 se reduc:

\[A(a)+\big(A(a)\big)^{-1}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&a+\frac1a&0\\0&0&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\Big(A(a)+\big(A(a)\big)^{-1}\Big)=4\left(a+\frac1a\right).\]

Pentru \(a\gt0\): \(a+\dfrac1a\ge2\), deoarece \(a+\dfrac1a-2\)​\(=\dfrac{(a-1)^2}{a}\)​\(\ge0\). Deci determinantul este cel puțin \(4\cdot2=8\).

Răspuns: \(\det\Big(A(a)+\big(A(a)\big)^{-1}\Big)\)​\(=4\left(a+\frac1a\right)\)​\(\ge8\), cu egalitate pentru \(a=1\).

Formule utile: Matrice inversabilă, Inegalitatea mediilor

Pentru \(m=1\): \(x\circ y\)​\(=xy-(x+y)+2\). Atunci

\[2\circ2=2\cdot2-(2+2)+2=4-4+2=2.\]

Răspuns: \(2\circ2=2\)

Formule utile: Legi de compoziție

Scriem condiția și aflăm \(m\):

\[2\circ1=5\iff2\cdot1-m(2+1)+m(m+1)=5\iff m^2-2m-3=0\iff(m-3)(m+1)=0.\]

Cum \(m\in(0,+\infty)\), obținem \(m=3\), deci \(x\circ y\)​\(=xy-3(x+y)+12\). Atunci

\[2\circ5=2\cdot5-3(2+5)+3\cdot4=10-21+12=1.\]

Răspuns: Din \(2\circ1=5\) rezultă \(m=3\) și atunci \(2\circ5=1\).

Formule utile: Legi de compoziție, Ecuația de gradul al II-lea

Aplicăm definiția legii:

\[\left(mx^3\right)\circ\left(-mx^2\right)=-m^2x^5-m\left(mx^3-mx^2\right)+m^2+m.\]

Egalitatea cu \(m\) devine

\[-m^2x^5-m^2x^3+m^2x^2+m^2=0\iff m^2\left(x^5+x^3-x^2-1\right)=0.\]

Cum \(m\gt0\), \(m^2\ne0\), deci \(x^5+x^3-x^2-1=0\). Grupăm termenii:

\[x^3\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)=0\iff\left(x^2+1\right)\left(x^3-1\right)=0.\]

\(x^2+1\gt0\), deci \(x^3=1\), adică \(x=1\) (singura soluție reală).

Răspuns: \(x=1\)

Formule utile: Legi de compoziție

Derivăm termen cu termen, cu \((\ln x)'=\dfrac1x\):

\[f'(x)=4x^3-\frac4x=\frac{4x^4-4}{x}=\frac{4\left(x^4-1\right)}{x}.\]

Descompunem: \(x^4-1\)​\(=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\)​\(=\left(x^2+1\right)(x+1)(x-1)\), deci

\[f'(x)=\frac{4\left(x^2+1\right)(x+1)(x-1)}{x},\quad x\in(0,+\infty).\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{4\left(x^2+1\right)(x+1)(x-1)}{x}\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

Pentru \(x\gt0\), factorii \(4\), \(x^2+1\), \(x+1\) și \(x\) sunt pozitivi, deci semnul lui \(f'(x)\) este semnul lui \(x-1\); \(f'(x)=0\iff x=1\).

• pentru \(x\in(0,1]\): \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \((0,1]\);
• pentru \(x\in[1,+\infty)\): \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \([1,+\infty)\).

Răspuns: \(f\) descrescătoare pe \((0,1]\) și crescătoare pe \([1,+\infty)\).

Formule utile: Aplicații ale derivatelor: monotonie și extreme

Calculăm limitele la capete și valoarea minimă. Cum \(\lim\limits_{x\to0^+}x^4\)​\(=0\) și \(\lim\limits_{x\to0^+}\ln x\)​\(=-\infty\):

\[\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x^4\left(1-\frac{2}{x^4}-\frac{4\ln x}{x^4}\right)=+\infty,\]

iar \(f(1)=1-2-0=-1\lt0\) este minimul funcției.

Pe \((0,1]\), \(f\) este continuă și strict descrescătoare, de la \(+\infty\) la \(-1\), deci ia valoarea \(0\) exact o dată. Pe \([1,+\infty)\), \(f\) este continuă și strict crescătoare, de la \(-1\) la \(+\infty\), deci ia valoarea \(0\) exact o dată. Cum \(f(1)\ne0\), cele două soluții sunt distincte (una în \((0,1)\), alta în \((1,+\infty)\)).

Răspuns: Ecuația \(f(x)=0\) are exact două soluții, \(x_1\in(0,1)\) și \(x_2\in(1,+\infty)\).

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, Limite de funcții

\(\left(x^4+1\right)f(x)\)​\(=x^4+1+2x\), deci

\[\int_0^1\left(x^4+1+2x\right)dx=\left(\frac{x^5}{5}+x+x^2\right)\Bigg|_0^1=\frac15+1+1=\frac{11}{5}.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(\dfrac{11}{5}\).

Formule utile: Integrale definite, calculator integrale

Panta asimptotei oblice este \(m\)​\(=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{F(x)}{x}\). Pentru \(x\ge0\), \(F'(x)=f(x)\ge1\), deci \(F(x)\)​\(\ge F(0)+x\to+\infty\): limita este de tipul \(\frac{\infty}{\infty}\) și aplicăm regula lui l'Hôpital:

\[m=\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{F'(x)}{x'}=\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2x}{x^4+1}\right)=1.\]

Răspuns: Panta asimptotei oblice spre \(+\infty\) este \(1\).

Formule utile: Asimptote oblice, Primitive

Observăm că \(\left(\operatorname{arctg}\left(x^2\right)\right)'\)​\(=\dfrac{2x}{1+x^4}\). Atunci

\[G(x)=\int_0^xf(t)\,dt=\int_0^x\left(1+\frac{2t}{t^4+1}\right)dt=\Big(t+\operatorname{arctg}\left(t^2\right)\Big)\Bigg|_0^x=x+\operatorname{arctg}\left(x^2\right).\]

Deci \(\displaystyle\int_0^1xG(x)\,dx\)​\(=\int_0^1x^2\,dx+\int_0^1x\operatorname{arctg}\left(x^2\right)dx\)​\(=\frac13+\int_0^1x\operatorname{arctg}\left(x^2\right)dx\).

Pentru a doua integrală scriem \(x\)​\(=\frac12\left(x^2\right)'\) și integrăm prin părți:

\[\int_0^1x\operatorname{arctg}\left(x^2\right)dx=\frac12x^2\operatorname{arctg}\left(x^2\right)\Bigg|_0^1-\frac12\int_0^1x^2\cdot\frac{2x}{x^4+1}\,dx=\frac12\cdot\frac{\pi}{4}-\int_0^1\frac{x^3}{x^4+1}\,dx.\]

Cum \(\left(x^4+1\right)'\)​\(=4x^3\), \(\displaystyle\int_0^1\frac{x^3}{x^4+1}\,dx\)​\(=\frac14\ln\left(x^4+1\right)\Bigg|_0^1\)​\(=\frac14\ln2\). Prin urmare

\[\int_0^1xG(x)\,dx=\frac13+\frac{\pi}{8}-\frac14\ln2.\]

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^1xG(x)\,dx\)​\(=\frac13+\frac{\pi}{8}-\frac14\ln2\)

Formule utile: Primitive (integrare prin părți), Tabel de integrale nedefinite