Bacalaureat 2026 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Rația progresiei aritmetice este diferența dintre doi termeni consecutivi:

$$r=a_2-a_1=18-10=8,$$

$$a_3=a_2+r=18+8=26.$$

Răspuns: $a_3=26$.

Vezi și: Progresia aritmetică.

Calculăm valorile funcției:

$$f(4)=8-2=6,f(3)=6-2=4,f(2)=4-2=2.$$

$$f(4)-f(3)-f(2)=6-4-2=0.$$

Răspuns: $f(4)-f(3)-f(2)=0$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Puterile au aceeași bază, iar funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali:

$$3-x=4x-2\Rightarrow 5=5x\Rightarrow x=1.$$

Răspuns: $x=1$.

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Cazuri posibile: numerele naturale de o cifră sunt $0,1,2,\dots ,9$, adică $10$ numere.

Cazuri favorabile: $20-2n<15\iff 2n>5\iff n>2,5$, deci $n\in \{3,4,5,6,7,8,9\}$: $7$ numere.

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{10}.$$

Răspuns: $p={\displaystyle \frac{7}{10}}$.

Vezi și: Probabilități.

Coordonatele mijlocului sunt mediile coordonatelor capetelor:

$$\frac{1+a}{2}=2,$$

$$\frac{1+b}{2}=4.$$

Obținem $1+a=4$, deci $a=3$, și $1+b=8$, deci $b=7$.

Răspuns: $a=3$ și $b=7$, adică $B(3,7)$.

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment.

În triunghiul dreptunghic, $AB$ este cateta alăturată unghiului $B$, iar $BC$ este ipotenuza:

$$\cos B=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15}{BC}.$$

$$BC=\frac{2\cdot 15}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}.$$

Răspuns: $BC=10\sqrt{3}$.

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Tabel trigonometric.

$$A(4)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 2\end{array}\right),$$

$$det(A(4))=4\cdot 2-1\cdot 3=8-3=5.$$

Răspuns: $det(A(4))=5$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right),$$

$$A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

$$2A(1)+A(4)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 3& 6\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=3A(2).$$

Răspuns: $2A(1)+A(4)=3A(2)$.

$$A(-x)=\left(\begin{array}{cc}-x& 1\\ -x-1& 2\end{array}\right).$$

Înmulțim linie cu coloană:

$$A(-x)\cdot A(x)=\left(\begin{array}{cc}-x^2+x-1& -x+2\\ -x^2-x+2x-2& -x-1+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-x^2+x-1& -x+2\\ -x^2+x-2& -x+3\end{array}\right),$$

pentru orice număr real $x$. Egalăm cu $A(y)=\left(\begin{array}{cc}y& 1\\ y-1& 2\end{array}\right)$, element cu element:

• din $-x+2=1$ și $-x+3=2$ obținem $x=1$;

• din $y=-x^2+x-1$ obținem $y=-1+1-1=-1$; verificare: $y-1=-2=-x^2+x-2$. ✓

Răspuns: $x=1$ și $y=-1$.

$$0\ast 3=(4-0)(4-3)+2=4\cdot 1+2=6.$$

Răspuns: $0\ast 3=6$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$2\ast x=(4-2)(4-x)+2=8-2x+2=-2x+10,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $-2x+10=2$, adică $2x=8$, deci $x=4$.

Răspuns: $x=4$.

$$(2m)\ast (2n+1)=(4-2m)(4-2n-1)+2=(4-2m)(3-2n)+2.$$

Ecuația devine $(4-2m)(3-2n)=8$. Pentru $m,n$ întregi, ambii factori sunt numere întregi, iar $3-2n$ este impar. Singurii divizori impari ai lui $8$ sunt $1$ și $-1$:

• $3-2n=1$ și $4-2m=8$: $n=1$, $m=-2$;

• $3-2n=-1$ și $4-2m=-8$: $n=2$, $m=6$.

Verificare: $(-4)\ast 3=8\cdot 1+2=10$ și $12\ast 5=(-8)(-1)+2=10$. ✓

Răspuns: $(m,n)\in \{(-2,1),(6,2)\}$.

Derivăm termen cu termen ($(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$):

$$f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2),$$

pentru $x\in \mathbb{R}$, deoarece $x^2-x-2$ are rădăcinile $-1$ și $2$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)=12x(x+1)(x-2)$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$$f(0)=-1,$$

$$f^{\prime }(0)=12\cdot 0\cdot 1\cdot (-2)=0.$$

Ecuația tangentei: $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y+1=0$.

Răspuns: $y=-1$.

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Pentru $x\in (-\mathrm{\infty },0]$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ sau $x=0$. Studiem semnul lui $f^{\prime }(x)=12x(x+1)(x-2)$:

• pentru $x\in (-\mathrm{\infty },-1]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(-\mathrm{\infty },-1]$;

• pentru $x\in [-1,0]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[-1,0]$.

Prin urmare $x=-1$ este punct de minim pe $(-\mathrm{\infty },0]$:

$$f(-1)=3+4-12-1=-6,$$

$$f(x)\ge -6\text{ pentru orice }x\in (-\mathrm{\infty },0].$$

$$3x^4-4x^3-12x^2-1\ge -6\iff 3x^4+5\ge 4x^3+12x^2.$$

Răspuns: $f(x)\ge f(-1)=-6$ pe $(-\mathrm{\infty },0]$, echivalent cu $3x^4+5\ge 4x^3+12x^2$.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

$f(x)-x{e}^x=x+1$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_0^4(x+1)dx={(\frac{x^2}{2}+x)|}_0^4=8+4=12.$$

Răspuns: integrala este egală cu $12$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

$f(x)-x-1=x{e}^x=x{\left(e^x\right)}^{\prime }$. Integrăm prin părți:

$${\int }_0^{1}x{\left(e^x\right)}^{\prime }dx={x{e}^x|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-{e^x|}_0^1=e-(e-1)=1.$$

Răspuns: integrala este egală cu $1$.

Vezi și: Integrarea prin părți.

Pe $[0,1]$ avem $f^{\prime }(x)=1+e^x+x{e}^x>0$ și $f(x)\ge 1>0$, deci $g$ este bine definită și $g^2(x)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}}$. Cum ${(-\frac{1}{f})}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f^2}$:

$$V=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}dx=\pi \cdot {(-\frac{1}{f(x)})|}_0^1.$$

Cu $f(1)=2+e$ și $f(0)=1$:

$$V=\pi (-\frac{1}{e+2}+1)=\frac{\pi (e+1)}{e+2}.$$

Răspuns: $V={\displaystyle \frac{\pi (e+1)}{e+2}}$.

Vezi și: Aplicații ale integralei definite — arii și volume.