Modelul oficial de subiect pentru Bacalaureat 2027 la matematică M_mate-info (M1), publicat de Ministerul Educației și Cercetării pe subiecte.edu.ro, rezolvat complet, pas cu pas, după baremul oficial. Găsești enunțul fiecărui item (Subiectul I 1–6, Subiectul II 1–2, Subiectul III 1–2), rezolvarea detaliată, răspunsul final și formulele de care ai nevoie.
Proba E. c), filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică (și filiera vocațională, profil militar, mate-info). Modelul arată structura și nivelul subiectului din 2027: toate subiectele sunt obligatorii, timpul de lucru este de 3 ore, iar punctajul este 3 × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea.
Subiectul și baremul originale (PDF, în arhiva oficială cu modelele la matematică): Bac_2027_E_c_Matematica_modele.zip (fișierele E_c_matematica_M_mate-info_2027_var_model.pdf și …_bar_model.pdf), pe pagina Modele de subiecte 2027 — probe scrise.
Cuprins: Subiectul I · Subiectul al II-lea · Subiectul al III-lea · Răspunsuri pe scurt
Calculăm, folosind \(i^2=-1\):
Un număr complex este real dacă partea imaginară este \(0\): \(a+3=0\), deci \(a=-3\).
Atunci \(z_3=-3+2=-1\).
Răspuns: \(z_3=-1\)
Formule utile: Numere complexe
Pentru o funcție inversabilă, \(f^{-1}(t)\)\(=0\)\(\iff f(0)\)\(=t\).
Într-adevăr, \(4\in(3,+\infty)\).
Răspuns: \(t=4\)
Formule utile: Funcția exponențială, Proprietățile funcțiilor (funcția inversă)
Condiție: membrul drept este nenegativ, deci și \(x\sqrt2-\sqrt2\)\(=\sqrt2(x-1)\)\(\ge0\), adică \(x\ge1\). Radicandul \(x^2+2\) este mereu pozitiv.
Ridicăm la pătrat:
Obținem \(x=0\), care nu convine (\(0\lt1\)), sau \(x=4\), care convine.
Verificare: \(4\sqrt2-\sqrt2\)\(=3\sqrt2\) și \(\sqrt{16+2}\)\(=\sqrt{18}\)\(=3\sqrt2\) ✓.
Răspuns: \(S=\{4\}\)
Formule utile: Radicali, Fișă: ecuații iraționale, calculator radicali
Submulțimile nevide cu cel mult două elemente au fie un element, fie două elemente.
În total: \(4+6=10\) submulțimi.
Răspuns: 10 submulțimi
Formule utile: Combinatorică, calculator combinări
Fie \(M\) mijlocul segmentului \(BC\). Atunci \(\overrightarrow{AM}\)\(=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\), iar \(G\) se află pe mediana \(AM\), cu \(AG=\frac23AM\). Deci
Pe de altă parte,
Așadar \(\overrightarrow{GM}\)\(=\overrightarrow{MD}\), deci \(M\) este mijlocul segmentului \(GD\). Cum \(M\) este și mijlocul lui \(BC\), diagonalele \(BC\) și \(GD\) ale patrulaterului \(CGBD\) au același mijloc, deci \(CGBD\) este paralelogram.
Răspuns: Diagonalele \(BC\) și \(GD\) se înjumătățesc (în \(M\)), deci \(CGBD\) este paralelogram.
Formule utile: Vectori, Patrulatere (paralelogram), Fișă: vectori în plan
Din teorema sinusului, \(\dfrac{BC}{\sin A}\)\(=2R\):
Triunghiul este isoscel, deci \(B\)\(=C\)\(=\dfrac{\pi-\frac{2\pi}{3}}{2}\)\(=\dfrac{\pi}{6}\).
Fie \(D\) proiecția lui \(B\) pe dreapta \(AC\) (unghiul \(A\) fiind obtuz, \(D\) cade pe prelungirea laturii \(CA\)). Triunghiul \(BDC\) este dreptunghic în \(D\), cu \(C=\frac{\pi}{6}\), deci cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză:
Răspuns: \(d(B,AC)=\sqrt3\)
Formule utile: Teorema sinusului, Tabel trigonometric, Triunghiul dreptunghic
1. Se consideră matricele \(I_3\)\(=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)\)\(=\begin{pmatrix}-2&x&0\\0&1&0\\0&3x+2&-2\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
\(A(3)\)\(=\begin{pmatrix}-2&3&0\\0&1&0\\0&11&-2\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:
Răspuns: \(\det\big(A(3)\big)\)\(=4\)
Formule utile: Determinanți, calculator determinant
Înmulțim linie cu coloană:
(de exemplu, elementul de pe linia 3, coloana 2: \((3x+2)\cdot1+(-2)(3y+2)\)\(=3x-6y-2\)). Atunci
Răspuns: \(A(x)A(y)-A(x)+2A(y)\)\(=2I_3\) pentru orice \(x,y\) reale.
Formule utile: Matrice și determinanți
Punem \(y=x\) în relația de la b): \(A(x)^2-A(x)+2A(x)\)\(=2I_3\), deci
Înmulțim cu \(A(x)\):
Egalitatea cerută devine \(3A(x)-2I_3\)\(=aA(x)+bI_3\), adică \((3-a)A(x)\)\(=(b+2)I_3\) pentru orice \(x\) real.
Dacă \(a\ne3\), ar rezulta \(A(x)\)\(=\frac{b+2}{3-a}I_3\), imposibil, deoarece pe diagonala lui \(A(x)\) apar valorile diferite \(-2\) și \(1\). Deci \(a=3\) și atunci \(b+2=0\), adică \(b=-2\).
Răspuns: \(a=3\), \(b=-2\)
Formule utile: Matrice, Matrice inversabilă
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=2(x-1)(y-2)+2\).
\(a*x=2(a-1)(x-2)+2\), deci condiția este \(2(a-1)(x-2)+2=x\) pentru orice \(x\). Desfacem parantezele și grupăm după \(x\):
Un polinom de gradul cel mult 1 este nul pentru orice \(x\) doar dacă toți coeficienții sunt nuli: \(2a-3=0\) și \(-4a+6=0\), deci \(a=\dfrac32\).
Verificare: \(\frac32*x\)\(=2\cdot\frac12(x-2)+2\)\(=x\) ✓. (Atenție: legea nu este comutativă, așa că \(\frac32\) este doar element neutru la stânga.)
Răspuns: \(a=\dfrac32\)
Formule utile: Legi de compoziție, Structuri algebrice
\(n*p=2(n-1)(p-2)+2\), deci \((n*p)-2\)\(=2(n-1)(p-2)\) și
Ecuația \(4(m-1)(n-1)(p-2)+2\)\(=26\) devine \((m-1)(n-1)(p-2)=6\).
Produsul fiind nenul, \(m\ge2\), \(n\ge2\), \(p\ge3\). Notăm \(u=m-1\), \(v=n-1\), \(w=p-2\), numere naturale nenule cu \(uvw=6\), \(u\le v\) (din \(m\le n\)) și \(w\ge v-1\) (din \(p\ge n\)).
Verificare pentru \((2,3,5)\): \(3*5\)\(=2\cdot2\cdot3+2\)\(=14\), apoi \(2*14\)\(=2\cdot1\cdot12+2\)\(=26\) ✓.
Răspuns: \((m,n,p)\in\{(2,2,8),\,(2,3,5),\,(2,4,4)\}\)
Formule utile: Legi de compoziție
1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2+4x-1}{x\sqrt x}\).
Numitorul este \(x\sqrt x=x^{3/2}\), cu \(\left(x\sqrt x\right)'\)\(=\frac32\sqrt x\) și \(\left(x\sqrt x\right)^2\)\(=x^3\). Cu regula câtului:
Paranteza este \(\frac12x^2-2x+\frac32\)\(=\frac12(x^2-4x+3)\)\(=\frac12(x-1)(x-3)\), deci
Răspuns: \(f'(x)\)\(=\dfrac{\sqrt x\,(x-1)(x-3)}{2x^3}\)
Formule utile: Derivate, calculator derivate
Panta tangentei în \(A\) este \(f'(a)\); tangenta este paralelă cu \(Ox\) dacă și numai dacă \(f'(a)=0\):
Cum \(a\gt0\), avem \(\sqrt a\ne0\), deci \(a=1\) sau \(a=3\). (Tangentele sunt dreptele \(y=f(1)=4\) și \(y\)\(=f(3)\)\(=\frac{20\sqrt3}{9}\), diferite de axa \(Ox\).)
Răspuns: \(a\in\{1,\,3\}\)
Formule utile: Ecuația tangentei la grafic
Semnul lui \(f'\) este semnul lui \((x-1)(x-3)\):
Valori: \(f(1)\)\(=\dfrac{1+4-1}{1}\)\(=4\), \(f\left(\frac14\right)\)\(=\dfrac{\frac1{16}+1-1}{\frac14\cdot\frac12}\)\(=\dfrac{1/16}{1/8}\)\(=\dfrac12\), \(f(3)\)\(=\dfrac{20}{3\sqrt3}\)\(\gt\dfrac12\).
Primul termen. Pentru \(x\in(0,1]\), \(f\) este crescătoare, deci \(f(x)\le f(1)=4\).
Al doilea termen. Pentru \(x\in(0,1]\), \(\dfrac{1}{4x}\in\left[\frac14,+\infty\right)\). Pe acest interval \(f\) crește pe \(\left[\frac14,1\right]\), scade pe \([1,3]\) și crește pe \([3,+\infty)\), deci valoarea minimă este \(\min\left\{f\left(\frac14\right),f(3)\right\}\)\(=\frac12\). Așadar \(f\left(\frac{1}{4x}\right)\)\(\ge\frac12\), adică \(-4f\left(\frac{1}{4x}\right)\)\(\le-2\).
Adunând: \(f(x)-4f\left(\frac{1}{4x}\right)\)\(\le4-2\)\(=2\), pentru orice \(x\in(0,1]\). (Egalitatea are loc pentru \(x=1\).)
Răspuns: \(f(x)-4f\left(\frac{1}{4x}\right)\)\(\le2\) pentru orice \(x\in(0,1]\), ceea ce trebuia demonstrat.
Formule utile: Aplicații ale derivatelor: monotonie și extreme, Fișă: monotonie și puncte de extrem
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x+1\).
\(f(x)-x=x^3+1\), deci
Răspuns: \(6\)
Formule utile: Integrale definite, Tabel de integrale
\(f(x)-x^3=x+1\). Integrăm prin părți cu \(u=x+1\), \(v'=e^{-x}\), deci \(u'=1\), \(v=-e^{-x}\):
Răspuns: \(2-\dfrac3e\)
Formule utile: Integrarea prin părți, calculator integrale
Numitorul se descompune: \(f(x)+x^2\)\(=x^3+x^2+x+1\)\(=x^2(x+1)+(x+1)\)\(=(x+1)(x^2+1)\).
Prin liniaritatea integralei:
Cum \(1-x^4\)\(=(1-x)(1+x)(1+x^2)\), fracția se simplifică:
Răspuns: \(I_n-I_{n+4}\)\(=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\) pentru orice \(n\ge1\), ceea ce trebuia demonstrat.
Formule utile: Integrale definite, Polinoame (descompunere în factori)
| Item | Rezultat |
|---|---|
| I.1 | \(a=-3\), \(z_3=-1\) |
| I.2 | \(t=4\) |
| I.3 | \(x=4\) |
| I.4 | 10 submulțimi |
| I.5 | \(\overrightarrow{GM}\)\(=\overrightarrow{MD}\), \(CGBD\) paralelogram |
| I.6 | \(d(B,AC)=\sqrt3\) |
| II.1 | a) 4; b) \(2I_3\); c) \(a=3\), \(b=-2\) |
| II.2 | a) 10; b) \(a=\frac32\); c) \((2,2,8),(2,3,5),(2,4,4)\) |
| III.1 | b) \(a\in\{1,3\}\); c) \(f(x)\le4\), \(f\left(\frac1{4x}\right)\)\(\ge\frac12\) |
| III.2 | a) 6; b) \(2-\frac3e\); c) \(\frac{1}{(n+1)(n+2)}\) |
Unde găsesc modelul oficial de subiect la matematică pentru Bac 2027? Modelele pentru proba E. c) sunt publicate de Ministerul Educației și Cercetării pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Bacalaureat 2027 — Modele de subiecte — Probe scrise, într-o arhivă care conține subiectul și baremul pentru M_mate-info, M_șt-nat, M_tehnologic și M_pedagogic.
Ce capitole apar în modelul de Bac 2027 M1? Subiectul I: numere complexe, funcția inversă, o ecuație irațională, combinatorică, vectori și teorema sinusului. Subiectul II: matrice de ordinul 3 și o lege de compoziție. Subiectul III: derivate, tangenta și monotonia, apoi integrale definite, integrare prin părți și un șir de integrale.
Modelul de subiect este același cu subiectul din iunie 2027? Nu. Modelul arată structura, tipul itemilor și nivelul de dificultate; subiectele din sesiuni sunt variante noi, construite după aceeași programă și același format.
Se punctează o rezolvare diferită de cea din barem? Da. Baremul oficial precizează că orice soluție corectă, chiar diferită de cea din barem, primește punctajul corespunzător.
Recapitulează înainte de examen cu formulele de Bacalaureat la matematică (memorator pe capitole) și verifică-ți calculele cu calculatorul de derivate, calculatorul de integrale sau calculatorul de determinanți. Media finală o poți estima cu calculatorul de medie la Bacalaureat.
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate (M1, M2)
Model de subiect și barem oficiale © Ministerul Educației și Cercetării / Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.