Trigonometrie la Bacalaureat — subiectele I.6 rezolvate (M1, M2, M3)

Trigonometria apare la Bacalaureat la Subiectul I, exercițiul 6 (5 puncte), la M1 (mate-info), M2 (științele naturii) și M3 (tehnologic). Mai jos sunt toate cele 63 de exerciții din variantele oficiale rezolvate pe site (2020–2027: sesiuni, simulări și modele), cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas. Se cer de obicei valori ale funcțiilor trigonometrice, o identitate, teorema sinusurilor sau a cosinusului, aria unui triunghi ori calcule în triunghiul dreptunghic.

M1 mate-infoM2 științele naturiiM3 tehnologic

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Valori remarcabile: $\sin {30}^{\circ }=\cos {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $\sin {45}^{\circ }=\cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, $\sin {60}^{\circ }=\cos {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, $\mathrm{tg}{45}^{\circ }=1$; ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, $\sin ({180}^{\circ }-x)=\sin x$, $\cos ({180}^{\circ }-x)=-\cos x$ — formule trigonometrice.
• Formule de dublare: $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$.
• Triunghiul dreptunghic (unghi drept în $A$): $\sin B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$, $\cos B={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$, $\mathrm{tg}B={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ — triunghiul dreptunghic.
• Teorema sinusurilor: ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2R$; teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ — teorema sinusurilor și a cosinusului.
• Aria triunghiului: $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}}$ — arii.

Tipuri de cerințe la Subiectul I.6 (M1, M2 și M3)

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Ecuații trigonometrice	2	M1 2023 sim., M2 2021 iun.
Triunghiul dreptunghic	32	în aproape fiecare variantă (vezi lista de mai jos)
Teorema sinusurilor, a cosinusului, aria triunghiului	12	M1 model 2027, M2 2026 aug., M1 2025 sim., M2 2023 aug., M1 2022 iun., M2 2022 sim., M3 2022 sim., M1 2021 aug., M3 2021 iun., M2 2021 sim., M1 2021 sim., M1 2020 aug.
Identități și valori ale funcțiilor trigonometrice	17	M1 2026 aug., M1 2026 iun., M3 2026 sim., M3 2025 aug., M2 2025 sim., M2 2024 iun., M3 2024 iun., M1 2024 sim., M2 2023 iun., M3 2023 sim., M1 2022 aug., M2 2022 iun., M2 2021 aug., M3 2021 sim., M3 2020 aug., M2 2020 iun., M3 2020 iun.

Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.

Bac M1 (mate-info) — Subiectul I.6

Model Bac 2027 M1 (oficial)

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=AC$, $A={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ și $R=2$, unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului $ABC$. Determinați distanța de la punctul $B$ la dreapta $AC$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră expresia $E(x)$​$=3\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{x}{3}}+\sin x-2\sin {\displaystyle \frac{2x}{3}}$, unde $x\in (0,{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})$. Arătați că $E\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$​$=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră expresia $E(x)$​$=(1+{\mathrm{tg}}^{2}x)\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}+\cos 3x$, unde $x\in (0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$. Arătați că $E\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$​$=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M1

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=9$ și $AC=12$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$. Arătați că distanța de la punctul $C$ la dreapta $AM$ este egală cu $7,2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și raza cercului circumscris egală cu $4$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8\sqrt{3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=2$ și $\mathrm{tg}B$​$=3$. Arătați că $BC=2\sqrt{10}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M1

I.6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$, cu $AB=10$, înălțimea $AD=8$ și distanța de la punctul $D$ la dreapta $AC$ egală cu $4\sqrt{2}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $56$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=12$ și $AB={\displaystyle \frac{BC}{2}}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18\sqrt{3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $18$ și $B={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Arătați că $AB=6$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M1

I.6. Se consideră expresia $E(x)$​$=\mathrm{tg}x-4\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot \cos x$, unde $x\in (0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$. Arătați că $E\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$​$=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ și înălțimea $AD=3$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $2\sqrt{3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $4$. Arătați că $BC=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M1

I.6. Determinați $x\in [0,\pi ]$ pentru care $\sin 2x=1+\cos 2x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră expresia $E(x)$​$=\sin 2x-2\mathrm{tg}x\cdot \sin {\displaystyle \frac{2x}{3}}$, unde $x\in (0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$. Arătați că $E\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$​$=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=10$ și $\cos A=0$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $50$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M1

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, în care $\sin (A+B)+\cos C$​$=1$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$ în care $\sin 2A\cdot \cos A$​$=\sin A$. Arătați că $A={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $C$. Arătați că $\mathrm{tg}B$​$={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}A}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M1

I.6. Demonstrați că, în orice triunghi $ABC$, are loc relația $AB+AC+BC$​$=2R(\sin A+\sin B+\sin C)$, unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea august–septembrie

I.6. Măsurile unghiurilor $A$, $B$ și $C$ ale triunghiului $ABC$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului $B$ este egală cu ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ și $\sin B=\cos B$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M2 (științele naturii) — Subiectul I.6

Model Bac 2027 M2 (oficial)

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=12$ și $B={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. Punctul $M$ aparține laturii $AB$ astfel încât $AM=AC$. Arătați că aria triunghiului $AMC$ este egală cu $24$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M2 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AC=9$ și $B=\frac{\pi }{3}$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $3\sqrt{3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $\mathrm{tg}B=\frac{1}{3}$ și aria egală cu $24$. Arătați că $AC=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M2

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=12$ și $C=\frac{\pi }{6}$. Punctul $M$ aparține segmentului $AC$ astfel încât $3AM=AC$. Arătați că $BM=4\sqrt{3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=AC$ și aria egală cu $18$. Arătați că $BC=6\sqrt{2}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și $\cos B=\frac{2}{3}$. Arătați că $BC=6$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M2

I.6. Se consideră expresia $E(x)=\sin x+2\cos 2x+2{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=5$ și $BC=5\sqrt{5}$. Arătați că $\sin C={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră expresia $E(x)=2\sin x\cdot \cos {\displaystyle \frac{x}{2}}+{(\sin {\displaystyle \frac{3x}{4}})}^2$. Arătați că $E\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M2

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $B=\frac{\pi }{6}$ și mediana $AM=4$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8\sqrt{3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=AC=10$ și $BC=16$. Arătați că $AD=6$, unde $AD$ este înălțime în triunghiul $ABC$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră $E(x)=2\sin x\sin 2x-\cos x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{6}\right)=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M2

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $B$ egală cu $\frac{\pi }{6}$ și $BC=24$. Bisectoarea unghiului $C$ al triunghiului $ABC$ intersectează latura $AB$ în punctul $D$. Determinați lungimea segmentului $CD$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, astfel încât $AC=4$ și măsura unghiului $B$ este egală cu ${60}^{\circ }$. Arătați că înălțimea din vârful $A$ a triunghiului $ABC$ are lungimea egală cu $2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră expresia $E(x)=\sin x+\sin {\displaystyle \frac{3x}{2}}-\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{3}\right)=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M2

I.6. Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, cu măsura unghiului $A$ egală cu ${120}^{\circ }$ și $AB=6$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $9\sqrt{3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră $E(x)=\cos x+\cos 2x+\cos 3x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{4}\right)=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Determinați $x\in (0,\pi )$, știind că $(\sin x-\cos x{)}^2=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M2

I.6. Calculați lungimea laturii $BC$ a triunghiului $ABC$, știind că $AB=2$, $AC=2\sqrt{3}$ și $B=\frac{\pi }{3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea august–septembrie

I.6. Calculați lungimea ipotenuzei $BC$ a triunghiului dreptunghic $ABC$, în care $AB=5$ și $\cos B={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Arătați că $\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=0$, pentru orice număr real $x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M3 (tehnologic) — Subiectul I.6

Model Bac 2027 M3 (oficial)

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $B$ egală cu ${30}^{\circ }$ și înălțimea $AD=6$. Arătați că $BC=8\sqrt{3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M3 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și $BC=6$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $4\sqrt{5}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=15$ și măsura unghiului $B$ egală cu ${30}^{\circ }$. Arătați că $BC=10\sqrt{3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M3

I.6. Arătați că $2\sin {60}^{\circ }+\sqrt{3}\sin {30}^{\circ }-3\cos {30}^{\circ }=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M3 — sesiunea august–septembrie

I.6. Arătați că $5\cos {60}^{\circ }-\sin {30}^{\circ }+4{(\sin {60}^{\circ })}^2=5$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul $MNP$, dreptunghic în $M$, cu $MN=4\cdot MP$ și $MN=8$. Arătați că aria triunghiului $MNP$ este egală cu $8$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M3

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ și $AC=8$. Arătați că $\sin C={\displaystyle \frac{3}{5}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M3 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=20$ și $AC=16$. Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $48$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Arătați că $1+\sin {30}^{\circ }=2\sin {60}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M3

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=3$ și $BC=5$. Arătați că $\mathrm{tg}B={\displaystyle \frac{4}{3}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M3 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $50$ și $AC=5$. Arătați că lungimea laturii $AB$ este egală cu $20$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=\sqrt{2}$ și $BC=2$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M3

I.6. Arătați că $\sqrt{3}\sin {45}^{\circ }+2\sin {30}^{\circ }-\sqrt{2}\cos {30}^{\circ }=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M3 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=5$ și $AC=2AB$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $25$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, în care măsura unghiului $C$ este egală cu ${30}^{\circ }$ și $AB=3$. Arătați că $BC=6$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M3

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=AC$, $BC=12$ și măsura unghiului $B$ egală cu ${45}^{\circ }$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $36$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M3 — sesiunea august–septembrie

I.6. Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, dreptunghic în $A$. Știind că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8$, determinați lungimea laturii $AB$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Se consideră triunghiul $ABC$, în care $AC=2$, $BC=4$ și unghiul $A$ are măsura egală cu ${30}^{\circ }$. Arătați că $\sin B={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M3

I.6. Se consideră numărul real $x\in (0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ astfel încât $\cos x+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=1$. Calculați $\sin x$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M3 — sesiunea august–septembrie

I.6. Arătați că $2{\sin }^2{30}^{\circ }-{\sin }^2{45}^{\circ }=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M3 — sesiunea iunie–iulie

I.6. Arătați că $\sqrt{3}\cdot \sin {60}^{\circ }-\sqrt{2}\cdot \cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte capitole de examen: Integrale la Bac (III.2) · Derivate la Bac (III.1) · Matrice și determinanți la Bac (II.1) · Geometrie analitică și vectori la Bac (I.5).

Întrebări frecvente

Ce se cere la Subiectul I.6 la Bacalaureat? Un exercițiu de 5 puncte de trigonometrie: o identitate sau o valoare de calculat cu formulele trigonometrice, un triunghi în care aplici teorema sinusurilor sau a cosinusului, aria unui triunghi cu formula cu sinus ori un triunghi dreptunghic în care folosești sinusul, cosinusul sau tangenta unui unghi ascuțit.

Când folosesc teorema sinusurilor și când teorema cosinusului? Teorema sinusurilor o folosești când cunoști o latură și unghiul opus ei (sau raza cercului circumscris). Teorema cosinusului o folosești când cunoști două laturi și unghiul dintre ele ori toate cele trei laturi și cauți un unghi.

Ce valori trigonometrice trebuie știute pe de rost pentru Bac? Sinusul, cosinusul și tangenta pentru 30°, 45°, 60° și 90°, formula fundamentală sin²x + cos²x = 1, reducerea la primul cadran (de exemplu sin(180° − x) = sin x) și formulele pentru sin 2x și cos 2x.

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.