Simulare Bac 2023 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat

Calculăm pătratul cu formula \((a+b)^2\)​\(=a^2+2ab+b^2\) și folosim \(i^2=-1\):

\[z_1^2+4z_2=(1+2i)^2+4(1-i)=1+4i+4i^2+4-4i.\]

\[=5+4\cdot(-1)=5-4=1.\]

Răspuns: \(z_1^2+4z_2=1\)

Formule utile: Numere complexe, fișă numere complexe

Abscisele punctelor comune sunt soluțiile ecuației \(f(x)=g(x)\):

\[x^2+x+m=3x+1\iff x^2-2x+m-1=0.\]

Graficele au exact un punct comun dacă această ecuație are o singură soluție reală, adică \(\Delta=0\). Avem \(\Delta\)​\(=(-2)^2-4(m-1)\)​\(=8-4m\), deci \(8-4m=0\), adică \(m=2\).

Verificare: pentru \(m=2\), ecuația devine \((x-1)^2=0\), cu unica soluție \(x=1\); punctul comun este \((1,4)\).

Răspuns: \(m=2\)

Formule utile: Funcția de gradul al II-lea, Ecuația de gradul al II-lea

Condiții de existență: \(x^2+9\gt0\) (adevărat pentru orice \(x\)) și \(x\sqrt{10}\gt0\), deci \(x\gt0\).

Cum \(2\lg\left(x\sqrt{10}\right)\)​\(=\lg\left(x\sqrt{10}\right)^2\)​\(=\lg\left(10x^2\right)\), ecuația devine

\[\lg\left(x^2+9\right)=\lg\left(10x^2\right)\Rightarrow x^2+9=10x^2\Rightarrow x^2-1=0.\]

Obținem \(x=-1\), care nu convine (nu verifică \(x\gt0\)), și \(x=1\), care convine: \(\lg10\)​\(=1\)​\(=2\lg\sqrt{10}\) ✓.

Răspuns: \(x=1\)

Formule utile: Logaritmi, fișă ecuații logaritmice

\(A\)​\(=\{0,1,2,\dots,99\}\) are \(100\) de elemente, deci sunt \(100\) de cazuri posibile.

Numerele din \(A\) divizibile cu \(9\) sunt \(9\cdot0,\ 9\cdot1,\ 9\cdot2,\ \dots,\ 9\cdot11\) (adică \(0,9,18,\dots,99\)), deci sunt \(12\) cazuri favorabile.

\[p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{12}{100}=\frac{3}{25}.\]

Răspuns: \(p=\dfrac{3}{25}\)

Formule utile: Probabilități

Cu regula triunghiului (Chasles):

\[\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD},\qquad\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}.\]

Adunăm:

\[\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)+\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}\right)+\overrightarrow{CB}.\]

\(M\) este mijlocul lui \(AC\), deci \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\)​\(=\vec0\). Punctele \(D\) și \(E\) sunt pe \(AB\), cu \(AD=BE\): vectorul \(\overrightarrow{AD}\) are sensul de la \(A\) spre \(B\), iar \(\overrightarrow{BE}\) are sensul de la \(B\) spre \(A\), cu aceeași lungime, deci \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}\)​\(=\vec0\). Rămâne \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}\)​\(=\overrightarrow{CB}\).

Răspuns: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}\)​\(=\vec0+\vec0+\overrightarrow{CB}\)​\(=\overrightarrow{CB}\)

Formule utile: Vectori, fișă vectori în plan

Folosim \(\sin2x\)​\(=2\sin x\cos x\) și \(1+\cos2x=2\cos^2x\):

\[2\sin x\cos x=2\cos^2x\iff2\cos x\left(\sin x-\cos x\right)=0.\]

Cazul \(\cos x=0\): pe \([0,\pi]\) obținem \(x=\dfrac{\pi}{2}\).

Cazul \(\sin x=\cos x\): pe \([0,\pi]\) (unde \(\cos x\ne0\)) echivalent cu \(\operatorname{tg}x\)​\(=1\), deci \(x=\dfrac{\pi}{4}\).

Răspuns: \(x\in\left\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right\}\)

Formule utile: Formule trigonometrice, Tabel trigonometric

\(A(0)\)​\(=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&-1\\2&2&1\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(0)\big)=0\cdot0\cdot1+1\cdot(-1)\cdot2+1\cdot2\cdot2-2\cdot0\cdot2-1\cdot1\cdot1-(-1)\cdot2\cdot0.\]

\[\det\big(A(0)\big)=0-2+4-0-1-0=1.\]

Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=1\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Matricea sistemului este \(A(a)\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(a)\big)=a^2-2+4-4a+2a-1=a^2-2a+1=(a-1)^2.\]

(Produsele: \(a\cdot a\cdot1\), \(1\cdot(-1)\cdot2\), \(1\cdot2\cdot2\); se scad \(2\cdot a\cdot2\), \(a\cdot(-1)\cdot2\), \(1\cdot1\cdot1\).)

Sistemul are soluție unică dacă și numai dacă \(\det\big(A(a)\big)\)​\(\ne0\), adică \((a-1)^2\)​\(\ne0\)​\(\iff a\)​\(\ne1\).

Răspuns: \(a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\)

Formule utile: Sisteme de ecuații, fișă sisteme liniare

Pentru \(a=1\) sistemul devine

\[\begin{cases}x+y+2z=-2\\x+y-z=4\\2x+2y+z=2\end{cases}\]

Scăzând a doua ecuație din prima: \(3z=-6\), deci \(z=-2\). Atunci \(x+y=2\), iar a treia ecuație este verificată: \(2\cdot2-2=2\) ✓. Soluțiile sistemului sunt \((\alpha,\ 2-\alpha,\ -2)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Condițiile: \(\alpha\) întreg (atunci și \(2-\alpha\) este întreg) și \(\alpha\)​\(\gt2-\alpha\)​\(\gt-2\). Din \(\alpha\gt2-\alpha\) rezultă \(\alpha\gt1\), iar din \(2-\alpha\gt-2\) rezultă \(\alpha\lt4\). Întregii din intervalul \((1,4)\) sunt \(\alpha=2\) și \(\alpha=3\).

Răspuns: \((2,0,-2)\) și \((3,-1,-2)\)

Formule utile: Sisteme de ecuații, calculator sisteme de ecuații

\[1*\frac12=\frac{1\cdot\frac12}{1+\sqrt{\left(1-1^2\right)\left(1-\left(\frac12\right)^2\right)}}=\frac{\frac12}{1+\sqrt{0}}=\frac12.\]

Răspuns: \(1*\dfrac12\)​\(=\dfrac12\)

Formule utile: Legi de compoziție

\(\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-x^2\right)}\)​\(=\left|1-x^2\right|\)​\(=1-x^2\), pentru că \(x\in[-1,1]\)​\(\Rightarrow x^2\)​\(\le1\). Atunci

\[x*(-x)=\frac{-x^2}{1+\left|1-x^2\right|}=\frac{-x^2}{2-x^2},\quad x\in M.\]

\[x*(-x)+x^2=\frac{-x^2+2x^2-x^4}{2-x^2}=\frac{x^2\left(1-x^2\right)}{2-x^2}\ge0,\]

deoarece \(x^2\ge0\), \(1-x^2\ge0\) și \(2-x^2\ge1\gt0\). Deci \(x*(-x)\ge-x^2\).

Răspuns: \(x*(-x)+x^2\)​\(=\dfrac{x^2\left(1-x^2\right)}{2-x^2}\)​\(\ge0\), pentru orice \(x\in M\).

Formule utile: Legi de compoziție, fișă legi de compoziție

\[a*b=1\Rightarrow ab=1+\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}\ge1,\]

adică \(\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}\)​\(=ab-1\) și \(ab\ge1\).

Pe de altă parte, \(a,b\in[-1,1]\), deci \(|ab|\le1\), adică \(ab\le1\). Rezultă \(ab=1\), ceea ce, cu \(|a|\le1\) și \(|b|\le1\), este posibil doar pentru \(|a|=|b|=1\) cu același semn: \(a=b=1\) sau \(a=b=-1\).

Verificare: \(1*1\)​\(=\dfrac{1}{1+0}\)​\(=1\) ✓ și \((-1)*(-1)\)​\(=\dfrac{1}{1+0}\)​\(=1\) ✓.

Răspuns: \((a,b)\in\{(-1,-1),\ (1,1)\}\)

Formule utile: Legi de compoziție

Cu \((\ln u)'\)​\(=\dfrac{u'}{u}\) și \(\left(e^x+x^2\right)'\)​\(=e^x+2x\):

\[f'(x)=1-\frac{1}{e^x+x^2}\cdot\left(e^x+2x\right)=\frac{e^x+x^2-e^x-2x}{e^x+x^2}.\]

\[f'(x)=\frac{x^2-2x}{e^x+x^2}=\frac{x(x-2)}{e^x+x^2},\quad x\in\mathbb{R}.\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{x(x-2)}{e^x+x^2}\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

Panta tangentei în punctul \(\big(a,f(a)\big)\) este \(f'(a)\). Tangenta este paralelă cu axa \(Ox\) dacă și numai dacă panta este \(0\):

\[f'(a)=0\iff\frac{a(a-2)}{e^a+a^2}=0\iff a=0\ \text{sau}\ a=2\]

(numitorul \(e^a+a^2\) este strict pozitiv).

Răspuns: \(a\in\{0,2\}\)

Formule utile: Ecuația tangentei, fișă ecuația tangentei

Semnul lui \(f'(x)\) este semnul lui \(x(x-2)\) (numitorul este pozitiv):

• \(x\in(-\infty,0]\): \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \((-\infty,0]\);
• \(x\in[0,2]\): \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \([0,2]\);
• \(x\in[2,+\infty)\): \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \([2,+\infty)\).

Valori și limite: \(f(0)=-1-\ln1=-1\);

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(x-1-\ln e^x-\ln\left(1+\frac{x^2}{e^x}\right)\right)=-1-\ln1=-1,\]

iar pentru \(x\to-\infty\): \(f(x)\)​\(=x-1-\ln\left(x^2\right)-\ln\left(1+\dfrac{e^x}{x^2}\right)\), cu \(x-2\ln|x|\to-\infty\), deci \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\)​\(=-\infty\).

Cum \(f\) este continuă: pe \((-\infty,0]\) ia toate valorile din \((-\infty,-1]\); pe \([0,2]\) valorile din \([f(2),-1]\); pe \([2,+\infty)\) valorile din \([f(2),-1)\), unde \(f(2)\)​\(=1-\ln\left(e^2+4\right)\)​\(\lt-1\). Reunind, imaginea este \((-\infty,-1]\).

Răspuns: \(\operatorname{Im}f\)​\(=(-\infty,-1]\)

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, fișă monotonie și puncte de extrem

\(f(x)\sqrt{x+3}\)​\(=x^2+1\), deci

\[\int_0^3\left(x^2+1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_0^3=9+3=12.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(12\).

Formule utile: Integrale definite, calculator integrale

\(\dfrac{f(x)}{x^2+1}\)​\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}\)​\(=\dfrac{(x+3)'}{\sqrt{x+3}}\), iar o primitivă este \(2\sqrt{x+3}\):

\[\int_{-2}^1\frac{1}{\sqrt{x+3}}\,dx=2\sqrt{x+3}\,\Bigg|_{-2}^1=2\sqrt4-2\sqrt1=4-2=2.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(2\).

Formule utile: Tabel de integrale nedefinite

Pentru \(x\in[0,1]\) avem \(x+3\le4\), deci \(\sqrt{x+3}\le2\) și

\[\frac{1}{f(x)}=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2+1}\le\frac{2}{x^2+1},\quad x\in[0,1].\]

Integrând inegalitatea pe \([0,1]\) (proprietatea de monotonie a integralei):

\[\int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx\le2\int_0^1\frac{1}{x^2+1}\,dx=2\operatorname{arctg}x\,\Bigg|_0^1=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.\]

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx\)​\(\le\frac{\pi}{2}\)

Formule utile: Integrale definite, fișă integrala definită